2018年天津市南开区中考一模数学试卷

这是一份2018年天津市南开区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −2×−6 的结果等于
A. 12B. −12C. 8D. −8

2. 计算 tan60∘ 的值等于
A. 33B. 32C. 1D. 3

3. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，不是轴对称的是
A. B.
C. D.

4. 在网络上用“Ggle”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为
A. 451×105B. 45.1×106C. 4.51×107D. 0.451×108

5. 如果用表示 1 个立方体，用表示 2 个立方体叠加，用表示 3 个立方体叠加，那么图中是由 7 个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是
A. B.
C. D.

6. 如果实数 a=11，则 a 在数轴上对应点的位置正确的是
A. B.
C. D.

7. 化简 2ba2−b2+1a+b，其结果为
A. 1a−bB. 1a+bC. 1a2−b2D. aa2−b2

8. 半径为 a 的正六边形的面积等于
A. 34a2B. 332a2C. a2D. 33a2

9. 已知 Ax1,y1，Bx2,y2 是反比例函数 y=a2+1x 的图象上的两点，若 x1<0A. y1<0
10. 如图所示，平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，已知 △DEF 的面积为 S，则四边形 ABCE 的面积为
A. 8SB. 9SC. 10SD. 11S

11. 如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF，若菱形 ABCD 的边长为 2 cm，∠A=120∘，则 EF 的长为 cm．
A. 23B. 2C. 3D. 4

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 的对称轴为直线 x=1，如果关于 x 的方程 ax2+bx−8=0a≠0 的一个根为 x1=4，那么该方程的另一个根为 x2=
A. −4B. −2C. 1D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 −2a3 的结果是 ．

14. 计算 5−32 的结果等于 ．

15. 将正比例函数 y=2x 的图象向下平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ．（写出一个即可）

16. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是 ．

17. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90∘，CA=4，点 P 是 AC 的中点，连接 BP，线段即把图形 APCB（指半圆和三角形 ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．

18. 如图，是大小相等的边长为 1 的正方形构成的网格，A，B，C，D 均为格点．
（Ⅰ）△ACD 的面积为 ；
（Ⅱ）现只有无刻度的直尺，请在线段 AD 上找一点 P，并连接 BP，使得直线 BP 将四边形 ABCD 的面积分为 1:2 的两部分，在图中画出线段 BP，并在横线上简要说明你的作图方法． ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 x−42+3≥x, ⋯⋯①1−3x−1<6−x, ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在如图所示的数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款，抽查了九年级（1）班全班学生捐款情况，并绘制了如下的统计表和统计图：求：
捐款元2050100150200人数人412932
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ．扇形统计图中的 m= ，n= ；
（2）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（3）若该校有学生 2500 人，估计该校学生共捐款多少元?

21. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，经过点 C 的 ⊙O 与斜边 AB 相切于点 P．
（1）如图①，当点 O 在 AC 上时，试说明 2∠ACP=∠B；
（2）如图 ②，AC=8，BC=6，当点 O 在 △ABC 外部时，求 CP 长的取值范围．

22. 如图，AC 是某市环城路的一段，AE，BF，CD 都是南北方向的街道，其与环城路 AC 的交叉路口分别是 A，B，C．经测量，花卉世界 D 位于点 A 的北偏东 45∘ 方向，点 B 的北偏东 30∘ 方向上，AB=2 km，∠DAC=15∘．
（1）求 B，D 之间的距离；
（2）求 C，D 之间的距离．

23. 某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为每人每天 120 元，并且推出各自不同的优惠方案：甲家是 35 人（含 35 人）以内的按标准收费，超过 35 人的，超出部分按九折收费；乙家是 45 人（含 45 人）以内的按标准收费，超过 45 人的，超出部分按八折收费．
设老年人团的人数为 x
（1）根据题意，用含 x 的式子填写下表：
x≤353545甲宾馆收费/元120x5280乙宾馆收费/元120x120x5400
（2）当 x 取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同?

24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒．将线段 CP 的中点绕点 P 按顺时针方向旋转 90∘ 得点 D，点 D 随点 P 的运动而运动，连接 DP，DA．
（1）请用含 t 的代数式表示出点 D 的坐标；
（2）求 t 为何值时，△DPA 的面积最大，最大为多少?
（3）在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，△DPA 能否成为直角三角形?若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点 P 的运动，点 D 运动路线的长．

25. 已知二次函数 y=ax2−4ax+3a．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当 1≤x≤4 时，y 的最大值是 2，且当 1≤x≤4 时，函数图象的最高点为点 P，最低点为点 Q，求 △OPQ 的面积；
（3）若对于该抛物线上的两点 Px1,y1，Qx2,y2，当 t≤x1≤t+1，x2≥5 时，均满足 y1≥y2，请结合图象，直接写出 t 的最大值．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. D
4. C【解析】答案：
C
5. B
6. C
7. A
8. B
9. A
10. B
【解析】提示：△DEF∽△BCF，相似比为 1:2，面积比为 1:4，
△DEF 与 △CDF 的面积比为 1:2．
11. C
12. B【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 的对称轴为直线 x=1，
∴ 抛物线 y=ax2+bx−8a≠0 的对称轴为直线 x=1，
∵ 抛物线 y=ax2+bx−8a≠0 与 x 轴的一个交点为 4,0，
∴ 另一个交点为 −2,0，即 ax2+bx−8=0a≠0 另一个根为 x=−2．
第二部分
13. −8a3
14. 8−215
15. y=2x−2（答案不唯一）
16. 15
17. 4
18. 52，如图所示，在线段 AP 上确定点 P，使得 AP:PD=5:3，连接 BP，则 BP 即为所求
第三部分
19. （1） x≤2
（2） x>−1
（3） 如图所示．
（4） −120. （1） 30 人；40；30
【解析】本次接受随机抽样调查的学生人数为 4+12+9+3+2=30（人）．
12÷30=40%，9÷30=30%，
∴ 扇形统计图中的 m=40，n=30．
（2） ∵ 在这组数据中，50 出现了 12 次，次数最多，
∴ 学生捐款数目的众数是 50；
∵ 将捐款数据按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是 50，
∴ 中位数为 50；
这组数据的平均数为
20×4+50×12+100×9+150×3+200×2÷30=2430÷30=81元.
（3） 2500×81=202500（元）．
答：估计该校学生共捐款 202500 元．
21. （1） 当点 O 在 AC 上时，OC 为 ⊙O 的半径，
因为 BC⊥OC，且点 C 在 ⊙O 上，
所以 BC 与 ⊙O 相切．
因为 ⊙O 与 AB 边相切于点 P，
所以 BC=BP．
所以 ∠BCP=∠BPC=180∘−∠B2．
因为 ∠ACP+∠BCP=90∘，
所以 ∠ACP=90∘−∠BCP=90∘−180∘−∠B2=12∠B．
即 2∠ACP=∠B．
（2） 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AB=AC2+BC2=10．
如图，
当点 O 在 CB 上时，OC 为 ⊙O 的半径，
因为 AC⊥OC，且点 C 在 ⊙O 上，
所以 AC 与 ⊙O 相切．
连接 OP，AO．
因为 ⊙O 与 AB 边相切于点 P，
所以 OP⊥AB．
设 OC=x，则 OP=x，OB=BC−OC=6−x．
因为 AC=AP，
所以 PB=AB−AP=2．
在 △OPB 中，∠OPB=90∘，OP2+BP2=OB2，
即 x2+22=6−x2，解得 x=83．
在 △ACO 中，∠ACO=90∘，AC2+OC2=AO2，
AO=AC2+OC2=8310．
因为 AC=AP，OC=OP，
所以 AO 垂直平分 CP．
所以 CP=2×AC⋅OCAO=8510．
由题意可知，当点 P 与点 A 重合时，CP 最长．
综上，当点 O 在 △ABC 外时，851022. （1） 由题意得，∠EAD=45∘，∠FBD=30∘，
∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC=45∘+15∘=60∘．
∵ AE∥BF∥CD，
∴ ∠FBC=∠EAC=60∘．
∵ ∠FBD=30∘，
∴ ∠DBC=∠FBC−∠FBD=30∘．
又 ∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴ ∠ADB=15∘．
∴ ∠DAB=∠ADB．
∴ △ABD 为等腰三角形，
∴ BD=AB=2 km．
即 BD 之间的距离为 2 km．
（2） 如图，过 B 作 BO⊥DC，交其延长线于点 O，
在 Rt△DBO 中，BD=2 km，∠DBO=60∘，
∴ DO=2×sin60∘=3km，BO=2×cs60∘=1km．
在 Rt△CBO 中，∠CBO=30∘，CO=BOtan30∘=33km，
∴ CD=DO−CO=3−33=233km．
即 C，D 之间的距离 233 km．
23. （1） 根据收费标准可得出式子：108x+420，108x+420，96x+1080
（2） 当 x≤35 时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同，
当 35当 x>45 时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120x−35，即 y甲=108x+420，
乙宾馆的收费是：y乙=45×120+0.8×120x−45=96x+1080，
当 y甲=y乙 时，108x+420=96x+1080，
解得 x=55．
总之，当 x≤35 或 x=55 时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．
24. （1） ∵ 点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，
∴OP=t，
∵OC=2，
∴Pt,0，
如图 1，设 CP 的中点为 F，过 D 点作 DE⊥OA，垂足为 E，
则 F 点的坐标为 t2,1，
∵F 点绕点 P 按顺时针方向旋转 90∘ 得点 D，
∴∠CPD=90∘，
∴∠DPE+∠OPC=90∘，
又 ∵∠POC=90∘，∠OCP+∠OPC=90∘，
∴∠OCP=∠EPD，
∴△OCP∽△EPD，
∵PD:CP=1:2，
∴DE:PO=PE:CO=PD:CP=1:2，
∴DE=12PO=t2，PE=12CO=1，
∴D 点坐标为 t+1,t2．
（2） ∵D 点坐标为 t+1,t2，OA=4，
∴S△DPA=12AP×t2=124−t×t2=144t−t2=−14t−22+1，
∴ 当 t=2 时，S△DPA 取得最大值为：1．
（3） 能构成直角三角形．
①当 ∠PDA=90∘ 时，PC∥AD，如图 1．
由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，PD2=DE2+PE2，AD2=DE2+AE2，
即 t22+1+4−t−12+t22=4−t2，
解得 t1=2，t2=−6（舍去）．
∴t=2．
②当 ∠PAD=90∘ 时，此时点 D 在 AB 上，如图 2，
可知，△COP∽△PAD，
∴CPPD=2PDPD=COPA，
∴2=2PA，PA=1，
即 t+1=4，t=3．
综上，可知当 t 为 2 或 3 时，△DPA 能成为直角三角形．
（4） 如图 3，取 CP 的中点 Dʹ，过 Dʹ 作 DʹEʹ⊥x 轴于 Eʹ，
∴DʹEʹ=12OC=1，PEʹ=12OP=12t，
易知，△PDʹEʹ≌△DPE，
∴DE=PEʹ=12t，PE=DʹEʹ=1，
∴OE=t+1，
∴Dt+1,12t，
∴ 点 D 始终在直线 y=12x−12 上的一部分，
当点 P 在原点 O 处时，即 t=0，对应的 D0 点为 1,0，
当 P 运动到点 A 时，t=4，此时 D4 点坐标为 5,2，
即点 D 的运动轨迹为线段 D0D4．
∵ 点 D4 与点 B，C 共线，
∴BD4∥x 轴．
易得四边形 OD0D4B 为平行四边形，
∵ 根据点 D 的运动路线与 OB 平行且相等，OB=25，
∴ 点 D 运动路线的长为 25．
25. （1） 对称轴为直线 x=−−4a2a=2．
（2） ∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线 x=2，
∴ 当 x=2 时，y 取到在 1≤x≤4 上的最大值为 2，即 P2,2，
∴4a−8a+3a=2，
∴a=−2，
∴y=−2x2+8x−6，
∵ 当 1≤x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=1 时，y 取到在 1≤x≤2 上的最小值 0．
∵ 当 2≤x≤4 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=4 时，y 取到在 2≤x≤4 上的最小值 −6．
∴ 当 1≤x≤4 时，y 的最小值为 −6，即 Q4,−6．
∴△OPQ 的面积为 4×2+6−2×2÷2−4×6÷2−4−2×2+6÷2=10．
（3） t 的最大值为 4．
【解析】∵ 当 t≤x1≤t+1，x2≥5 时，均满足 y1≥y2，
∴ 当抛物线开口向下，点 P 在点 Q 左边或重合时，满足条件，
∴t+1≤5，
∴t≤4，
∴t 的最大值为 4．