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2023年广东省佛山市顺德区德胜中学中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省佛山市顺德区德胜中学中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省佛山市顺德区德胜中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的倒数是( )
A. 2023 B. −12023 C. −2023 D. 12023
2. 《新华字典》是新中国最有影响力的现代汉语字典，《新华字典》自1950年开始启动编写和出版工作，至今已历经70余年，出版至第12版，从1953年版本收录单字6840个(含异体字)，到12版收录13000字，收字数增加了将近一倍，将“13000”用科学记数法表示为( )
A. 0.13×104 B. 13×106 C. 1.3×104 D. 13×103
3. 下面四个几何体中，从正面看是三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. 9=±3 B. a6÷a2=a4
C. |3.14−π|=0 D. (a+b)2=a2+b2
5. 如图，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC上的点，若AE=BE，AF=CF，则下列结论错误的是( )
A. S△ABC=2S△AEF B. EF=12BC
C. △AEF∽△ABC D. EF//BC
6. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如图统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间(单位：小时)的选项中，错误的是( )
A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时
C. 众数是5小时 D. 平均数是5.825小时
7. 关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤−4 B. k<−4 C. k≤4 D. k<4
8. 如图，数轴上的点A可以用实数a表示，下面式子成立的是( )
A. |a|>1 B. |a−1|=a−1 C. a+1>0 D. −1a<1
9. 如图，三个边长分别为2，4，6的菱形如图所示拼叠，则线段AB的长度为( )
A. 23 B. 34 C. 45 D. 1
10. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为(结果保留π)( )
A. 16π B. 13π−12 C. 14π D. 14π− 32
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 分解因式：2a−4= ______ ．
12. 五边形的内角和是 °.
13. 甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是______．
14. 物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则表中压强P1与P2的大小关系为：P1 P2.(填“>”，“=”或“<”)
S/m2
1
2
3
P/Pa
P1
300
P2
15. 直线l1//l2，线段BC分别l1，l2交于点D，C，过点B作AB⊥BC，交直线l1于点A，∠DCE的平分线交直线l1于点F.若∠BAD=15°，则∠CFD的度数是______ ．
16. 已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为______ ．
17. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE=CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG．
(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是 ；
(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
计算：−(−2)+(π−3.14)0+327+(−13)−1．
19. (本小题6.0分)
已知：P=1a2+a⋅(a2a−1−1a−1).
(1)化简P；
(2)当a满足不等式组a−1>02a<6，且a为整数时，求P的值．
20. (本小题8.0分)
某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
21. (本小题8.0分)
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BM⊥AB
(1)尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2=3：5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1−C2=AC．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
22. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB=10，BC=8，AE平分∠CAB交BC于点E.在AE的延长线上取一点F，使得BF=BE，连接BF．
(1)证明：BF是⊙O的切线；
(2)求AEEF的值．
23. (本小题12.0分)
古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形(如图①中ABC)，已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半径是______ m；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形(如图②)，若水面宽MN=10m，拱顶P(抛物线顶点)距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
24. (本小题14.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P在边AD上，过点P作PQ⊥AB，PM⊥AD，分别交直线AB于点Q，M．
(1)当点P与点D重合时，求MB的长；
(2)设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，AP=t.当1≤t≤3时，求S的最大值；
(3)若以线段PQ为边，在PQ的右侧作等边三角形PQE，当线段BE长最小时，求cos∠EBA的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023×(−12023)=1，
∴−2023的倒数是−12023，
故选：B．
运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】C
【解析】解：13000=1.3×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【解答】
解：A.该圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
B.该圆锥的主视图为三角形，符合题意；
C.球的主视图是圆，不符合题意；
D.正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：A、 9=3，
故A不符合题意；
B、a6÷a2=a4，
故B符合题意；
C、|3.14−π|=π−3.14，
故C不符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，
故D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的除法，绝对值，算术平方根的意义，二次根式的加法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AE=BE，AF=CF，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC，EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
故B、C、D正确；
∵△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=(EFBC)2=(12)2=14，
∴S△ABC=4S△AEF，
故A错误．
故选：A．
由三角形中位线定理，推出EF=12BC，EF//BC，得到△AEF∽△ABC，由相似三角形的性质得到S△ABC=4S△AEF．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【解答】
解：由统计图可得，
本次抽取共调查了6+14+8+5+7=40(个)学生，故选项A正确，不符合题意；
中位数是(5+6)÷2=5.5，故选项B错误，符合题意；
众数是5，故选项C正确，不符合题意；
平均数是：4×6+5×14+6×8+7×5+8×740=5.825，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=42−4k≥0，
解得k≤4．
故选：C．
根据判别式的意义得Δ=42−4k≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
由数轴得到a的取值范围，再判断选项正误．
本题考查了实数与数轴、绝对值的定义，解题的关键是掌握数轴和绝对值的定义．
【解答】
解：由数轴可知，−1
|a−1|=1−a，B选项错误；
a+1>0，C选项正确；
−1a>1，D选项错误．
故选：C．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出BC//DE，OC=2，OD=4+6=10，DE=6，进而可得△OCA∽△ODE，根据相似三角形的性质得出AC=65，即可求解．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【解答】
解：如图所示，
依题意，BC//DE，OC=2，OD=4+6=10，DE=6，
∴△OCA∽△ODE，
∴ACED=OCOD，
即AC6=210，
解得：AC=65，
∴AB=2−65=45，
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠COC′=180°−60°=120°，∠OBC=90°−60°=30°，
∵AB=2，
∴OA=OB=12AB=1，
∴OC=12OB=12，
∵将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′′在OA上，
∴∠B′OC′=∠BOC=60°，OC′=OC=12，S△B′OC′=S△BOC，
∴∠BOB′=180°−60°=120°，
∴S阴影=S△B′OC′+S扇形BOB′−S△BOC−S扇形COC′
=S扇形BOB′−S扇形COC′
=120π×12360−120π×(12)2360
=14π，
故选：C．
结合已知条件求得∠COC′的度数，根据含30°的直角三角形的性质求得OC的长度，再结合旋转性质求得BOB′的度数，最后利用面积的和差及扇形面积公式即可求得答案．
本题考查旋转性质及扇形面积的计算，结合已知条件求得S阴影=S扇形BOB′−S扇形COC′是解题的关键．
11.【答案】2(a−2)
【解析】解：2a−4=2(a−2)．
故答案为：2(a−2)．
提公因式分解即可解答．
本题考查了提公因式法运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】540
【解析】
【分析】
本题考查的是多边形的内角和的计算，掌握多边形的内角和公式(n−2)⋅180°是解题的关键．
根据多边形的内角和是(n−2)⋅180°，代入计算即可．
【解答】
解：(5−2)×180°
=540°，
故答案为：540．
13.【答案】13
【解析】解：∵甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，共有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲这6种等可能结果，
而甲排在中间的只有2种结果，
∴甲排在中间的概率为13，
故答案为：13
根据概率公式计算可得．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
14.【答案】>
【解析】
【分析】
根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例函数的性质即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【解答】
解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设P=FS，
依题意F=2×300=600，
∴反比例函数解析式为：P=600S，600>0，
∴P随S的增大而减小，
∵1<3，
∴P1>P2，
故答案为：>．
15.【答案】52.5°
【解析】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵∠BAD=15°，
∴∠ADB=180°−∠BAD−∠B=75°，
∴∠FDC=∠ADB=75°，
∵l1//l2，
∴∠FDC+∠DCE=180°，
∴∠DCE=105°，
∵∠DCE的平分线交直线l1于点F，
∴∠FCE=52.5°，
∵l1//l2，
∴∠CFD=∠FCE=52.5°．
故答案为：52.5°．
首先利用三角形的内角和定理求出∠ADB，然后利用平行线的性质求出∠DCE，最后利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解．
此题主要考查了平行线的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
16.【答案】2023
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−2023x+1=0的两根，
∴x1+x2=2023，x1x2=1，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2023，
故答案为：2023．
利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，解题的关键是理解并掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2与系数的关系x1+x2=−ba，x1x2=ca．
17.【答案】1
2 55
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件得到AE=CF，推出点F在CD的中点，于是得到EF=FG=4，DG=FG−FD=1；
(2)设AE=a，作FH⊥AB于H，作IG⊥CD于I，得到∠FHE=∠GIF=90°，根据旋转的性质得到∠EFG=90°，EF=FG，根据全等三角形的性质得到EH=GI，①当0
【解答】
解：(1)当E为AB的中点时，
∵AE=CF，
∴点F为CD的中点，
∴EF=FG=4，DG=FG−FD=1；
(2)设AE=a，作FH⊥AB于H，作IG⊥CD于I，
∴∠FHE=∠GIF=90°，
∵将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，
∴∠EFG=90°，EF=FG，
∴∠EFH+∠EFI=∠EFI+∠GFI=90°，
∴∠EFH=∠GFI，
∴△EFH≌△GFI(AAS)，
∴EH=GI，
①当0
∴DG2=ID2+IG2=(2−a)2+(6−2a)2=5a2−28a+40=5(a−145)2+45，
当a=145时，DG2取最小值45，
∴DG=2 55；
②当3≤a<6，GI=EH=2a−6，ID=FI−FD=FH−FD=a−2，
∴DG2=ID2+IG2=(a−2)2+(2a−6)2=5a2−28a+40=5(a−145)2+45，
当a=3时，DG2取最小值1，
∴DG=1；
∵2 55<1，
∴DG的最小值为：2 55．
18.【答案】解：原式=2+1+3+(−3)
=3+3+(−3)
=3．
【解析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及有理数的加减运算法则即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．
19.【答案】解：(1)P=1a(a+1)⋅a2−1a−1
=1a(a+1)⋅(a+1)(a−1)a−1
=1a；
(2)解不等式组a−1>02a<6，得1
∴P=12．
【解析】(1)根据分式的加法法则、乘法法则化简P；
(2)解不等式组求出a的范围，进而确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，
根据题意得：3×1600x=6000x+2，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为8元．
(2)设销售单价为m元，
则第一批进货数量为：1600÷8=200(瓶)，
第二次进货数量为：200×3=600(瓶)，
根据题意得：200(m−8)+600m−(8+2)≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，根据数量=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值，即可得出结论．
21.【答案】解：(1)如图，即为所求；
(2)条件①：∵Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴S△AOC=S△BOC，
∵△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2=3：5，
∴S△BOC：S2=3：5
∴OCOD=OBOD=35，
设OB=3a，OD=5a，
∵BM⊥AB，
∴在Rt△BOD中，BD= OD2−OB2=4a，
∴cos∠BDC=BDOD=45；
条件②：∵Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC，
∵△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1−C2=AC，
∴OC+OB+BC−(OC+OA+AC)=AC，即BC=2AC，
设AC=m，则BC=2m,AB= AC2+BC2= 5m，
∴AO=CO=BO= 52m，
过点D作DE⊥CB于点E，
则∠BDE+∠DBE=90°，
∵BM⊥AB，
∵∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
∵∠E=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△BED，
∴BEDE=ACBC=12，
设BE=x，则DE=2x，
∵∠ABC=∠DCE，∠E=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△DEC
∴DECE=ACBC=12，
∴2x2m+x=12，
解得x=23m，
∴BE=23m,DE=43m，
∴BD= BE2+DE2=2 53m，
∴OD= OB2+BD2=5 56m，
∴cos∠BDC=BDOD=2 53m5 56m=45．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的画法及线段的画法解答；
(2)条件①：根据直角三角形斜边中线的性质得到AO=CO=BO，推出S△BOC：S2=3：5，即OCOD=OBOD=35，设OB=3a，OD=5a，勾股定理求出BD，根据余弦定义求值；条件②：根据C1−C2=AC，推出BC=2AC，设AC=m，勾股定理求出AB，过点D作DE⊥CB于点E，证明△ACB∽△BED，得到BEDE=ACBC=12，设BE=x，则DE=2x，证得△ACB∽△DEC，得到DECE=ACBC=12，列得2x2m+x=12，求出x=23m，勾股定理求出BD，OD即可．
此题考查了线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE，
∵∠BEF=∠AEC，
∴∠BFE=∠AEC，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE+∠BFE=∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠ABF=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，
∴BF是⊙O的切线．
(2)解：作EG⊥AB于点G，则∠AGE=∠BGE=90°，
∵AE平分∠CAB，EC⊥AC，
∴EG=EC，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6，
∵12AC⋅EC+12AB⋅EG=12AC⋅BC=S△ABC，
∴12×6EC+12×10EC=12×6×8，
∴EG=EC=3，
∴BE=BC−EC=8−3=5，
∴GB= BE2−EG2= 52−32=4，
∴AG=AB−GB=10−4=6，
∵EG⊥AB，FB⊥AB，
∴EG//FB，
∴AEEF=AGGB=64=32，
∴AEEF的值为32．
【解析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠C=90°，由BF=BE，得∠BEF=∠BFE，则∠BFE=∠AEC，而∠BAE=∠CAE，所以∠BAE+∠BFE=∠CAE+∠AEC=90°，则∠ABF=90°，即可证明BF是⊙O的切线；
(2)作EG⊥AB于点G，则EG=EC，由∠C=90°，AB=10，BC=8，根据勾股定理得AC= AB2−BC2=6，由12×6EC+12×10EC=12×6×8=S△ABC，求得EG=EC=3，则BE=5，所以GB= BE2−EG2=4，AG=6，再证明EG//FB，由平行线分线段成比例定理得AEEF=AGGB=32．
此题重点考查等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角、切线的判定、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、平行线分线段成比例定理等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】25
【解析】解：(1)设主桥拱所在的圆弧形圆心为O，连接OD，如图：
由拱高的定义可知，B，D，O共线，设主桥拱的半径是r m，
在Rt△ADO中，AD=12AC=20m，DO=BO−BD=(r−10)m，
∵AD2+DO2=AO2，
∴202+(r−10)2=r2，
解得r=25，
故答案为：25；
(2)以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
设桥拱抛物线的解析式为y=ax2，
∵水面宽MN=10m，拱顶P(抛物线顶点)距离水面4m，
∴M(−5,−4)，
∴−4=25a，
解得a=−425，
∴桥拱抛物线的解析式为y=−425x2；
(3)桥A的桥下水位上升了2m，如图：
根据题意，OF=25m，OE=OB−BE=25−(10−2)=17，
∴EF= OF2−OE2= 252−172=4 21(m)；
∴此时桥A的水面宽度为8 21m；
桥B的桥下水位上升了2m，
在y=−425x2中，令y=−2得：−2=−425x2，
解得x=5 22或x=−5 22，
∵5 22−(−5 22)=5 2，
∴此时桥B的水面宽度为5 2m.
(1)设主桥拱的半径是rm，根据勾股定理可得202+(r−10)2=r2，即可解得答案；
(2)以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为y=ax2，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为y=−425x2；
(3)桥A的桥下水位上升了2m，用勾股定理可得桥A的水面宽度为8 21m；桥B的桥下水位上升了2m，在y=−425x2中，令y=−2得x=5 22或x=−5 22，即可得此时桥B的水面宽度为5 2m.
本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质．
24.【答案】解：(1)当点P与点D重合时，如图1，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°，
∴AD=AB=4，
∵PM⊥AD，
∴∠M=30°，
∴AM=2AD=8，
∴MB=AM−AB=4；
(2)①1≤t≤2时，如图2，
∵PQ⊥AB，PM⊥AD，∠BAD=60°，
∴∠APQ=∠AMP=30°，
∴PQ= 32t，MQ=32t，
∴S=12PQ⋅MQ=12× 32t×32t=3 38t2，
∴当t=2时，S的最大值为3 32；
②当2
∵AB=4，∠BAD=60°，
∴∠ABH=∠M=30°，
∴AH=12AB=2，MF= 3BF，
∵PQ⊥AB，PM⊥AD，
∴四边形PHBF为矩形，
∴BF=PH=AP−AH=t−2，
∴MF= 3(t−2)，
∴S△BFM=12BF⋅MF= 32(t−2)2，
∴S=S△PQM−S△BFM=− 38t2+2 3t−2 3=− 38(t−8)2+6 3，
∴当t=3时，S的最大值为23 38；
∵23 38>3 32，
∴当1≤t≤3时，S的最大值为23 38；
(3)如图4，
∵△PQE为等边三角形，
∴PE=PQ= 32t，
在Rt△APE中，tan∠PAE=PEPA= 32tt= 32，
∴∠PAE为定值，
∴点E的运动轨迹为直线，
当BE⊥AE时，线段BE长最小，
过点E作EF⊥PQ于F，过点E作EG⊥AB于G，
∵△PQE是等边三角形，
∴PQ=PE=EQ= 32t，
∵EF⊥PQ，
∴FQ=FP= 34t，
∴EF= EQ2−FQ2=34t，
∵EF⊥PQ，EG⊥AB，PQ⊥AB，
∴四边形FQGE为矩形，
∴QG=EF=34t，EG=FQ= 34t，
∵EG⊥AB，BE⊥AE，
∴∠AEG=∠EBA，
∴cos∠EBA=cos∠AEG，
∵AE= AP2+PE2= t2+( 32t)2= 72t，
∴cos∠EBA=cos∠AEG=EGAE= 34t 72t= 2114，
∴当线段BE长最小时，cos∠EBA的值为 2114．
【解析】(1)根据菱形的性质以及直角三角形的性质可得出答案；
(2)分两种情况：①当1≤t≤2时，②当2
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论，数形结合是解题的关键．
2023年广东省佛山市顺德区德胜中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的倒数是( )
A. 2023 B. −12023 C. −2023 D. 12023
2. 《新华字典》是新中国最有影响力的现代汉语字典，《新华字典》自1950年开始启动编写和出版工作，至今已历经70余年，出版至第12版，从1953年版本收录单字6840个(含异体字)，到12版收录13000字，收字数增加了将近一倍，将“13000”用科学记数法表示为( )
A. 0.13×104 B. 13×106 C. 1.3×104 D. 13×103
3. 下面四个几何体中，从正面看是三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. 9=±3 B. a6÷a2=a4
C. |3.14−π|=0 D. (a+b)2=a2+b2
5. 如图，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC上的点，若AE=BE，AF=CF，则下列结论错误的是( )
A. S△ABC=2S△AEF B. EF=12BC
C. △AEF∽△ABC D. EF//BC
6. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如图统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间(单位：小时)的选项中，错误的是( )
A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时
C. 众数是5小时 D. 平均数是5.825小时
7. 关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤−4 B. k<−4 C. k≤4 D. k<4
8. 如图，数轴上的点A可以用实数a表示，下面式子成立的是( )
A. |a|>1 B. |a−1|=a−1 C. a+1>0 D. −1a<1
9. 如图，三个边长分别为2，4，6的菱形如图所示拼叠，则线段AB的长度为( )
A. 23 B. 34 C. 45 D. 1
10. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为(结果保留π)( )
A. 16π B. 13π−12 C. 14π D. 14π− 32
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 分解因式：2a−4= ______ ．
12. 五边形的内角和是 °.
13. 甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是______．
14. 物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则表中压强P1与P2的大小关系为：P1 P2.(填“>”，“=”或“<”)
S/m2
1
2
3
P/Pa
P1
300
P2
15. 直线l1//l2，线段BC分别l1，l2交于点D，C，过点B作AB⊥BC，交直线l1于点A，∠DCE的平分线交直线l1于点F.若∠BAD=15°，则∠CFD的度数是______ ．
16. 已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为______ ．
17. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE=CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG．
(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是 ；
(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
计算：−(−2)+(π−3.14)0+327+(−13)−1．
19. (本小题6.0分)
已知：P=1a2+a⋅(a2a−1−1a−1).
(1)化简P；
(2)当a满足不等式组a−1>02a<6，且a为整数时，求P的值．
20. (本小题8.0分)
某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
21. (本小题8.0分)
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BM⊥AB
(1)尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2=3：5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1−C2=AC．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
22. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB=10，BC=8，AE平分∠CAB交BC于点E.在AE的延长线上取一点F，使得BF=BE，连接BF．
(1)证明：BF是⊙O的切线；
(2)求AEEF的值．
23. (本小题12.0分)
古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形(如图①中ABC)，已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半径是______ m；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形(如图②)，若水面宽MN=10m，拱顶P(抛物线顶点)距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
24. (本小题14.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P在边AD上，过点P作PQ⊥AB，PM⊥AD，分别交直线AB于点Q，M．
(1)当点P与点D重合时，求MB的长；
(2)设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，AP=t.当1≤t≤3时，求S的最大值；
(3)若以线段PQ为边，在PQ的右侧作等边三角形PQE，当线段BE长最小时，求cos∠EBA的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023×(−12023)=1，
∴−2023的倒数是−12023，
故选：B．
运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】C
【解析】解：13000=1.3×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【解答】
解：A.该圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
B.该圆锥的主视图为三角形，符合题意；
C.球的主视图是圆，不符合题意；
D.正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：A、 9=3，
故A不符合题意；
B、a6÷a2=a4，
故B符合题意；
C、|3.14−π|=π−3.14，
故C不符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，
故D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的除法，绝对值，算术平方根的意义，二次根式的加法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AE=BE，AF=CF，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC，EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
故B、C、D正确；
∵△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=(EFBC)2=(12)2=14，
∴S△ABC=4S△AEF，
故A错误．
故选：A．
由三角形中位线定理，推出EF=12BC，EF//BC，得到△AEF∽△ABC，由相似三角形的性质得到S△ABC=4S△AEF．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【解答】
解：由统计图可得，
本次抽取共调查了6+14+8+5+7=40(个)学生，故选项A正确，不符合题意；
中位数是(5+6)÷2=5.5，故选项B错误，符合题意；
众数是5，故选项C正确，不符合题意；
平均数是：4×6+5×14+6×8+7×5+8×740=5.825，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=42−4k≥0，
解得k≤4．
故选：C．
根据判别式的意义得Δ=42−4k≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
由数轴得到a的取值范围，再判断选项正误．
本题考查了实数与数轴、绝对值的定义，解题的关键是掌握数轴和绝对值的定义．
【解答】
解：由数轴可知，−1
|a−1|=1−a，B选项错误；
a+1>0，C选项正确；
−1a>1，D选项错误．
故选：C．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出BC//DE，OC=2，OD=4+6=10，DE=6，进而可得△OCA∽△ODE，根据相似三角形的性质得出AC=65，即可求解．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【解答】
解：如图所示，
依题意，BC//DE，OC=2，OD=4+6=10，DE=6，
∴△OCA∽△ODE，
∴ACED=OCOD，
即AC6=210，
解得：AC=65，
∴AB=2−65=45，
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠COC′=180°−60°=120°，∠OBC=90°−60°=30°，
∵AB=2，
∴OA=OB=12AB=1，
∴OC=12OB=12，
∵将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′′在OA上，
∴∠B′OC′=∠BOC=60°，OC′=OC=12，S△B′OC′=S△BOC，
∴∠BOB′=180°−60°=120°，
∴S阴影=S△B′OC′+S扇形BOB′−S△BOC−S扇形COC′
=S扇形BOB′−S扇形COC′
=120π×12360−120π×(12)2360
=14π，
故选：C．
结合已知条件求得∠COC′的度数，根据含30°的直角三角形的性质求得OC的长度，再结合旋转性质求得BOB′的度数，最后利用面积的和差及扇形面积公式即可求得答案．
本题考查旋转性质及扇形面积的计算，结合已知条件求得S阴影=S扇形BOB′−S扇形COC′是解题的关键．
11.【答案】2(a−2)
【解析】解：2a−4=2(a−2)．
故答案为：2(a−2)．
提公因式分解即可解答．
本题考查了提公因式法运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】540
【解析】
【分析】
本题考查的是多边形的内角和的计算，掌握多边形的内角和公式(n−2)⋅180°是解题的关键．
根据多边形的内角和是(n−2)⋅180°，代入计算即可．
【解答】
解：(5−2)×180°
=540°，
故答案为：540．
13.【答案】13
【解析】解：∵甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，共有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲这6种等可能结果，
而甲排在中间的只有2种结果，
∴甲排在中间的概率为13，
故答案为：13
根据概率公式计算可得．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
14.【答案】>
【解析】
【分析】
根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例函数的性质即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【解答】
解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设P=FS，
依题意F=2×300=600，
∴反比例函数解析式为：P=600S，600>0，
∴P随S的增大而减小，
∵1<3，
∴P1>P2，
故答案为：>．
15.【答案】52.5°
【解析】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵∠BAD=15°，
∴∠ADB=180°−∠BAD−∠B=75°，
∴∠FDC=∠ADB=75°，
∵l1//l2，
∴∠FDC+∠DCE=180°，
∴∠DCE=105°，
∵∠DCE的平分线交直线l1于点F，
∴∠FCE=52.5°，
∵l1//l2，
∴∠CFD=∠FCE=52.5°．
故答案为：52.5°．
首先利用三角形的内角和定理求出∠ADB，然后利用平行线的性质求出∠DCE，最后利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解．
此题主要考查了平行线的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
16.【答案】2023
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−2023x+1=0的两根，
∴x1+x2=2023，x1x2=1，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2023，
故答案为：2023．
利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，解题的关键是理解并掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2与系数的关系x1+x2=−ba，x1x2=ca．
17.【答案】1
2 55
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件得到AE=CF，推出点F在CD的中点，于是得到EF=FG=4，DG=FG−FD=1；
(2)设AE=a，作FH⊥AB于H，作IG⊥CD于I，得到∠FHE=∠GIF=90°，根据旋转的性质得到∠EFG=90°，EF=FG，根据全等三角形的性质得到EH=GI，①当0
【解答】
解：(1)当E为AB的中点时，
∵AE=CF，
∴点F为CD的中点，
∴EF=FG=4，DG=FG−FD=1；
(2)设AE=a，作FH⊥AB于H，作IG⊥CD于I，
∴∠FHE=∠GIF=90°，
∵将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，
∴∠EFG=90°，EF=FG，
∴∠EFH+∠EFI=∠EFI+∠GFI=90°，
∴∠EFH=∠GFI，
∴△EFH≌△GFI(AAS)，
∴EH=GI，
①当0
∴DG2=ID2+IG2=(2−a)2+(6−2a)2=5a2−28a+40=5(a−145)2+45，
当a=145时，DG2取最小值45，
∴DG=2 55；
②当3≤a<6，GI=EH=2a−6，ID=FI−FD=FH−FD=a−2，
∴DG2=ID2+IG2=(a−2)2+(2a−6)2=5a2−28a+40=5(a−145)2+45，
当a=3时，DG2取最小值1，
∴DG=1；
∵2 55<1，
∴DG的最小值为：2 55．
18.【答案】解：原式=2+1+3+(−3)
=3+3+(−3)
=3．
【解析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及有理数的加减运算法则即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．
19.【答案】解：(1)P=1a(a+1)⋅a2−1a−1
=1a(a+1)⋅(a+1)(a−1)a−1
=1a；
(2)解不等式组a−1>02a<6，得1
∴P=12．
【解析】(1)根据分式的加法法则、乘法法则化简P；
(2)解不等式组求出a的范围，进而确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，
根据题意得：3×1600x=6000x+2，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为8元．
(2)设销售单价为m元，
则第一批进货数量为：1600÷8=200(瓶)，
第二次进货数量为：200×3=600(瓶)，
根据题意得：200(m−8)+600m−(8+2)≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，根据数量=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值，即可得出结论．
21.【答案】解：(1)如图，即为所求；
(2)条件①：∵Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴S△AOC=S△BOC，
∵△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2=3：5，
∴S△BOC：S2=3：5
∴OCOD=OBOD=35，
设OB=3a，OD=5a，
∵BM⊥AB，
∴在Rt△BOD中，BD= OD2−OB2=4a，
∴cos∠BDC=BDOD=45；
条件②：∵Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC，
∵△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1−C2=AC，
∴OC+OB+BC−(OC+OA+AC)=AC，即BC=2AC，
设AC=m，则BC=2m,AB= AC2+BC2= 5m，
∴AO=CO=BO= 52m，
过点D作DE⊥CB于点E，
则∠BDE+∠DBE=90°，
∵BM⊥AB，
∵∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
∵∠E=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△BED，
∴BEDE=ACBC=12，
设BE=x，则DE=2x，
∵∠ABC=∠DCE，∠E=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△DEC
∴DECE=ACBC=12，
∴2x2m+x=12，
解得x=23m，
∴BE=23m,DE=43m，
∴BD= BE2+DE2=2 53m，
∴OD= OB2+BD2=5 56m，
∴cos∠BDC=BDOD=2 53m5 56m=45．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的画法及线段的画法解答；
(2)条件①：根据直角三角形斜边中线的性质得到AO=CO=BO，推出S△BOC：S2=3：5，即OCOD=OBOD=35，设OB=3a，OD=5a，勾股定理求出BD，根据余弦定义求值；条件②：根据C1−C2=AC，推出BC=2AC，设AC=m，勾股定理求出AB，过点D作DE⊥CB于点E，证明△ACB∽△BED，得到BEDE=ACBC=12，设BE=x，则DE=2x，证得△ACB∽△DEC，得到DECE=ACBC=12，列得2x2m+x=12，求出x=23m，勾股定理求出BD，OD即可．
此题考查了线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE，
∵∠BEF=∠AEC，
∴∠BFE=∠AEC，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE+∠BFE=∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠ABF=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，
∴BF是⊙O的切线．
(2)解：作EG⊥AB于点G，则∠AGE=∠BGE=90°，
∵AE平分∠CAB，EC⊥AC，
∴EG=EC，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6，
∵12AC⋅EC+12AB⋅EG=12AC⋅BC=S△ABC，
∴12×6EC+12×10EC=12×6×8，
∴EG=EC=3，
∴BE=BC−EC=8−3=5，
∴GB= BE2−EG2= 52−32=4，
∴AG=AB−GB=10−4=6，
∵EG⊥AB，FB⊥AB，
∴EG//FB，
∴AEEF=AGGB=64=32，
∴AEEF的值为32．
【解析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠C=90°，由BF=BE，得∠BEF=∠BFE，则∠BFE=∠AEC，而∠BAE=∠CAE，所以∠BAE+∠BFE=∠CAE+∠AEC=90°，则∠ABF=90°，即可证明BF是⊙O的切线；
(2)作EG⊥AB于点G，则EG=EC，由∠C=90°，AB=10，BC=8，根据勾股定理得AC= AB2−BC2=6，由12×6EC+12×10EC=12×6×8=S△ABC，求得EG=EC=3，则BE=5，所以GB= BE2−EG2=4，AG=6，再证明EG//FB，由平行线分线段成比例定理得AEEF=AGGB=32．
此题重点考查等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角、切线的判定、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、平行线分线段成比例定理等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】25
【解析】解：(1)设主桥拱所在的圆弧形圆心为O，连接OD，如图：
由拱高的定义可知，B，D，O共线，设主桥拱的半径是r m，
在Rt△ADO中，AD=12AC=20m，DO=BO−BD=(r−10)m，
∵AD2+DO2=AO2，
∴202+(r−10)2=r2，
解得r=25，
故答案为：25；
(2)以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
设桥拱抛物线的解析式为y=ax2，
∵水面宽MN=10m，拱顶P(抛物线顶点)距离水面4m，
∴M(−5,−4)，
∴−4=25a，
解得a=−425，
∴桥拱抛物线的解析式为y=−425x2；
(3)桥A的桥下水位上升了2m，如图：
根据题意，OF=25m，OE=OB−BE=25−(10−2)=17，
∴EF= OF2−OE2= 252−172=4 21(m)；
∴此时桥A的水面宽度为8 21m；
桥B的桥下水位上升了2m，
在y=−425x2中，令y=−2得：−2=−425x2，
解得x=5 22或x=−5 22，
∵5 22−(−5 22)=5 2，
∴此时桥B的水面宽度为5 2m.
(1)设主桥拱的半径是rm，根据勾股定理可得202+(r−10)2=r2，即可解得答案；
(2)以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为y=ax2，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为y=−425x2；
(3)桥A的桥下水位上升了2m，用勾股定理可得桥A的水面宽度为8 21m；桥B的桥下水位上升了2m，在y=−425x2中，令y=−2得x=5 22或x=−5 22，即可得此时桥B的水面宽度为5 2m.
本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质．
24.【答案】解：(1)当点P与点D重合时，如图1，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°，
∴AD=AB=4，
∵PM⊥AD，
∴∠M=30°，
∴AM=2AD=8，
∴MB=AM−AB=4；
(2)①1≤t≤2时，如图2，
∵PQ⊥AB，PM⊥AD，∠BAD=60°，
∴∠APQ=∠AMP=30°，
∴PQ= 32t，MQ=32t，
∴S=12PQ⋅MQ=12× 32t×32t=3 38t2，
∴当t=2时，S的最大值为3 32；
②当2
∵AB=4，∠BAD=60°，
∴∠ABH=∠M=30°，
∴AH=12AB=2，MF= 3BF，
∵PQ⊥AB，PM⊥AD，
∴四边形PHBF为矩形，
∴BF=PH=AP−AH=t−2，
∴MF= 3(t−2)，
∴S△BFM=12BF⋅MF= 32(t−2)2，
∴S=S△PQM−S△BFM=− 38t2+2 3t−2 3=− 38(t−8)2+6 3，
∴当t=3时，S的最大值为23 38；
∵23 38>3 32，
∴当1≤t≤3时，S的最大值为23 38；
(3)如图4，
∵△PQE为等边三角形，
∴PE=PQ= 32t，
在Rt△APE中，tan∠PAE=PEPA= 32tt= 32，
∴∠PAE为定值，
∴点E的运动轨迹为直线，
当BE⊥AE时，线段BE长最小，
过点E作EF⊥PQ于F，过点E作EG⊥AB于G，
∵△PQE是等边三角形，
∴PQ=PE=EQ= 32t，
∵EF⊥PQ，
∴FQ=FP= 34t，
∴EF= EQ2−FQ2=34t，
∵EF⊥PQ，EG⊥AB，PQ⊥AB，
∴四边形FQGE为矩形，
∴QG=EF=34t，EG=FQ= 34t，
∵EG⊥AB，BE⊥AE，
∴∠AEG=∠EBA，
∴cos∠EBA=cos∠AEG，
∵AE= AP2+PE2= t2+( 32t)2= 72t，
∴cos∠EBA=cos∠AEG=EGAE= 34t 72t= 2114，
∴当线段BE长最小时，cos∠EBA的值为 2114．
【解析】(1)根据菱形的性质以及直角三角形的性质可得出答案；
(2)分两种情况：①当1≤t≤2时，②当2
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论，数形结合是解题的关键．
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