2020年广东省佛山市南海区大沥镇中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省佛山市南海区大沥镇中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2020 的相反数是
A. 12020B. −12020C. 2020D. −2020

2. 港珠澳大桥 2018 年 10 月 24 日上午 9 时正式通车，这座大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约 55000 m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，数据 55000 用科学记数法表示为
A. 5.5×105B. 55×104C. 5.5×104D. 5.5×106

3. 如图，下列结论正确的是
A. c>a>bB. 1b>1cC. ∣a∣<∣b∣D. abc>0

4. 如表是我国近六年“两会”会期（单位：天）的统计结果：
时间201420152016201720182019会期天111314131813
则我国近六年“两会”会期（天）的众数和中位数分别是
A. 13，11B. 13，13C. 13，14D. 14，13.5

5. 在 Rt△ABC，∠C=90∘，sinB=35，则 sinA 的值是
A. 35B. 45C. 53D. 54

6. 下列运算中，计算正确的是
A. 2a+3a=5a2B. 3a23=27a6
C. x6÷x2=x3D. a+b2=a2+b2

7. 下列命题中，假命题的是
A. 分别有一个角是 110∘ 的两个等腰三角形相似
B. 若 5x=8yxy≠0，则 xy=85
C. 如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比
D. 有一个角相等的两个菱形相似

8. 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为
A. 30x=45x+6B. 30x=45x−6C. 30x−6=45xD. 30x+6=45x

9. 如图，点 A 是反比例函数 y=2xx>0 的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y=−3xx<0 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD 为
A. 2B. 3C. 4D. 5

10. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象如图所示，下列结论：
① abc>0；
② 2a+b=0；
③ a+b>am2+bmm≠1；
④ a−b+c>0；
⑤若 ax12+bx1=ax22+bx2，且 x1≠x2，则 x1+x2=2．
其中结论正确的是
A. 2B. 3C. 4D. 5

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 因式分解：x2−9= ．

12. 在平面直角坐标系中点 P−2,3 关于 x 轴的对称点在第 象限．

13. 一个正数 a 的平方根分别是 2m−1 和 −3m+52，则这个正数 a 为 ．

14. 已知反比例函数 y=k−1x（k 是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么 k 的取值范围是 ．

15. 在一个不透明的布袋中装有 4 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是 13，则 n= ．

16. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4 cm，BD=8 cm，DE=5 cm，则线段 BF 长为 cm．

17. 如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB，CD 于点 E，F，连接 PB，PD．若 AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 计算：2sin30∘−π−20+3−1+12−1．

19. 先化简，再求值 1a−b−ba2−b2÷a2−aba2−2ab+b2，其中 a，b 满足 a+b−12=0．

20. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘．
（1）作 ∠ACB 的平分线交 AB 边于点 O，再以点 O 为圆心，OB 的长为半径作 ⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中 AC 与 ⊙O 的位置关系，直接写出结果．

21. 如图，在 △ABC 中，过点 C 作 CD∥AB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF．
（1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形；
（2）若 GB=3，BC=6，BF=32，求 AB 的长．

22. 2019 年 4 月 23 日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

23. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y千克⋯⋯售价x元/千克⋯⋯
（1）某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元?

24. 如图 1，已知 AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的弦，过 O 点作 OF⊥AB 交 ⊙O 于点 D，交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，点 G 是 EF 的中点，连接 CG．
（1）判断 CG 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：2OB2=BC⋅BF；
（3）如图 2，当 ∠DCE=2∠F，DG=2 时，求 DE 的长．

25. 如图，直线 y=−23x+c 与 x 轴交于点 A3,0，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=−43x2+bx+c 经过点 A，B．
（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）Mm,0 为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N．
①点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与 △APM 相似，求点 M 的坐标；
②点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 M，P，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】−2020 的相反数是：2020．
2. C【解析】55000=5.5×104．
3. B【解析】A、由数轴得：aB、 ∵0 ∴1b>1c，故选项B正确；
C、由数轴得：∣a∣>∣b∣，故选项C不正确；
D、 ∵a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，故选项D不正确．
4. B【解析】由表知这组数据的众数 13，中位数为 13+132=13．
5. B
【解析】∵ 在 Rt△ABC，∠C=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB=35，
∴sinA=1−352=45．
6. B【解析】A．2a+3a=5a，故此选项错误；
B．3a23=27a6，正确；
C．x6÷x2=x4，故此选项错误；
D．a+b2=a2+2ab+b2，故此选项错误．
7. C【解析】A、分别有一个角是 110∘ 的两个等腰三角形相似，是真命题；
B、若 5x=8yxy≠0，则 xy=85，是真命题；
C、如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比的平方，原命题是假命题；
D、有一个角相等的两个菱形相似，是真命题．
8. A【解析】【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程．
【解析】解：设甲每小时做x个，乙每小时做(x+6)个，
根据甲做30个所用时间与乙做45个所用时间相等，得
30x=45x+6，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9. D【解析】设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a．
把 y=a 代入 y=2x 得，a=2x，则 x=2a，即 A 的横坐标是 2a；
同理可得，B 的横坐标是 −3a．
∴ AB=2a−−3a=5a．
∴ S平行四边形ABCD=5a×a=5．
10. B
【解析】∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∵ 抛物线对称轴为 x=−b2a=1，即 b=−2a，
∴b>0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵=−2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵x=1 时，函数值最大，
∴a+b+c>am2+bm+c，即 a+b>am2+bmm≠1，故③正确；
∵ 抛物线与 x 轴的交点到对称轴 x=1 的距离大于 1，
∴ 抛物线与 x 轴的一个交点在点 2,0 与 3,0 之间，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点在点 0,0 与 −1,0 之间，
∴x=−1 时，y<0，
∴a−b+c<0，故④错误；
当 ax12+bx1=ax22+bx2，则 ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴x=x1 和 x=x2 所对应的函数值相等，
∴x2−1=1−x1，
∴x1+x2=2，故⑤正确；
综上所述，正确的结论是：②③⑤，共有 3 个．
第二部分
11. x+3x−3
【解析】原式=x+3x−3．
12. 三
【解析】点 P−2,3 满足点在第二象限的条件．
关于 x 轴的对称点的横坐标与 P 点的横坐标相同，是 −2；
纵坐标互为相反数，是 −3，
则 P 关于 x 轴的对称点是 −2,−3，在第三象限．
13. 4
【解析】根据题意，得：2m−1+−3m+52=0，解得：m=32，
∴ 正数 a=2×32−12=4．
14. k<1
【解析】∵ 反比例函数 y=k−1x 的图象有一支在第二象限，
∴k−1<0，解得 k<1．
15. 8
【解析】不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有 n+4 个球，其中白球 4 个．
根据古典型概率公式知：P白球=4n+4=13，
解得：n=8．
16. 10
【解析】如图，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形，
∴DE=FC，DE∥FC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
又 AD=4 cm，BD=8 cm，DE=5 cm，
∴412=5BC，
故 BC=15，则 BF=BC−DE=10 cm．
17. 16
【解析】作 PM⊥AD 于 M，交 BC 于 N．
则有四边形 AEPM，四边形 DFPM，四边形 CFPN，四边形 BEPN 都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，
S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
第三部分
18. 原式=2×12−1+3−1+2=1+3.
19. 原式=a+b−ba+ba−b⋅a−b2aa−b=1a+b.
由 a+b−12=0，得到 a+b=12，则 原式=2．
20. （1） 如图所示．
（2） 相切．
【解析】过 O 点作 OD⊥AC 于 D 点，
∵CO 平分 ∠ACB，
∴OB=OD，即 d=r，
∴⊙O 与直线 AC 相切．
21. （1） ∵E 是 AC 的中点，
∴AE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在 △AEF 和 △CED 中，
∵∠AFE=∠CDE,∠AEF=∠CED,AE=CE,
∴△AEF≌△CEDAAS，
∴AF=CD，
又 AB∥CD，即 AF∥CD，
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形．
（2） ∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴GBGC=BFCD，即 33+6=32CD，解得：CD=92，
∵ 四边形 AFCD 是平行四边形，
∴AF=CD=92，
∴AB=AF+BF=92+32=6．
22. （1） 本次比赛获奖的总人数为 4÷10%=40（人），
二等奖人数为 40−4+24=12（人），
补全条形图如下：
（2） 扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为 360∘×1240=108∘．
（3） 树状图如图所示，
∵ 从四人中随机抽取两人有 12 种可能，恰好是甲和乙的有 2 种可能，
∴ 抽取两人恰好是甲和乙的概率是 212=16．
23. （1） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，
将 22.6,34.8，24,32 代入 y=kx+b，
22.6k+b=34.8,24k+b=32, 解得：k=−2,b=80,
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=−2x+80．
当 x=23.5 时，y=−2x+80=33．
答：当天该水果的销售量为 33 千克．
（2） 根据题意得：x−20−2x+80=150，
解得：x1=35，x2=25．
∵20≤x≤32，
∴x=25．
答：如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为 25 元．
24. （1） CG 与 ⊙O 相切，理由如下：
如图 1，连接 OC．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠ACF=90∘，
∵ 点 G 是 EF 的中点，
∴GF=GE=GC，
∴∠AEO=∠GEC=∠GCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO=90∘，
∴∠OCA+∠GCE=90∘，即 OC⊥GC，
∴CG 与 ⊙O 相切．
（2） ∵∠AOE=∠FCE=90∘，∠AEO=∠FEC，
∴∠OAE=∠F，
又 ∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴BCBO=ABBF，即 BO⋅AB=BC⋅BF，
∵AB=2BO，
∴2OB2=BC⋅BF．
（3） 如图 2，连接 OC．
由（1）知 GC=GE=GF．
∴∠F=∠GCF，
∴∠EGC=2∠F，
又 ∵∠DCE=2∠F，
∴∠EGC=∠DCE，
∵∠DCE=12∠AOD=45∘，
∴∠EGC=45∘，
又 ∵∠OCG=90∘，
∴△OCG 为等腰直角三角形，
∴GC=OC，OG=2OC，
∴OD+DG=2OC，即 OC+2=2OC，解得 OC=22+2，
∵GF=GE=GC=OC，
∴DE=GE−DG=OC−DG=22．
25. （1） ∵y=−23x+c 与 x 轴交于点 A3,0，与 y 轴交于点 B，
∴0=−2+c，解得 c=2，
∴B0,2，
∵ 抛物线 y=−43x2+bx+c 经过点 A，B，
∴−12+3b+c=0,c=2, 解得 b=103,c=2,
∴ 抛物线解析式为 y=−43x2+103x+2．
（2） ①由（1）可知直线解析式为 y=−23x+2，
∵Mm,0 为 x 轴上一动点，
过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N，
∴Pm,−23m+2，Nm,−43m2+103m+2，
∴PM=−23m+2，AM=3−m，PN=−43m2+103m+2−−23m+2=−43m2+4m，
∵△BPN 和 △APM 相似，且 ∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90∘ 或 ∠NBP=∠AMP=90∘，
当 ∠BNP=90∘ 时，则有 BN⊥MN，
∴N 点的纵坐标为 2，
∴−43m2+103m+2=2，解得 m=0（舍去）或 m=52，
∴M52,0；
当 ∠NBP=90∘ 时，过点 N 作 NC⊥y 轴于点 C，
则 ∠NBC+∠BNC=90∘，NC=m，BC=−43m2+103m+2−2=−43m2+103m，
∵∠NBP=90∘，
∴∠NBC+∠ABO=90∘，
∴∠ABO=∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
∴NCOB=CBOA，
∴m2=−43m2+103m3，解得 m=0（舍去）或 m=118，
∴M118,0．
综上可知，当以 B，P，N 为顶点的三角形与 △APM 相似时，点 M 的坐标为 52,0 或 118,0；
②当 M，P，N 三点成为“共谐点”时，m 的值为 0.5 或 −1 或 −14．
【解析】②由①可知 Mm,0，Pm,−23m+2，Nm,−43m2+103m+2，
∵M，P，N 三点为“共谐点”，
∴ 有 P 为线段 MN 的中点、 M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点，
当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2−23m+2=−43m2+103m+2，
解得 m=3（舍去）或 m=0.5；
当 M 为线段 PN 的中点时，则有 −23m+2+−43m2+103m+2=0，
解得 m=3（舍去）或 m=−1；
当 N 为线段 PM 的中点时，则有 −23m+2=2−43m2+103m+2，
解得 m=3（舍去）或 m=−14．
综上可知，当 M，P，N 三点成为“共谐点”时，m 的值为 0.5 或 −1 或 −14．