2019-2020学年北京市朝阳区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市朝阳区八上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若分式 xx−5 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=0B. x=5C. x≠0D. x≠5

2. 2019 年被称为中国的 5G 元年，如果运用 5G 技术，下载一个 2.4M 的短视频大约只需要 0.000048 秒，将数字 0.000048 用科学记数法表示应为
A. 0.48×10−4B. 4.8×10−5C. 4.8×10−4D. 48×10−6

3. 下列交通标志中，轴对称图形的个数为
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

4. 下列计算正确的是
A. m3⋅m2⋅m=m5B. m43=m7
C. −2m2=4m2D. m0=0

5. 正五边形 ABCDE 中，∠BEC 的度数为
A. 18∘B. 30∘C. 36∘D. 72∘

6. △ABC 中，AB=3，AC=2，BC=a，下列数轴中表示的 a 的取值范围，正确的是
A. B.
C. D.

7. 已知等边三角形 ABC．如图，
（1）分别以点 A，B 为圆心，大于的 12AB 长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；
（2）作直线 MN 交 AB 于点 D；
（3）分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 的长为半径作弧，两弧相交于 H，L 两点；
（4）作直线 HL 交 AC 于点 E；
（5）直线 MN 与直线 HL 相交于点 O；
（6）连接 OA，OB，OC．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
① OB=2OE；
② AB=2OA；
③ OA=OB=OC；
④ ∠DOE=120∘，
正确的是
A. ①②③④B. ①③④C. ①②③D. ③④

8. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在第一象限，B2,0，∠AOB=60∘，∠ABO=90∘．在 x 轴上取一点 Pm,0，过点 P 作直线 l 垂直于直线 OA，将 OB 关于直线 l 的对称图形记为 OʹBʹ，当 OʹBʹ 和过 A 点且平行于 x 轴的直线有交点时，m 的取值范围为
A. m≥4B. m≤6C. 4
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，图中以 BC 为边的三角形的个数为 ．

10. ax=5，ay=3，则 ax−y= ．

11. 如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式 ．

12. 分解因式：3x2+6x+3= ．

13. 若 a=2019，b=2020，则 a2a−2b−aa−b2÷b2 的值为 ．

14. 如图，AB=AC，BD⊥AC，∠CBD=α，则 ∠A= （用含 α 的式子表示）．

15. 如图，D 是 △ABC 内部的一点，AD=CD，∠BAD=∠BCD，下列结论中，
① ∠DAC=∠DCA；
② AB=AC；
③ BD⊥AC；
④ BD 平分 ∠ABC．
所有正确结论的序号是 ．

16. 如图，∠ABC=60∘，AB=3，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 BC 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，当 △ABP 是钝角三角形时，t 满足的条件是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 依据流程图计算 mm2−n2−1m+n 需要经历的路径是 （只填写序号），输出的运算结果是 ．

18. 计算：m+n+2m+n−2−mm+4n．

19. 解方程 1x−2+1=2x2x+1．

20. 如图，点 B，F，C，E 在一条直线上 BF=CE，AC=DF．
（1）在下列条件① ∠B=∠E；② ∠ACB=∠DFE；③ AB=DE；④ AC∥DF 中，只添加一个条件就可以证得 △ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是 ．
（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明 ∠A=∠D．

21. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的顶点都在网格线的交点上，点 B 关于 y 轴的对称点的坐标为 2,0，点 C 关于 x 轴的对称点的坐标为 −1,−2．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系 xOy；
（2）画出 △ABC 分别关于 y 轴的对称图形 △A1B1C1；
（3）写出点 A 关于 x 轴的对称点的坐标．

22. 证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．

23. 阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD 为 △ABC 中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE=EF．求证：AC=BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一：如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得 △ADC≌△GDB，再利用 AE=EF 可以进一步证得 ∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG，从而证明结论．
思路二：如图②，添加辅助线后并利用 AE=EF 可证得 ∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依据 AAS 可以进一步证得 △ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

24. 随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的 25 倍，经过测试，由 5 人用此设备分拣 8000 件快件的时间，比 20 人用传统方式分拣同样数量的快件节省 4 小时．某快递中转站平均每天需要分拣 10 万件快件，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作（每天工作时间为 8 小时）．

25. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，延长 AB 至点 E，使 ∠AEC=∠DAB．判断 CE 与 AD 的数量关系，并证明你的结论．

26. 如图，△ABC 是等边三角形，△ADC 与 △ABC 关于直线 AC 对称，AE 与 CD 垂直交 BC 的延长线于点 E，∠EAF=45∘，且 AF 与 AB 在 AE 的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在 AE 上找一点 P，使点 P 到点 B，点 C 的距离和最短；
②求证：点 D 到 AF，EF 的距离相等．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 At−1,1 与点 B 关于过点 t,0 且垂直于 x 轴的直线对称．
（1）以 AB 为底边作等腰三角形 ABC，
①当 t=2 时，点 B 的坐标为 ；
②当 t=0.5 且直线 AC 经过原点 O 时，点 C 与 x 轴的距离为 ；
③若 △ABC 上所有点到 y 轴的距离都不小于 1，则 t 的取值范围是 ．
（2）以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABD，直线 m 过点 0,b 且与 x 轴平行，若直线 m 上存在点 P，△ABD 上存在点 K，满足 PK=1，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】由题意得，x−5≠0，解得，x≠5．
2. B【解析】将数字 0.000048 用科学记数法表示应为 4.8×10−5．
故选：B．
3. B【解析】第 1 个是轴对称图形，符合题意；
第 2 个是轴对称图形，符合题意；
第 3 个不是轴对称图形，不合题意；
第 4 个是轴对称图形，符合题意．
4. C【解析】∵m3⋅m2⋅m=m6，
∴ 选项A不符合题意；
∵m43=m12，
∴ 选项B不符合题意；
∵−2m2=4m2，
∴ 选项C符合题意；
∵m0≠0，
∴ 选项D不符合题意．
故选：C．
5. C
【解析】根据正五边形的性质，△ABE≌△DCE，
∴∠BEA=∠CED=12180∘−108∘=36∘，
∴∠BEC＝108∘−36∘−36∘=36∘．
6. A【解析】∵△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=a，
∴1 ∴ A符合．
7. B【解析】由作图可知，点 O 是 △ABC 的外心，
∵△ABC 是等边三角形，
∴ 点 O 是 △ABC 的外心也是内心，
∴OB=2OE，OA=OB=OC，
∵∠BAC=60∘，∠ADO=∠AEO=90∘，
∴∠DOE=180∘−60∘=120∘，
故①③④正确，故选：B．
8. D【解析】如图所示，
当直线 l 垂直平分 OA 时，OʹBʹ 和过 A 点且平行于 x 轴的直线有交点，
∵ 点 A 在第一象限，B2,0，∠AOB=60∘，∠ABO=90∘，
∴∠BAO=30∘，OB=2，
∴OA=4，
∵ 直线 l 垂直平分 OA，点 Pm,0 是直线 l 与 x 轴的交点，
∴OP=4，
∴ 当 m=4；
作 BBʺ⊥OA，交过点 A 且平行于 x 轴的直线与 Bʺ，
当直线 l 垂直平分 BBʺ 和过 A 点且平行于 x 轴的直线有交点，
∵ 四边形 OBBʺOʹ 是平行四边形，
∴ 此时点 P 与 x 轴交点坐标为 6,0，
由图可知，当 OB 关于直线 l 的对称图形为 OʹBʹ 到 OʺBʺ 的过程中，点 P 符合题目中的要求，
∴m 的取值范围是 4≤m≤6．
第二部分
9. 4
【解析】∵ 以 BC 为公共边的三角形有 △BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴ 以 BC 为公共边的三角形的个数是 4 个．
10. 53
【解析】∵ax=5，ay=3，
∴ax−y=ax÷ay=5÷3=53．
11. a+2a−2=a2−4
【解析】①阴影部分的面积 =a+2a−2；
②阴影部分的面积 =a2−22=a2−4；
∴a+2a−2=a2−4，
故答案为 a+2a−2=a2−4．
12. 3x+12
【解析】3x2+6x+3=3x2+2x+1=3x+12.
故答案为：3x+12．
13. −2019
【解析】原式=a3−2a2b−a3+2a2b−ab2÷b2=−a.
当 a=2019 时，原式=−2019．
14. 2α
【解析】∵BD⊥AC，∠CBD=α，
∴∠C=90−α∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=90−α∘，
∴∠ABD=90−α−α=90−2α∘
∴∠A=90∘−90−2α∘=2α．
15. ①③④
【解析】∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，故①正确；
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC=∠BCD+∠DCA，即 ∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，故②错误；
∵AB=BC，AD=DC，
∴BD 垂直平分 AC，故③正确；
∴BD 平分 ∠ABC，故④正确；
故答案为：①③④．
16. 06
【解析】①过 A 作 AP⊥BC 时，
∵∠ABC=60∘，AB=3，
∴AP=32，
∴ 当 0②过 A 作 PʹA⊥AB 时，
∵∠ABC=60∘，AB=3，
∴BPʹ=6，
∴ 当 t>6 时，△ABPʹ 是钝角三角形，
故答案为：06．
第三部分
17. ②③；nm+nm−n．
【解析】∵mm2−n2−1m+n=mm+nm−n−m−nm+nm−n=nm+nm−n,
∴ 依据流程图计算 mm2−n2−1m+n 需要经历的路径是②③；输出的运算结果是 nm+nm−n．
18. 原式=m+n2−4−m2−4mn=m2+2mn+n2−4−m2−4mn=n2−2mn−4.
19.
1x−2+1=2x2x+1.
方程两边乘 x−22x+1，得
2x+1+x−22x+1=2xx−2.
解得
x=13,
检验：当 x=13 时，x−22x+1≠0, 所以，原分式方程的解为 x=13．
20. （1） ②③④
【解析】①在 △ABC 和 △DEF 中，BC=EF，AC=DF，∠B=∠E，
不能判定 △ABC 和 △DEF 全等；
② ∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即 BC=EF，
在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF,∠ACB=∠DFE,BC=EF.
∴△ABC≌△DEF SAS；
③在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF,BC=EF,AB=DE.
∴△ABC≌△DEF SSS；
④ ∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE，
在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF,∠ACB=∠DFE,BC=EF.
∴△ABC≌△DEF SAS；
故答案为②③④；
（2） 答案不唯一．添加条件 ∠ACB=∠DFE，理由如下：
∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF．
∴BC=EF．
在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF,∠ACB=∠DFE,BC=EF.
∴△ABC≌△DEF SAS；
∴∠A=∠D．
21. （1） 如图所示，建立平面直角坐标系 xOy．
（2） 如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（3） 点 A−4,4 关于 x 轴的对称点的坐标 −4,−4．
22. 已知：如图，
在 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，
∠B=∠Bʹ，∠C=∠Cʹ，AD，AʹDʹ 分别是 BC，BʹCʹ 边上的高，AD=AʹDʹ．
求证：△ABC≌△AʹBʹCʹ．
证明：
∵AD⊥BC，AʹDʹ⊥BʹCʹ，
∴∠ADB=∠AʹDʹBʹ=90∘．
在 △ABD 和 △AʹBʹDʹ 中，
∠B=∠Bʹ,∠ADB=∠AʹDʹBʹ,AD=AʹDʹ,
∴△ABD≌△AʹBʹDʹ（AAS），
∴AB=AʹBʹ，
在 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，
∠C=∠Cʹ,∠B=∠Bʹ,AB=AʹBʹ,
∴△ABC≌△AʹBʹCʹ（AAS），
即如果两个三角形有两个角及它们的夹边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．
23. （1） 延长 AD 至点 G，使 DG=AD，连接 BG；作 BG=BF 交 AD 的延长线于点 G
【解析】①延长 AD 至点 G，使 DG=AD，连接 BG，如图①，理由如下：
∵AD 为 △ABC 中线，
∴BD=CD，
在 △ADC 和 △GDB 中，
AD=GD,∠ADC=∠GDB,CD=BD,
∴△ADC≌△GDBSAS，
∴AC=BG，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠EFA，
∵∠BFG=∠G，∠G=∠CAD，
∴∠G=∠BFG，
∴BG=BF，
∴AC=BF．
②作 BG=BF 交 AD 的延长线于点 G，如图②．理由如下：
∵BG=BF，
∴∠G=∠BFG，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFG，
∴∠G=∠EAF，
在 △ADC 和 △GDB 中，
∠CAD=∠G,∠ADC=∠GDB,CD=BD,
∴△ADC≌△GDBAAS，
∴AC=BG，
∴AC=BF．
（2） 作 BG∥AC 交 AD 的延长线于 G，如图③所示：
则 ∠G=∠CAD，
∵AD 为 △ABC 中线，
∴BD=CD，
在 △ADC 和 △GDB 中，
∠CAD=∠G,∠ADC=∠GDB,CD=BD,
∴△ADC≌△GDBAAS，
∴AC=BG，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠EFA，
∵∠BFG=∠EFA，∠G=∠CAD，
∴∠G=∠BFG，
∴BG=BF，
∴AC=BF．
24. 设用传统方式每人每小时可分拣 x 件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣 25x 件，
依题意，得：
80005×25x=800020x−4,
解得：
x＝84,
经检验，x＝84 是原方程的解，且符合题意，
∴100000÷84×25×8=5（人）⋯⋯16000（件），
∴5+1＝6（人）．
答：每天只需要安排 6 名工人就可以完成分拣工作．
25. CE=2AD；
理由：延长 AD 至点 N 使 DN=AD，AN 交 CE 于点 M，连接 CN，
∵∠DAB=∠AEC，
∴MA=ME，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠DAB，BD=CD，∠1=∠2=90∘．
∴△ABD≌△NCDAAS，
∴∠N=∠DAB．
∴CN∥AE．
∴∠3=∠AEC．
∴∠3=∠N．
∴MC=MN，
∴CE=MC+ME=MN+MA=AN=2AD．
26. （1） 补全图形，如图 1 所示：
（2） ①如图 2，连接 BD，P 为 BD 与 AE 的交点．
点 P 即为所求；
②证明：连接 DE，DF．如图 3 所示：
∵△ABC，△ADC 是等边三角形，
∴AC=AD，∠ACB=∠CAD=60∘．
∵AE⊥CD，
∴∠CAE=12∠CAD=30∘．
∴∠CEA=∠ACB−∠CAE=30∘．
∴∠CAE=∠CEA．
∴CA=CE．
∴CD 垂直平分 AE．
∴DA=DE．
∴∠DAE=∠DEA，
∵EF⊥AF，∠EAF=45∘，
∴∠FEA=45∘．
∴∠FEA=∠EAF．
∴FA=FE，∠FAD=∠FED，
在 △FAD 和 △FED 中，
FA=FE,∠FAD=∠FED,AD=ED,
∴△FAD≌△FED（SAS）．
∴∠AFD=∠EFD．
∴ 点 D 到 AF，EF 的距离相等．
27. （1） 3,1；1；t≥2 或 t≤−2
【解析】①如图 1 中，
由题意 A1,1,A,B 关于直线 x＝2 对称，
∴B3,1．
②如图 2 中，
由题意 A−0.5,1，直线 l：x＝0.5，
∵ 直线 AC 的解析式为 y=−2x，
∴C0.5,−1，
∴ 点 C 到 x 轴的距离为 1．
③由题意 At−1,0,Bt+1,0，
∵△ABC 上所有点到 y 轴的距离都不小于 1，
∴t−1≥1 或 t+1≤−1，
解得 t≥2 或 t≤−2．
（2） 如图 3 中，
∵At−1,0,Bt+1,0，
∴AB＝t+1−t−1=2，
∵△ABD 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，
∴ 点 D 到 AB 的距离为 1，
∴ 当点 D 在 AB 上方时，若直线 m 上存在点 P，△ABD 上存在点 K，满足 PK=1，则 0≤b≤3．
当点 D 在 AB 下方时，若直线 m 上存在点 P，△ABD 上存在点 K，满足 PK=1，则 −1≤b≤2．