2020年天津市南开区中考一模数学试卷

这是一份2020年天津市南开区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −9÷13 的结果等于
A. 3B. −3C. 27D. −27

2. 2cs60∘ 的值等于
A. 12B. 1C. 32D. 3

3. 据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达 204000 米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是
A. 204×103B. 20.4×104C. 2.04×105D. 2.04×106

4. 有下列图形：①等边三角形，②平行四边形，③菱形，④矩形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

5. 如图是由 7 个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 −10 的值在
A. −5 和 −4 之间B. −4 和 −3 之间
C. −3 和 −2 之间D. −2 和 −1 之间

7. 分式 1a+1+1aa+1 的计算结果为
A. 1aB. aa+1C. 1a+1D. a+1a

8. 若 ∣3x−2y−1∣+x+y−2=0，则 x，y 的值为
A. x=1,y=4B. x=2,y=0C. x=0,y=2D. x=1,y=1

9. 若点 A−2,y1，B−1,y2，C1,y3 在反比例函数 y=3x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y2
10. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，AD=1，点 A，B 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点 M，则点 M 表示的数为
A. 10−1B. 10C. 5−1D. 5

11. 如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点 A 的坐标是 4,0，点 P 为边 AB 上一点，∠CPB=60∘，沿 CP 折叠正方形，折叠后，点 B 落在平面内点 Bʹ 处，则 Bʹ 点的坐标为
A. 2,23B. 32,2−3C. 2,4−23D. 32,4−23

12. 已知抛物线 y=ax2+2−ax−2a>0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C．给出下列结论：
①当 a>0 的条件下，无论 a 取何值，点 A 是一个定点；
②当 a>0 的条件下，无论 a 取何值，抛物线的对称轴一定位于 y 轴的左侧；
③ y 的最小值不大于 −2；
④若 AB=AC，则 a=1+52．
其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 −x3⋅−x2 的结果等于 ．

14. 计算 5+22 的结果是 ．

15. 在一个盒子中有 4 张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着 1，2，3，4 这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之积是 6 的概率是 ．

16. 将直线 y=3x+1 向下平移 5 个单位得到的直线的表达式是 ．

17. 在平面直角坐标系中，有一条线段 AB，已知点 A−3,0 和 B0,4，平移线段 AB 得到线段 A1B1，若点 A 的对应点 A1 的坐标为 0,−1，则线段 AB 平移经过的区域（四边形 ABB1A1）的面积为 ．

18. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60∘，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+32PD 的最小值等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 1+1+5x2≥2x−13, ⋯⋯①−3x+2<2x+4. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式 ①，得 ；
（II）解不等式 ②，得 ；
（III）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 ．

20. 为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了 40 名同学实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
（1）①中的描述应为“6 分 m%”，其中 m 的值为 ；扇形①的圆心角的大小是 ；
（2）求这 40 个样本数据平均数、众数、中位数；
（3）若该校九年级共有 360 名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．

21. 如图 1，四边形 ADBC 内接于 ⊙O，E 为 BD 延长线上一点，AD 平分 ∠EDC．
（1）求证：AB=AC．
（2）如图 2，若 CD 为直径，过 A 点的圆的切线交 BD 延长线于 E，若 DE=1，AE=2，求 ⊙O 的半径．

22. 如图，在港口 A 的南偏东 37∘ 方向的海面上，有一巡逻艇 B，A，B 相距 20 海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口 A 的北偏东 67∘ 方向上，有一渔船 C 发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以 25 海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在 1 小时内到达渔船 C 处?（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin67∘≈1213，cs67∘≈513，tan67∘≈125）

23. 某电视机厂要印制产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印制费，另需收取所有印制材料制版费 1500 元；乙印刷厂提出：每份材料收 2.5 元印制费，不收制版费．设该电视厂在同一个印刷厂一次印刷的数量为 x 份 x>0．
（1）根据题意填表：
一次印制数量份3005001500⋯甲印刷厂花费元2000⋯乙印刷厂花费元1250⋯
（2）设在甲印刷厂花费 y1 元，在乙印刷厂花费 y2 元，分别求 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若电视厂在甲印刷厂和在乙印刷厂一次印制宣传材料的数量相同，且花费相同，则该电视厂在同一个印刷厂一次印制材料的数量为 份；
②印制 800 份宣传材料时，选择 印刷厂比较合算；
③电视机厂拟拿出 3000 元用于印制宣传材料，在 印刷厂印制宣传材料可以多一些．

24. 如图，四边形 AOBC 是正方形，点 C 的坐标是 82,0．
（1）正方形 AOBC 的边长为 ，点 A 的坐标是 ；
（2）将正方形 AOBC 绕点 O 顺时针旋转 45∘，点 A，B，C 旋转后的对应点为 Aʹ，Bʹ，Cʹ，求点 Aʹ 的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（3）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OACB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点 Q 从点 O 出发，沿折线 OBCA 方向以 2 个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为 t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当 △OPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A−6,0，B2,0，C0,−3．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 H 是该抛物线第三象限任意一点，求四边形 OCHA 的最大面积；
（3）若点 Q 在 y 轴上，点 G 为该抛物线的顶点，且 ∠GQA=45∘，求点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. B
5. C
6. B
7. A
8. D
9. A
10. A
11. C【解析】
过点 Bʹ 作 BʹD⊥y 轴于点 D，BʹE⊥x 轴于点 E．
∵OABC 是正方形，点 A 的坐标是 4,0，点 C 的坐标是 0,4，
∴BC=OC=4．
∵∠BPC=60∘，
∴BʹC=BC=4，∠BʹCP=∠BCP=30∘，
∴∠DCBʹ=30∘，
∴BʹD=2，CD=23，
∴OD=4−23，
∴Bʹ2,4−23．
12. C
第二部分
13. −x5
14. 7+210
15. 16
16. y=3x−4
17. 15
18. 33
第三部分
19. x≥−1；x>−2；
x≥−1
20. （1） 10；36∘
（2） 观察条形统计图，
∵x=4×6+6×7+11×8+12×9+7×1040=8.3，
∴ 这 40 个样本数据的平均数是 8.3．
∵ 在这组样本数据中，9 出现了 12 次，出现的次数最多，
∴ 这组样本数据的众数是 9．
将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是 8，有 8+82=8，
∴ 这组样本数据的中位数是 8．
（3） ∵ 在 40 名学生中，理化实验操作得满分的学生比例为 17.5%，
∴360×17.5%=63．
答：该校理化实验操作得满分的学生约有 63 人．
21. （1） ∵ 四边形 ADBC 内接于 ⊙O，
∴∠EDA=∠ACB，
由圆周角定理得：∠ADC=∠ABC，
∵AD 平分 ∠EDC，
∴∠EDA=∠ADC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
（2） 连接 AO 并延长交 BC 于点 H，作 AM⊥CD，垂足为 M，
∵AE 是 ⊙O 的切线，
∴AH⊥AE，∠EAH=90∘，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，∠AHB=90∘，BH=CH，
∴AE∥BC，
∵CD 为 ⊙O 的直径，
∴∠DBC=90∘，
∴∠EAH=∠AHB=∠DBC=90∘，
∴ 四边形 AEBH 是矩形，
∴BH=AE=2，AE⊥DE，BC=2BH=4，
∵AD 平分 ∠EDC，AE⊥DE，AM⊥CD，
∴AM=AE=2，DM=DE=1，
在 Rt△ABE 和 Rt△ACM 中，
AB=AC,AE=AM,
∴Rt△ABE≌Rt△ACMHL，
∴BE=CM，
设 BD=x，则 CM=BE=BD+DE=x+1，
∴CD=CM+DM=x+2，
在 Rt△BDC 中，有 BD2+BC2=CD2，
即：x2+42=x+22，
解得：x=3，
∴CD=x+2=5，
∴⊙O 的半径为 2.5．
22. 过点 A 作 AH⊥BC，垂足为点 H．
由题意，得 ∠ACH=67∘，∠B=37∘，AB=20．
在 Rt△ABH 中，
∵sinB=AHAB，
∴AH=AB⋅sin∠B=20×sin37∘≈12，
∵csB=BHAB，
∴BH=AB⋅cs∠B=20×cs37∘≈16，
在 Rt△ACH 中，
∵tan∠ACH=AHCH，
∴CH=AHtan∠ACH=12tan67∘≈5，
∵BC=BH+CH，
∴BC≈16+5=21．
∵21÷25<1，
∴ 巡逻艇能在 1 小时内到达渔船 C 处．
23. （1）
一次印制数量份3005001500⋯甲印刷厂花费元180020003000⋯乙印刷厂花费元75012503750⋯
（2） ∵ 甲印刷厂提出，每份材料收 1 元印制费，另收 1500 元制版费，
∴ 甲厂的收费函数表达式为 y=x+1500（x>0 且 x 为整数）；
∵ 乙厂提出，每份材料收 2.5 元印制费，不收制版费，
∴ 乙厂的收费函数表达式为 y=2.5x（x>0 且 x 为整数）．
（3） 1000；乙；甲
24. （1） 8；42,42
（2） 如图．
∵ 四边形 AOBC 是正方形，
∴∠AOB=90∘，∠AOC=45∘．
∵ 将正方形 AOBC 绕点 O 顺时针旋转 45∘，
∴ 点 Aʹ 落在 x 轴上．
又 ∵ 正方形的边长为 8，
∴OAʹ=OA=8．
∴ 点 Aʹ 的坐标为 8,0．
∵OC=82，
∴AʹC=OC−OAʹ=82−8．
∵ 四边形 OACB，OAʹCʹBʹ 是正方形，
∴∠OAʹCʹ=90∘，∠ACB=90∘，
∴∠CAʹE=90∘，∠OCB=45∘．
∴∠AʹEC=∠OCB=45∘．
∴AʹE=AʹC=82−8．
∴SOBEAʹ=S△OBC−S△AʹCE=12OB2−12AʹE2=12×82−1282−82=642−64.
∴ 旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为 642−64．
（3） t=8 或 t=163．
25. （1） ∵ 已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A−6,0，B2,0，
∴ 设抛物线解析式为 y=ax+6x−2．
又 ∵ 抛物线过点 C0,−3，
∴ 有 −3=−12a，则 a=14，
∴y=14x+6x−2=14x2+x−3．
（2） 设 Ht,14t2+t−3．
∵ 点 H 在第三象限的抛物线上，
∴−6 SOCHA=S△OAH+S△OCH=12OA⋅yH+12OC⋅xH=12×6⋅−14t2−t+3+12×3×−t=−34t2−92t+9=−34t+32+634.
∴ 当 t=3 时，四边形 OCHA 的面积有最大值 634．
（3） ∵y=14x2+x−3=14x+22−4，
∴ 顶点 G 的坐标为 2,−4．
设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M，
则 GM=4，AM=12AB=122−−6=4，
∴GM=AM，且 ∠AMG=90∘．
以点 M 为圆心，MG 为半径的圆过点 A，B，与 y 轴交于点 Q 和点 Qʹ，连接 QA，QG．
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠AQG=12∠AMG=12×90∘=45∘．
连接 QM，在 Rt△QMO 中，OM=2，QM=4
∴OQ=42−22=23．
∴Q0,23．
由对称性可知，Qʹ0,−23．
当点 Q 在线段 QQʹ 之间或线段 QQʹ 之外时，均不能保证使 ∠GQA=45∘．
综上，满足条件的点 Q 的坐标为 0,23 或 0,−23．