2020年广东省佛山市南海区中考二模数学试卷

这是一份2020年广东省佛山市南海区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 16 的相反数是
A. 16B. −16C. −6D. 6

2. 2 月 11 日新华社报道，我国为加快地方政府债券发行使用进度，财政部已提前下达 2020 年新增地方政府债务限额 1848000000000 元．数字 1848000000000 用科学记数法表示为
A. 184.8×1010B. 18.48×1011C. 1.848×1012D. 1.848×1013

3. 如图所示是一个圆柱形机械零件，则它的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 不透明袋子中装有红球 3 个、黄球 5 个，除颜色外无其它差别，随机摸出一个小球是黄球的概率为
A. 38B. 12C. 35D. 58

5. 关于 x 的分式方程 3x−a−2x=0 解为 x=2，则常数 a 的值为
A. a=−1B. a=1C. a=2D. a=5

6. 如图，AB∥DF，AC⊥BC 于点 C，CB 的延长线与 DF 交于点 E，若 ∠A=20∘，则 ∠CED 等于
A. 70∘B. 100∘C. 110∘D. 120∘

7. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=3，BC=4，AE 平分 ∠ABC 交 BC 于点 E，点 D 为 AB 的中点，连接 DE，则 △BDE 的周长是
A. 3B. 4C. 5D. 6

8. 下列计算正确的是
A. 5a−2a=3B. a2+4a2=5a4C. x23=x6D. x6÷x3=x2

9. 下列一元二次方程中，没有实数根的是
A. x2−2x=0B. x2+4x−1=0C. 3x2−5x+2=0D. 2x2−4x+3=0

10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8 cm，BC=4 cm，点 E 是 CD 上的中点，点 P，Q 均以 1 cm/s 的速度在矩形 ABCD 边上匀速运动，其中动点 P 从点 A 出发沿 A→D→C 方向运动，动点 Q 从点 A 出发沿 A→B→C 方向运动，二者均到达点 C 时停止运动．设点 Q 的运动时间为 x，△PQE 的面积为 y，则下列能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 25 的平方根为 ．

12. 因式分解：x3−2x2y+xy2= ．

13. 五边形的内角和为 ．

14. 已知反比例函数 y=−3x，当 x<−3 时，y 的取值范围是 ．

15. 已知 a+b=4，ab=3，则代数式 a+1b+1 的值为 ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=2，将 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转 30∘ 得到 Rt△AED，AB 与 DE 相交于点 F，则 △ADF 的面积为 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，在 BC 边取一点 D，使 BD=2CD，连接 AD，过点 C 作 AD 的垂线 l，交 AD 于点 M，交 AB 于点 N，连接 DN，过点 B 作 BE⊥BC，交直线 l 于点 E．给出以下四个结论：① △ACD ≌ △CBE；② BEBC=BNAN；③ S△BCE=5S△CDN；④ sin∠DAB=55．其中正确的结论序号是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. π−30−18+18−1+32−3．

19. 先化简，再求值：1−1x÷x2−2x+1x，其中 x=2．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘．
（1）请用尺规作图法，在 BC 边上求作一点 P，使 PA=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接 AP，若 ∠ABC=30∘，BC=5，求 AP 的长度．

21. 为了对抗新冠病毒的疫情，某医院现决定购买一批防护服，已知甲、乙两种型号的防护服的单价分别是 310 元和 460 元，且每种型号的防护服必须整套购买．
（1）若购买甲、乙两种型号的防护服共 100 套，且恰好支出 40000 元，求甲、乙两种型号的防护服各购买了多少套?
（2）若购买甲、乙两种型号的防护服共 100 套，且支出不超过 36000 元，求甲种型号的防护服至少要购买多少套?

22. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=AC，点 E 是 BC 中点，连接 AE，交 BD 于点 G，延长 AE 到 F，使得 EF=AE，连接 EO，FB，FC．
（1）求证：四边形 ABFC 为菱形；
（2）若 S△BEF=6，求 S△AOG．

23. 某家庭记录了未使用节水水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m2）和使用了节水水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数直方图如下．
（1）估计该家庭使用节水水龙头后，日用水量小于 0.4 m3 的概率；
（2）为了计算方便，把用水量介于 0∼0.1 m3 之间的日用水量均近似地看做 0.05 m3，用水量介于 0.1∼0.2 m3 之间的日用水量均近似地看做 0.15 m3，用水量介于 0.2∼0.3 m3 之间的日用水量均近似地看做 0.25 m3，⋯⋯，以此类推，请估计该家庭使用节水水龙头前后的日用水量分别是多少?（结果精确到 0.01 m3）
（3）如果一年按 365 天计算，那么利用（2）的结论估计该家庭一年能节省多少水?

24. 如图，过 ⊙O 上一点 C 作直径 AB 的垂线（点 C 不与点 A，B 重合），交 AB 于点 P，交 ⊙O 于点 D，以 ⊙O 的弦 BC 为边向圆外作正方形 BCEF，连接 DF，分别交 ⊙O 和 AB 于点 G，H，连接 BG，CG．
（1）求证：∠BCG=∠BFD；
（2）求证：△BCG≌△BGF；
（3）如图，当点 H 与点 O 重合时，连接 AC，已知 OP=1，求 tan∠BAC．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−x+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A，B，C 三点，且点 A 坐标为 −1,0．
（1）求这条抛物线及其对称轴的表达式；
（2）点 P 是抛物线上点 A 与点 C 之间任意一点，当 △PBC 与 △OBC 面积相等时，求点 P 的坐标；
（3）如图，点 D 是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上找一点 Q，使得以 B，C，D，Q 为顶点的四边形为平行四边形．请求出一组满足以上条件的点 D，Q 坐标，并直接写出其余满足条件的点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. B
4. D
5. A
6. A
7. C
8. C
9. D
10. D
第二部分
11. ±5
12. xx−y2
13. 540∘
【解析】5−2⋅180∘=540∘．
14. 015. 8
16. 3−1（或 23+1）
17. ①②④
第三部分
18. 原式=1−32+8+32−3=6.
19. 原式=x−1x÷x−12x=x−1x⋅xx−12=1x−1.
当 x=2 时，原式=12−1=11=1．
20. （1） 如答图所示，点 P 即为所求．
（2） ∵PA=PB，∠B=30∘，
∴∠BAP=30∘，
∵∠C=90∘，
∴∠BAC=60∘，
∴∠PAC=∠BAC−∠BAP=30∘，
设 AP=x，则 PC=5−x，
在 Rt△ACP 中，AP=2CP，即 x=25−x，解得 x=103，
∴AP 的长度为 103．
21. （1） 设购买甲种型号的防护服 x 套，则购买乙两种型号的防护服 100−x 套，
由题意可列方程为
310x+460100−x=40000.
解得
x=40.
则 100−x=60（套）．
答：购买甲种型号的防护服 40 套，则购买乙两种型号的防护 60 套．
（2） 设购买甲种型号的防护服 m 套，则
310m+460100−m≤36000.
解得
m≥6623.∵m
为整数，
∴m 的最小值为 67．
答：购买甲种型号的防护服至少为 67 套．
22. （1） 因为 AB=AC，点 E 为 BC 中点，
所以 AE⊥BC，且 BE=EC，
又因为 AE=EF，
所以四边形 ABFC 为菱形．
（2） 因为四边形 ABCD 平行四边形，
所以 AD∥BC，AD=BC，
所以 ∠ADG=∠GBE，
又因为 ∠AGD=∠EGB，
所以 △AGD∽△EGB，
所以 ADEB=AGEG，
因为点 E 为 BC 中点，
所以 BE=12BC=12AD，
所以 AGEG=2，即 AG=2EG．
所以 S△AOG=2S△EOG，
又由（1）可知 BE=EC，AE=EF，
所以 S△AEC=S△BEF=6，
又因为点 O 为平行四边形 ABCD 对角线交点，
所以 AO=OC，
所以 S△AOE=12S△AEC=3，
所以 S△AOG=2．
【解析】方法二：
因为 O，E 分别是 AC，BC 中点，
所以 OE 是 △ABC 的中位线，
所以 OE∥AB，OE=12AB，
所以 ∠ABG=∠EOG，
因为 ∠AGB=∠CGE，
所以 △ABG∽△EOG，
所以 AGEG=ABEO=2，
所以 S△AGO=23S△AEO，
因为 BE=EC，AE=EF，
所以 S△AEC=S△BEF=6，
因为 AO=CO，
所以 S△AEO=S△CEO=12S△AEC=3，
所以 S△AGO=23×3=2．
23. （1） 根据频数直方图可知该家庭使用节水水龙头后，
日用水量小于 0.4 m3 的概率约为 P=2+4+6+850=0.4．
答：该家庭使用节水水龙头后，日用水量小于 0.4 m3 的概率约为 0.4．
（2） 未使用节水水龙头 50 天的日均用水量为
1502×0.05+4×0.15+4×0.25+6×0.35+10×0.45+16×0.55+8×0.65=0.446≈0.45,
使用节水水龙头 50 天的日均用水量为
1502×0.05+4×0.15+6×0.25+8×0.35+16×0.45+10×0.55+4×0.65=0.406≈0.41.
答：使用节水水龙头前后的 50 天日均用水量分别为 0.45 m3 与 0.41 m3．
（3） 由（2）可知一年能节省水 365×0.45−0.41=14.6 m3．
答：估计该家庭使用节水水龙头后，一年能节省水 14.6 m3．
24. （1） 如答图所示，连接 BD．
∵ 直径 AB⊥CD，
∴ 直径 AB 垂直平分 CD，
∴BC=BD，
又 ∵ 四边形 BCEF 是正方形，
∴BC=BF，
∴BD=BF，
∴∠BDF=∠BFD，
∵BG=BG，
∴∠BCG=∠BDG=∠BDF，
∴∠BCG=∠BFD．
（2） 如答图所示，连接 CF．
∵BC=BF，
∴∠BCF=∠BFC，
由（1）可知 ∠BCG=∠BFG，
∴∠BCF−∠BCG=∠BFC−∠BFG，
∴∠GCF=∠GFC，
∴GC=GF，
又 BC=BF，BG=BG，
∴△BGC≌△BGF．
（3） 如答图所示，连接 OC．
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90∘，
∵ 直径 AB⊥CD，垂足为点 P，
∴PC=PD，∠BPC=90∘．
又 ∵∠BAC+∠ABC=90∘，∠BCP+∠ABC=90∘，
∴∠BAC=∠BCP，
由（2）可知 ∠CBG=12∠CBF=45∘，CG=CG，
∴∠CDG=∠CBG=45∘，
∴△OPD 为等腰直角三角形，
∴OP=PD=1，
∴PC=1，
∴OD=OPcs∠CDG=OPcs45∘=2，
∴PB=PO+OB=1+2，
∴tan∠BCP=PBPC=2+1，
∴tan∠BAC=2+1．
25. （1） 在 y=−x+3 中，令 x=0 得 y=3，则 C0,3，
令 y=0 得 x=3，则 B3,0，
将 A−1,0，B3,0，C0,3 代入 y=ax2+bx+c 中得：a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,
解得 a=−1,b=2,c=3,
所以这条抛物线的表达式是 y=−x2+2x+3，
所以对称轴的表达式是 x=−22×−1=1，即 x=1．
（2） 方法 1：过点 P 作 PM⊥x 轴（如图 1），
设点 Px,y，其中 y=−x2+2x+3，−10，
所以 PM=y，OP=−x，
因为 S△OBC=12×OB×OC=12×3×3=92，
所以
S△PBC=S梯形CPMO+S△OBC−S△PMB=12y+3−x+92−123−xy=−32x+92−32y=−32x+92−32−x2+2x+3=32x2−92x.
因为 S△OBC=S△PBC，
所以 32x2−92x=92，
所以 x=3±212，
因为 −1所以 x=3−212，
所以 y=21−32，
所以 P3−212,21−32．
【解析】方法 2：过点 P 作 PM∥x 轴，交 BC 于点 N（如图 2），
设点 Px,−x2+2x+3，其中 −1所以点 N 的纵坐标为 −x2+2x+3，
因为点 N 在直线 y=−x+3 上，
所以点 N 的横坐标为 x2−2x，
所以 PN=x2−2x−x=x2−3x，
所以 S△PBC=12PN⋅OC=12x2−3x×3=123x2−9x，
因为 S△OBC=12×OB×OC=12×3×3=92，且 S△OBC=S△PBC，
所以 32x2−92x=92，
所以 x=3±212，
因为 −1所以 x=3−212，
所以 y=21−32，
所以 P3−212,21−32．
方法 3：连接 OP，
因为 S△PBC=S△OBC，
所以 S△BOC−S△BCN=S△OBC−S△BCN，
所以 S△PCN=S△BON，
所以 S△PCN+S△PON=S△BON+S△PON，
所以 S△POC=S△POB，
设 Pm,−m2+2m+3−1因为 C0,3，B3,0，
所以 OC=3，OB=3，
所以 12×3×−m=12×3×−m2+2m+3，
m2−3m−3=0，m1=3+212（舍去），m2=3−212，
当 m=3−212 时，−m2+2m+3=21−32，
所以 P3−212,21−32．
（3） 因为点 Q 在抛物线的对称轴上，
所以点 Q 横坐标是 1，
① 当 BC 为平行四边形对角线时，
所以 CD∥BQ，
所以 C，D 两点横纵坐标的差和 B，Q 两点横纵坐标的差相等，
因为 xB−xQ=3−1=2，
所以 xD−xC=2，
所以 xD=2，
因为点 D 在抛物线上，
所以 D2,3，
所以 CD∥x 轴，
所以 Q1,0．
② 当 BC 为平行四边形的边时，
所以 BC∥DQ，
所以 B，C 两点横纵坐标的差和 D，Q 两点横纵坐标的差相等，
因为 xB−xC=3−0=3，
所以 xQ−xD=3，
所以 xD=−2 或者 xD=4，
i．当 xD=−2 时，
因为当 D 在抛物线上，
所以 D−2,−5，
因为 yC−yD=yB−yQ=3−−5=8，
所以 yQ=−8，
所以 Q1,−8．
ⅱ．当 xD=4 时，
因为点 D 在抛物线上，
所以 D4,−5，
因为 yB−yD=yC−yQ=0−−5=5，
所以 yQ=−2，
所以 Q1,−2．
综上所述，满足条件点 Q 的坐标分别为 1,0，1,−2，1,−8．