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2020年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试卷
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这是一份2020年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在某市举办的主题为“英雄武汉”的网络演讲比赛中，七位选手的得分分别为：88，84，87，90，86，92，94，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．88 C．90 D．92
4．（3分）若∠α＝30°，则∠α的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（3分）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣10
7．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）||+2﹣1＝ ．
12．（4分）正六边形的每个内角的度数是 度．
13．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
14．（4分）已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，则x+y＝ ．
15．（4分）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距 米．
16．（4分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
17．（4分）在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，若点D、C、C1…在直线y＝x+2上，则A2019A2020＝ ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
19．（6分）化简：（）．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4．
（1）过C点作CD垂直于AB，垂足为D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）求AD的长度．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）某物流公司承接A、B两种抗疫物资的运输业务，已知2月份A货物运费单价为70元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费130000元；3月份由于油价下调，运费单价下降为：A货物50元/吨，B货物30元/吨；该物流公司3月承接的A种货物和B种数量与2月份相同，3月份共收取运费95000元．
（1）该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计4月份运输这两种货物3300吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？
22．（8分）党的十九大指出，脱贫攻坚战成为我国全面建设小康社会的重中之重．为了调查学生对脱贫攻坚知识的了解程度，南海区某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．
（1）本次抽样调查的人数是 人；
（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”脱贫攻坚知识的人数约为多少？
（3）根据调查结果，学校准备开展关于脱贫攻坚知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
23．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
四、解答题（三）（本大题共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）如图，AB是⊙〇的直径，点C是⊙O上异于A、B的一点，点D是∠ABC角平分线上一点，连接AD、BD，其中BD交AC于点E，交⊙O于点F，且点F是DE的中点．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若点E是BF的中点，求sin∠CAB的值；
（3）若AB＝13，BC＝5，求BE的长．
25．（10分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值．
2020年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
【分析】相反数就是只有符号不同的两个数．
【解答】解：根据概念，与﹣6只有符号不同的数是6．即﹣6的相反数是6．
故选：D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
3．（3分）在某市举办的主题为“英雄武汉”的网络演讲比赛中，七位选手的得分分别为：88，84，87，90，86，92，94，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．88 C．90 D．92
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列为：84，86，87，88，90，92，94，处于中间位置的是88，
则这组数据的中位数是88．
故选：B．
4．（3分）若∠α＝30°，则∠α的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】相加等于180°的两角称作互为补角，也作两角互补，即一个角是另一个角的补角．因而，求这个角的补角，就可以用180°减去这个角的度数．
【解答】解：180°﹣30°＝150°．
故选：D．
5．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据∠4＝90°，∠2＝35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1＝∠3，代入即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵∠4＝90°，∠2＝35°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°．
故选：C．
6．（3分）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣10
【分析】根据相反数的定义得：﹣2a﹣3b＝﹣4，首先化简﹣4a﹣6b+1，然后把﹣2a﹣3b＝﹣4代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵2a+3b＝4，
∴﹣2a﹣3b＝﹣4，
∴﹣4a﹣6b+1＝2（﹣2a﹣3b）+1＝﹣8+1＝﹣7，
故选：C．
7．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC＝∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC＝∠ACB，易求∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠A＝50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．
故选：B．
8．（3分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】把x＝4代入方程求出k，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣24+k＝0，
解得：k＝8，
即方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
故选：A．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质得出AC＝BD＝16，进而求出BD＝2BO，再依据中位线的性质推知MN＝BO．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△CBO的中位线，
∴MN＝BO＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】证明△ADE为等边三角形，利用y＝×PH×EQ＝×x×（2﹣x）＝﹣x2+x，即可求解．
【解答】解：∵BC＝2，E为BC的中点，则BE＝1，
在Rt△ABE中，AE＝，BE＝1，则AE＝2，
同理可得ED＝2＝AE＝AD，
故△ADE为等边三角形，则∠AED＝60°，
∵PE＝QD＝x，则QE＝2﹣x，
在△PQE中，过点P作PH⊥ED于点H，
则PH＝PEsin∠AED＝x•sin60°＝x，
则y＝×PH×EQ＝×x×（2﹣x）＝﹣x2+x，
该函数为开口向下的抛物线，x＝1时，y的最大值为，
故选：A．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）||+2﹣1＝ 1 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：||+2﹣1
＝+
＝1．
故答案为：1．
12．（4分）正六边形的每个内角的度数是 120 度．
【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
13．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO＝，
∴sin∠OAB＝．
故答案为：．
14．（4分）已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，则x+y＝ 2 ．
【分析】利用绝对值的定义以及偶次方的性质得出x，y的值进而代入求出即可．
【解答】解：∵|x+2y|+（x﹣4）2＝0，
∴x﹣4＝0，x+2y＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
则x+y＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
15．（4分）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距 0.75 米．
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：CD＝0.75．
故答案为0.75．
16．（4分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 2π m2（结果保留π）．
【分析】根据圆周角定理由∠ABC＝90°得AC为⊙O的直径，即AC＝4，根据等腰直角三角形的性质得AB＝2，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，即AC＝4m，
∴AB＝AC＝2m；
∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×22﹣＝2π；
故答案为2π．
17．（4分）在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，若点D、C、C1…在直线y＝x+2上，则A2019A2020＝ ．
【分析】先利用一次函数求出AB＝BC＝AD，再用三角形相似得出A1B＝，A2B2＝（）2，找出规律A2019B2019＝（）2019，即可求A2019A2020．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，BC＝AB＝AD＝，
∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，
∴∠OAD+∠A1AB＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠A1AB＝∠ADO，
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴，
∴A1B＝，
∴A1B1＝A1C＝A1B+BC＝，
同理可得，A2B2＝（）2，
同理可得，A3B3＝（）3，
同理可得，A2019B2019＝（）2019，
∴A2019A2020＝（）2019×＝．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
在数轴上表示如下：
．
19．（6分）化简：（）．
【分析】先把除法转化为乘法，再利用乘法对加法的分配律．
【解答】解：原式＝（）×
＝×﹣×
＝a（a+2）﹣2（a﹣2）
＝a2+2a﹣2a+4
＝a2+4．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4．
（1）过C点作CD垂直于AB，垂足为D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）求AD的长度．
【分析】（1）利用尺规过点C作CD⊥AB于D即可．
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CD，利用勾股定理求出AD，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝，
∴AD＝＝＝．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）某物流公司承接A、B两种抗疫物资的运输业务，已知2月份A货物运费单价为70元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费130000元；3月份由于油价下调，运费单价下降为：A货物50元/吨，B货物30元/吨；该物流公司3月承接的A种货物和B种数量与2月份相同，3月份共收取运费95000元．
（1）该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计4月份运输这两种货物3300吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？
【分析】（1）设该物流公司2月份运输A货物x吨，运输B货物y吨，根据“该物流公司2月份共收取运费130000元，3月份共收取运费95000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该物流公司预计4月份运输B货物m吨，则运输A货物（3300﹣m）吨，根据A货物的数量不大于B货物的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该物流公司4月份共收到w元运费，根据总运费＝每吨的运费×运输货物的重量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该物流公司2月份运输A货物x吨，运输B货物y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：该物流公司2月份运输A货物1000吨，运输B货物1500吨．
（2）设该物流公司预计4月份运输B货物m吨，则运输A货物（3300﹣m）吨，
依题意，得：3300﹣m≤2m，
解得：m≥1100．
设该物流公司4月份共收到w元运费，则w＝50（3300﹣m）+30m＝﹣20m+165000，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝1100时，w取得最大值，最大值＝﹣20×1100+165000＝143000．
答：该物流公司4月份最多将收到143000元运费．
22．（8分）党的十九大指出，脱贫攻坚战成为我国全面建设小康社会的重中之重．为了调查学生对脱贫攻坚知识的了解程度，南海区某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．
（1）本次抽样调查的人数是 400 人；
（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”脱贫攻坚知识的人数约为多少？
（3）根据调查结果，学校准备开展关于脱贫攻坚知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【分析】（1）把条形统计图给出的数据相加即可得出答案；
（2）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这个游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）本次抽样调查的人数是：20+60+180+140＝400（人），
故答案为：400；
（2）这些学生中“比较了解”脱贫攻坚知识的人数有：2000×＝300（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，
∴P（颜色相同）＝＝，P（颜色不同）＝＝，
∴游戏规则不公平．
23．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC＝EF；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；
（3）先求∠EAC＝90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD＝90°，则AC⊥DF．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，AB＝AE，
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（3）∵∠EAC＝∠EAF+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC＝∠AGD＝90°，
∴AC⊥DF．
四、解答题（三）（本大题共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）如图，AB是⊙〇的直径，点C是⊙O上异于A、B的一点，点D是∠ABC角平分线上一点，连接AD、BD，其中BD交AC于点E，交⊙O于点F，且点F是DE的中点．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若点E是BF的中点，求sin∠CAB的值；
（3）若AB＝13，BC＝5，求BE的长．
【分析】（1）连接AF，利用垂直平分线的性质可得AD＝AE，再由等腰三角形的三线合一得到∠DAF＝∠FAC；利用角平分线的定义和圆周角定理可得∠FBA＝∠FAC，从而∠FAD＝∠FBA；利用直径所对的圆周角为直角可得∠FAB+∠FBA＝90°，利用等量代换可得∠FAD+∠FAB＝90°，即∠DAB＝90°，结论可得；
（2）由已知可得：DF＝EF＝BE＝x，则BF＝2x，利用△AFB∽△DFA，得出比例式可求线段AF，利用勾股定理可求AB，AE，再利用△AEF∽△BEC求得线段BC，在Rt△ABC中，利用正弦的意义可求结论；
（3）连接OF，则OF垂直平分AC，利用已知和勾股定理可求AC＝12，利用三角形的中位线定理可得OG＝BC＝2.5，进而可得GF＝OF﹣OG＝4；利用△AGF∽△BCE，结论可得．
【解答】（1）证明：连接AF，如图，
∵AB是⊙〇的直径，
∴AF⊥BF．
∵DF＝FE，
∴AF是DE的垂直平分线．
∴AD＝AE，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF＝∠FAC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBA＝∠FBC，
∵∠FBC＝∠FAC，
∴∠FBA＝∠FAC＝∠DAF．
∵∠FAB+∠FBA＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
即∠DAB＝90°，
∴BA⊥AD，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：∵点E是BF的中点，点F是DE的中点，
∴DF＝EF＝BE．
设DF＝EF＝BE＝x，则BF＝2x，
∵DA⊥AB，AF⊥BD，
∴△AFB∽△DFA．
∴．
∴AF＝．
∴AB＝x，
AE＝x．
∵∠FAE＝∠CBE，∠FEA＝∠CEB，
∴△AFE∽△BCE，
∴．
∴BC＝x．
在Rt△ABC中，
sin∠ABC＝．
（3）连接OF，OF交AC于点G，如图，
∵∠ABF＝∠CBF
∴．
∴OF垂直平分AC．
∴AG＝GC＝AC，OG⊥AC．
∵OA＝OB，
∴OG＝BC＝2.5．
∵AB是⊙〇的直径，
∴AC⊥BC．
∴AC＝＝12．
∴AG＝GC＝6．
∵GF＝OF﹣OG＝6.5﹣2.5＝4，
∴tan∠FAG＝．
∵∠CBE＝∠CAF，
∴tan∠CBE＝tan∠FAG＝．
∵tan∠CBE＝，
∴．
∴CE＝，
∴BE＝．
25．（10分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA＝∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，
∴直线AC解析式为y＝2x+2，
∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，
解得 或，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；
（3）△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PF+PF•sin∠PFE+PF•cos∠PFE＝PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE），
∵∠PFE是定值，
∴当PF最大时，△PEF的周长最大，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），F（t，﹣t+2）
∴PF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，PF最大值为2，
∵B（4，0），C（0，2），
∴OB＝4，OC＝2，BC＝＝2，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE＝∠OCB，
∴sin∠PFE＝，cos∠PFE＝，
∴△PEF的周长最大值为 PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE）＝2×（1++）＝2+．
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日期：2021/8/11 12:00:05；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在某市举办的主题为“英雄武汉”的网络演讲比赛中，七位选手的得分分别为：88，84，87，90，86，92，94，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．88 C．90 D．92
4．（3分）若∠α＝30°，则∠α的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（3分）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣10
7．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）||+2﹣1＝ ．
12．（4分）正六边形的每个内角的度数是 度．
13．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
14．（4分）已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，则x+y＝ ．
15．（4分）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距 米．
16．（4分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
17．（4分）在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，若点D、C、C1…在直线y＝x+2上，则A2019A2020＝ ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
19．（6分）化简：（）．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4．
（1）过C点作CD垂直于AB，垂足为D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）求AD的长度．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）某物流公司承接A、B两种抗疫物资的运输业务，已知2月份A货物运费单价为70元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费130000元；3月份由于油价下调，运费单价下降为：A货物50元/吨，B货物30元/吨；该物流公司3月承接的A种货物和B种数量与2月份相同，3月份共收取运费95000元．
（1）该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计4月份运输这两种货物3300吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？
22．（8分）党的十九大指出，脱贫攻坚战成为我国全面建设小康社会的重中之重．为了调查学生对脱贫攻坚知识的了解程度，南海区某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．
（1）本次抽样调查的人数是 人；
（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”脱贫攻坚知识的人数约为多少？
（3）根据调查结果，学校准备开展关于脱贫攻坚知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
23．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
四、解答题（三）（本大题共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）如图，AB是⊙〇的直径，点C是⊙O上异于A、B的一点，点D是∠ABC角平分线上一点，连接AD、BD，其中BD交AC于点E，交⊙O于点F，且点F是DE的中点．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若点E是BF的中点，求sin∠CAB的值；
（3）若AB＝13，BC＝5，求BE的长．
25．（10分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值．
2020年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
【分析】相反数就是只有符号不同的两个数．
【解答】解：根据概念，与﹣6只有符号不同的数是6．即﹣6的相反数是6．
故选：D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
3．（3分）在某市举办的主题为“英雄武汉”的网络演讲比赛中，七位选手的得分分别为：88，84，87，90，86，92，94，则这组数据的中位数是（ ）
A．86 B．88 C．90 D．92
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列为：84，86，87，88，90，92，94，处于中间位置的是88，
则这组数据的中位数是88．
故选：B．
4．（3分）若∠α＝30°，则∠α的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】相加等于180°的两角称作互为补角，也作两角互补，即一个角是另一个角的补角．因而，求这个角的补角，就可以用180°减去这个角的度数．
【解答】解：180°﹣30°＝150°．
故选：D．
5．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据∠4＝90°，∠2＝35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1＝∠3，代入即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵∠4＝90°，∠2＝35°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°．
故选：C．
6．（3分）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣10
【分析】根据相反数的定义得：﹣2a﹣3b＝﹣4，首先化简﹣4a﹣6b+1，然后把﹣2a﹣3b＝﹣4代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵2a+3b＝4，
∴﹣2a﹣3b＝﹣4，
∴﹣4a﹣6b+1＝2（﹣2a﹣3b）+1＝﹣8+1＝﹣7，
故选：C．
7．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC＝∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC＝∠ACB，易求∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠A＝50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．
故选：B．
8．（3分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】把x＝4代入方程求出k，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣24+k＝0，
解得：k＝8，
即方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
故选：A．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质得出AC＝BD＝16，进而求出BD＝2BO，再依据中位线的性质推知MN＝BO．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△CBO的中位线，
∴MN＝BO＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】证明△ADE为等边三角形，利用y＝×PH×EQ＝×x×（2﹣x）＝﹣x2+x，即可求解．
【解答】解：∵BC＝2，E为BC的中点，则BE＝1，
在Rt△ABE中，AE＝，BE＝1，则AE＝2，
同理可得ED＝2＝AE＝AD，
故△ADE为等边三角形，则∠AED＝60°，
∵PE＝QD＝x，则QE＝2﹣x，
在△PQE中，过点P作PH⊥ED于点H，
则PH＝PEsin∠AED＝x•sin60°＝x，
则y＝×PH×EQ＝×x×（2﹣x）＝﹣x2+x，
该函数为开口向下的抛物线，x＝1时，y的最大值为，
故选：A．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）||+2﹣1＝ 1 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：||+2﹣1
＝+
＝1．
故答案为：1．
12．（4分）正六边形的每个内角的度数是 120 度．
【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
13．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO＝，
∴sin∠OAB＝．
故答案为：．
14．（4分）已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，则x+y＝ 2 ．
【分析】利用绝对值的定义以及偶次方的性质得出x，y的值进而代入求出即可．
【解答】解：∵|x+2y|+（x﹣4）2＝0，
∴x﹣4＝0，x+2y＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
则x+y＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
15．（4分）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距 0.75 米．
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：CD＝0.75．
故答案为0.75．
16．（4分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 2π m2（结果保留π）．
【分析】根据圆周角定理由∠ABC＝90°得AC为⊙O的直径，即AC＝4，根据等腰直角三角形的性质得AB＝2，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，即AC＝4m，
∴AB＝AC＝2m；
∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×22﹣＝2π；
故答案为2π．
17．（4分）在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，若点D、C、C1…在直线y＝x+2上，则A2019A2020＝ ．
【分析】先利用一次函数求出AB＝BC＝AD，再用三角形相似得出A1B＝，A2B2＝（）2，找出规律A2019B2019＝（）2019，即可求A2019A2020．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，BC＝AB＝AD＝，
∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，
∴∠OAD+∠A1AB＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠A1AB＝∠ADO，
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴，
∴A1B＝，
∴A1B1＝A1C＝A1B+BC＝，
同理可得，A2B2＝（）2，
同理可得，A3B3＝（）3，
同理可得，A2019B2019＝（）2019，
∴A2019A2020＝（）2019×＝．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
在数轴上表示如下：
．
19．（6分）化简：（）．
【分析】先把除法转化为乘法，再利用乘法对加法的分配律．
【解答】解：原式＝（）×
＝×﹣×
＝a（a+2）﹣2（a﹣2）
＝a2+2a﹣2a+4
＝a2+4．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4．
（1）过C点作CD垂直于AB，垂足为D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）求AD的长度．
【分析】（1）利用尺规过点C作CD⊥AB于D即可．
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CD，利用勾股定理求出AD，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝，
∴AD＝＝＝．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）某物流公司承接A、B两种抗疫物资的运输业务，已知2月份A货物运费单价为70元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费130000元；3月份由于油价下调，运费单价下降为：A货物50元/吨，B货物30元/吨；该物流公司3月承接的A种货物和B种数量与2月份相同，3月份共收取运费95000元．
（1）该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计4月份运输这两种货物3300吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？
【分析】（1）设该物流公司2月份运输A货物x吨，运输B货物y吨，根据“该物流公司2月份共收取运费130000元，3月份共收取运费95000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该物流公司预计4月份运输B货物m吨，则运输A货物（3300﹣m）吨，根据A货物的数量不大于B货物的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该物流公司4月份共收到w元运费，根据总运费＝每吨的运费×运输货物的重量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该物流公司2月份运输A货物x吨，运输B货物y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：该物流公司2月份运输A货物1000吨，运输B货物1500吨．
（2）设该物流公司预计4月份运输B货物m吨，则运输A货物（3300﹣m）吨，
依题意，得：3300﹣m≤2m，
解得：m≥1100．
设该物流公司4月份共收到w元运费，则w＝50（3300﹣m）+30m＝﹣20m+165000，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝1100时，w取得最大值，最大值＝﹣20×1100+165000＝143000．
答：该物流公司4月份最多将收到143000元运费．
22．（8分）党的十九大指出，脱贫攻坚战成为我国全面建设小康社会的重中之重．为了调查学生对脱贫攻坚知识的了解程度，南海区某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．
（1）本次抽样调查的人数是 400 人；
（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”脱贫攻坚知识的人数约为多少？
（3）根据调查结果，学校准备开展关于脱贫攻坚知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【分析】（1）把条形统计图给出的数据相加即可得出答案；
（2）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这个游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）本次抽样调查的人数是：20+60+180+140＝400（人），
故答案为：400；
（2）这些学生中“比较了解”脱贫攻坚知识的人数有：2000×＝300（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，
∴P（颜色相同）＝＝，P（颜色不同）＝＝，
∴游戏规则不公平．
23．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC＝EF；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；
（3）先求∠EAC＝90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD＝90°，则AC⊥DF．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，AB＝AE，
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（3）∵∠EAC＝∠EAF+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC＝∠AGD＝90°，
∴AC⊥DF．
四、解答题（三）（本大题共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）如图，AB是⊙〇的直径，点C是⊙O上异于A、B的一点，点D是∠ABC角平分线上一点，连接AD、BD，其中BD交AC于点E，交⊙O于点F，且点F是DE的中点．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若点E是BF的中点，求sin∠CAB的值；
（3）若AB＝13，BC＝5，求BE的长．
【分析】（1）连接AF，利用垂直平分线的性质可得AD＝AE，再由等腰三角形的三线合一得到∠DAF＝∠FAC；利用角平分线的定义和圆周角定理可得∠FBA＝∠FAC，从而∠FAD＝∠FBA；利用直径所对的圆周角为直角可得∠FAB+∠FBA＝90°，利用等量代换可得∠FAD+∠FAB＝90°，即∠DAB＝90°，结论可得；
（2）由已知可得：DF＝EF＝BE＝x，则BF＝2x，利用△AFB∽△DFA，得出比例式可求线段AF，利用勾股定理可求AB，AE，再利用△AEF∽△BEC求得线段BC，在Rt△ABC中，利用正弦的意义可求结论；
（3）连接OF，则OF垂直平分AC，利用已知和勾股定理可求AC＝12，利用三角形的中位线定理可得OG＝BC＝2.5，进而可得GF＝OF﹣OG＝4；利用△AGF∽△BCE，结论可得．
【解答】（1）证明：连接AF，如图，
∵AB是⊙〇的直径，
∴AF⊥BF．
∵DF＝FE，
∴AF是DE的垂直平分线．
∴AD＝AE，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF＝∠FAC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBA＝∠FBC，
∵∠FBC＝∠FAC，
∴∠FBA＝∠FAC＝∠DAF．
∵∠FAB+∠FBA＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
即∠DAB＝90°，
∴BA⊥AD，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：∵点E是BF的中点，点F是DE的中点，
∴DF＝EF＝BE．
设DF＝EF＝BE＝x，则BF＝2x，
∵DA⊥AB，AF⊥BD，
∴△AFB∽△DFA．
∴．
∴AF＝．
∴AB＝x，
AE＝x．
∵∠FAE＝∠CBE，∠FEA＝∠CEB，
∴△AFE∽△BCE，
∴．
∴BC＝x．
在Rt△ABC中，
sin∠ABC＝．
（3）连接OF，OF交AC于点G，如图，
∵∠ABF＝∠CBF
∴．
∴OF垂直平分AC．
∴AG＝GC＝AC，OG⊥AC．
∵OA＝OB，
∴OG＝BC＝2.5．
∵AB是⊙〇的直径，
∴AC⊥BC．
∴AC＝＝12．
∴AG＝GC＝6．
∵GF＝OF﹣OG＝6.5﹣2.5＝4，
∴tan∠FAG＝．
∵∠CBE＝∠CAF，
∴tan∠CBE＝tan∠FAG＝．
∵tan∠CBE＝，
∴．
∴CE＝，
∴BE＝．
25．（10分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA＝∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，
∴直线AC解析式为y＝2x+2，
∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，
解得 或，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；
（3）△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PF+PF•sin∠PFE+PF•cos∠PFE＝PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE），
∵∠PFE是定值，
∴当PF最大时，△PEF的周长最大，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），F（t，﹣t+2）
∴PF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，PF最大值为2，
∵B（4，0），C（0，2），
∴OB＝4，OC＝2，BC＝＝2，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE＝∠OCB，
∴sin∠PFE＝，cos∠PFE＝，
∴△PEF的周长最大值为 PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE）＝2×（1++）＝2+．
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