2020年广东省佛山市顺德区江义中学中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省佛山市顺德区江义中学中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列计算正确的是
A. −−3=−3B. 30=0
C. 3−1=−3D. 9=±3

2. 如图，AB∥CD，∠CDE=140∘，则 ∠A 的度数为
A. 140∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘

3. 估计 6+1 的值在
A. 2 到 3 之间B. 3 到 4 之间C. 4 到 5 之间D. 5 到 6 之间

4. 一元二次方程 x2−6x−5=0 配方后可变形为
A. x−32=14B. x−32=4C. x+32=14D. x+32=4

5. 点 P2,−3 关于原点对称的点的坐标是
A. −2,−3B. 2,3C. −2,3D. −3,2

6. 下列运算正确的是
A. x2⋅x3=x6B. −2x22=−4x4
C. x32=x6D. x5÷x=x5

7. 将抛物线 y=3x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为
A. y=3x−22−1B. y=3x−22+1
C. y=3x+22−1D. y=3x+22+1

8. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=13，AC=5，则 sinA 的值为
A. 513B. 1213C. 512D. 125

9. 如图是反比例函数 y=kx 在第二象限内的图象，若图中的矩形 OABC 的面积为 2，则 k 的值为
A. −2B. 2C. 4D. −4

10. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME=MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为
A. 3−1B. 3−5C. 5+1D. 5−1

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 若 3a=5b，则 ab= ．

12. 太阳半径约为 696000 千米，数字 696000 用科学记数法表示为 ．

13. 方程 x2−4=0 的解是 ．

14. 分解因式：x3y−xy3= ．

15. 不等式 2x−1>3 的解集是 ．

16. 已知 α 是锐角，且 tan90∘−α=3，则 α= ．

17. 抛物线 y=2x−32+4 的顶点坐标是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 解方程：x2−4x+1=0．

19. 计算：3tan60∘−−2sin30∘−2cs245∘．

20. 在 △ABC 中，AB=AC．
（1）求作一点 P，使点 P 为 △ABC 的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ∠A=50∘，求 ∠PBC 的度数．

21. “六 ⋅ 一”前夕，质检部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了 300 件儿童用品．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图：
类别儿童玩具童车童装抽查件数90
请根据上述统计表和扇形图提供的信息，完成下列问题：
（1）补全上述统计表和扇形图；
（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童装的合格率分别为 90%，88%，80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，买到合格品的概率是多少?

22. 如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=90∘，半径 OA=2，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，使点 O 恰好落在弧 AB 上的点 D 处，折痕为 BC，求图中阴影部分的面积．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1=ax+b（a，b 为常数，且 a≠0）与反比例函数 y2=mx（m 为常数，且 m≠0）的图象交于点 A−2,1，B1,n．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接 OA，OB，求 △AOB 的面积；
（3）直接写出当 y1
24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 ∠BAD，交 BC 于点 E，BF 平分 ∠ABC，交 AD 于点 F，AE 与 BF 交于点 P，连接 EF，PD．
（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；
（2）若 AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，求 tan∠ADP 的值．

25. 矩形 OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A，C 两点的坐标分别为 A10,0，C0,3，直线 y=13x 与 BC 相交于点 D，抛物线 y=ax2+bx 经过 A，D 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AD，试判断 △OAD 的形状，并说明理由．
（3）若点 P 是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与 OD，x 轴分别交于点 M，N，问：是否存在点 P，使得以点 P，O，M 为顶点的三角形与 △OAD 相似?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】A．−−3=−3，此选项正确；
B．30=1，此选项错误；
C．3−1=13，此选项错误；
D．9=3，此选项错误．
2. D【解析】∵∠CDE=140∘，
∴∠ADC=180∘−140∘=40∘，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC=40∘．
3. B【解析】∵2<6<3，
∴3<6+1<4．
4. A【解析】x2−6x−5=0，
x2−6x=5，
x2−6x+9=5+9，
x−32=14．
5. C
【解析】已知点 P2,−3，则点 P 关于原点对称的点的坐标是 −2,3．
6. C【解析】A．原式=x5，故本选项错误；
B．原式=4x4，故本选项错误；
C．原式=x6，故本选项正确；
D．原式=x4，故本选项错误．
7. C【解析】抛物线 y=3x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后的抛物线顶点坐标为 −2,−1，
所得抛物线为 y=3x+22−1．
8. B【解析】在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC=AB2−AC2=12，
∴sinA=BCAB=1213．
9. A【解析】∵ 反比例函数 y=kx，且矩形 OABC 的面积为 2，
∴k=2，即 k=±2，
又反比例函数的图象 y=kx 在第二象限内，k<0，
∴k=−2．
10. D
【解析】由题意知 ME=MC=12+22=5，DG=DE=ME−DM=5−1．
第二部分
11. 53
【解析】∵3a=5b，
∴ab=53．
12. 6.96×105
【解析】696000=6.96×105．
13. ±2
【解析】x2−4=0，
移项得：x2=4，
两边直接开平方得：x=±2．
14. xyx+yx−y
【解析】x3y−xy3=xyx2−y2=xyx+yx−y.
15. x>2
【解析】2x−1>3，
移项得：2x>3+1，
合并同类项得：2x>4，
不等式的两边都除以 2 得：x>2．
16. 30∘
【解析】∵tan90∘−α=3，
∴90∘−α=60∘，
∴α=30∘．
17. 3,4
第三部分
18.
x2−4x+1=0.x2−4x+4=3.x−22=3.x−2=±3.∴x1=2+3,x2=2−3.
19. 原式=3×3−−2×12−2×222=3−∣−1∣−2×12=3−1−1=1.
20. （1） 如图，点 P 即为 △ABC 的外接圆圆心．
（2） ∵AB=AC，∠BAC=50∘，
∴AD⊥BC，∠BAD=12∠BAC=25∘，
∵PA=PB，
∴∠BPD=2∠BAP=50∘，
∵∠BDP=90∘，
∴∠PBD=90∘−50∘=40∘，即 ∠PBC=40∘，
答：∠PBC 的度数为 40∘．
21. （1） 童车的数量是 300×25%=75，
童装的数量是 300−75−90=135，
儿童玩具占得百分比是 90300×100%=30%，
童装占得百分比 1−30%−25%=45%，
如图：
类别儿童玩具童车童装抽查件数9075135
（2） 根据题意得出：90×90%+75×88%+135×80%300=0.85．
答：从该超市这三类儿童用品中随机购买一件买到合格品的概率是 0.85．
22. 连接 OD．
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即 △OBD 是等边三角形，
∴∠DBO=60∘，
∴∠CBO=12∠DBO=30∘，
∵∠AOB=90∘，
∴OC=OB⋅tan∠CBO=2×33=233，
∴S△BDC=S△OBC=12×OB×OC=12×2×233=233，
S扇形AOB=90π×22360=π，
∴ 阴影部分的面积为：S扇形AOB−S△BOC−S△OBC=π−233−233=π−433．
23. （1） ∵A−2,1，
∴ 将 A 坐标代入反比例函数解析式 y2=mx 中，得 m=−2，
∴ 反比例函数解析式为 y=−2x；
将 B 坐标代入 y=−2x，得 n=−2，
∴B 坐标 1,−2，
将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中，得 −2a+b=1,a+b=−2,
解得 a=−1，b=−1，
∴ 一次函数解析式为 y1=−x−1．
（2） 设直线 AB 与 y 轴交于点 C，
令 x=0，得 y=−1，
∴ 点 C 坐标 0,−1，
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12×1×2+12×1×1=32.
（3） x>1．
【解析】由图象可得，当 y11．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE 是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
同理 AB=AF，
∴AF=BE，
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形，
∵AB=BE，
∴ 四边形 ABEF 是菱形．
（2） 作 PH⊥AD 于 H，
∵ 四边形 ABEF 是菱形，∠ABC=60∘，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30∘，AP⊥BF，
∴AP=12AB=2，
∴PH=3，AH=1，
∴DH=5．
∴tan∠ADP=PHDH=35
25. （1） 由题意得，点 D 的纵坐标为 3，
∵ 点 D 在直线 y=13x 上，
∴ 点 D 的坐标为 9,3，
将点 D9,3 、点 A10,0 代入抛物线可得：81a+9b=3,100a+10b=0,
解得：a=−13,b=103,
故抛物线的解析式为：y=−13x2+103x．
（2） ∵ 点 D 坐标为 9,3，点 A 坐标为 10,0，
∴OA=10，OD=92+32=310，AD=10−92+0−32=10，
从而可得 OA2=OD2+AD2，
故可判断 △OAD 是直角三角形．
（3） ①由图形可得当点 P 和点 N 重合时能满足 △OPM∽△ODA，
此时 ∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，
故可得 △OPM∽△ODA，OP=12OA=5，
即可得此时点 P 的坐标为 5,0．
②过点 O 作 OD 的垂线交对称轴于点 Pʹ，此时也可满足 △PʹOM∽△ODA，
由题意可得，点 M 的横坐标为 5，代入直线方程可得点 M 的纵坐标为 53，
故可求得 OM=5103，
∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90∘，
∴∠OP′M=∠DOA，
∴△P′OM∽△ODA，
故可得 P′MOA=OMAD，即 MP′10=510310，
解得：MP′=503，
又 ∵MN= 点 M 的纵坐标 =53，
∴P′N=503−53=15，
即可得此时点 Pʹ 的坐标为 5,−15．
综上可得存在这样的点 P，点 P 的坐标为 5,0 或 5,−15．