2019-2020学年北京市朝阳区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市朝阳区九上期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列事件中，随机事件是
A. 通常温度降到 0∘C 以下，纯净的水结冰
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C. 明天太阳从东方升起
D. 三角形的内角和是 360∘

2. 抛物线 y=x−22+1 的顶点坐标为
A. 2,1B. 2,−1C. −2,−1D. −2,1

3. 只有 1 和它本身两个因数且大于 1 的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从 5，7，11 这 3 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 7 的概率是
A. 17B. 15C. 13D. 1

4. 把 Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的余弦值
A. 不变B. 缩小为原来的 13
C. 扩大为原来的 3 倍D. 扩大为原来的 9 倍

5. 如图，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC．若 AD=1，BD=2，则 △ADE 与 △ABC 的面积之比为
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:9

6. 如图，在正方形网格中，△MPN 绕某一点旋转某一角度得到 △MʹPʹNʹ，则旋转中心可能是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

7. 已知 ⊙O1，⊙O2，⊙O3 是等圆，△ABP 内接于 ⊙O1，点 C，E 分别在 ⊙O2，⊙O3 上．如图，①以 C 为圆心，AP 长为半径作弧交 ⊙O2 于点 D，连接 CD；②以 E 为圆心，BP 长为半径作弧交 ⊙O3 于点 F，连接 EF；下面有四个结论：
① CD+EF=AB；
② CD+EF=AB；
③ ∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；
④ ∠CDO2+∠EFO3＝∠P．
所有正确结论的序号是
A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ②③④

8. 如图，抛物线 y=19x2−1 与 x 轴交于 A，B 两点，D 是以点 C0,4 为圆心，1 为半径的圆上的动点，E 是线段 AD 的中点，连接 OE，BD，则线段 OE 的最小值是 ．
A. 2B. 322C. 52D. 3

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 点 −1,−3 关于原点的对称点的坐标为 ．

10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，射线 l 的端点为 0,1，l∥x 轴，请写出一个图象与射线 l 有公共点的反比例函数的表达式： ．

11. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数 5−12（约为 0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形 ABCD 为黄金矩形，宽 AD=5−1，则长 AB 为 ．

12. 如图，线段 AB 经过 ⊙O 的圆心，AC，BD 分别与 ⊙O 相切于点 C，D．若 AC=BD=1，∠A=45∘，则 CD 的长度为 ．

13. 如图，在正方形网格中，点 A，B，C 在 ⊙O 上，并且都是小正方形的顶点，P 是 ACB 上任意一点，则 ∠P 的正切值为 ．

14. 抛物线 y=ax2−2ax−3 与 x 轴交于两点，分别是 m,0，n,0，则 m+n 的值为 ．

15. 为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：
柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量柑橘完好的概率
①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）；
②若从该村运到A地柑橘完好的概率为 0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为 ．

16. 如图，分别过第二象限内的点 P 作 x，y 轴的平行线，与 y，x 轴分别交于点 A，B，与双曲线 y=6x 分别交于点 C，D．下面三个结论，
①存在无数个点 P 使 S△AOC=S△BOD；
②存在无数个点 P 使 S△POA=S△POB；
③存在无数个点 P 使 S四边形OAPB=S△ACD．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：sin60∘−cs30∘+tan45∘．

18. 如图，在 △ABC 中，∠B=30∘，tanC=43，AD⊥BC 于点 D．若 AB=8，求 BC 的长．

19. 如图，△ABC 为等边三角形，将 BC 边绕点 B 顺时针旋转 30∘，得到线段 BD，连接 AD，CD，求 ∠ADC 的度数．

20. 已知一次函数 y1=kx+mk≠0 和二次函数 y2=ax2+bx+ca≠0 部分自变量和对应的函数值如下表：
x⋯−2−1012⋯y1⋯01234⋯y2⋯0−1038⋯
（1）求 y2 的表达式；
（2）关于 x 的不等式 ax2+bx+c>kx+m 的解集是 ．

21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图 1，点 P 表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 AB 长为 8 m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．

22. 在平面内，O 为线段 AB 的中点，所有到点 O 的距离等于 OA 的点组成图形 W．取 OA 的中点 C，过点 C 作 CD⊥AB 交图形 W 于点 D，D 在直线 AB 的上方，连接 AD，BD．
（1）求 ∠ABD 的度数；
（2）若点 E 在线段 CA 的延长线上，且 ∠ADE=∠ABD，求直线 DE 与图形 W 的公共点个数．

23. 请回答下列问题：
（1）阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，P 是 △ABC 内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA．若 ∠ACB=45∘，AP=1，求 BP 的长．
小军的思路是：根据已知条件可以证明 △ACP∽△CBP，进一步推理可得 BP 的长．
请回答：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠PCB=∠PBA，
∴∠PCA= ．
∵∠PAC=∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴APPC=PCPB=ACCB．
∵∠ACB=45∘，
∴∠BAC=90∘．
∴ACCB= ．
∵AP=1，
∴PC=2．
∴PB= ．
（2）参考小军的思路，解决问题：
如图 2，在 △ABC 中，AB=AC，P 是 △ABC 内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA．若 ∠ACB=30∘，求 APBP 的值；

24. 点 A 是反比例函数 y=1xx>0 的图象 l1 上一点，直线 AB∥x 轴，交反比例函数 y=3xx>0 的图象 l2 于点 B，直线 AC∥y 轴，交 l2 于点 C，直线 CD∥x 轴，交 l1 于点 D．
（1）若点 A1,1，求线段 AB 和 CD 的长度；
（2）对于任意的点 Aa,b，判断线段 AB 和 CD 的大小关系，并证明．

25. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BA 延长线上的定点，M 为 BC 边上的一个动点，连接 ME，将射线 ME 绕点 M 顺时针旋转 76∘，交射线 CD 于点 F，连接 MD．小东根据学习函数的经验，对线段 BM，DF，DM 的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）对于点 M 在 BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 BM，DF，DM 的长度的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置
在 BM，DF，DM 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 DF=2 cm 时，DM 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx 经过点 3,3．
（1）用含 a 的式子表示 b；
（2）直线 y=x+4a+4 与直线 y=4 交于点 B，求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点 A1,4，若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，直接写出 aa<0 的取值范围．

27. 已知 ∠MON=120∘，点 A，B 分别在 ON，OM 边上，且 OA=OB，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合），连接 CA．将射线 CA 绕点 C 逆时针旋转 120∘ 得到射线 CAʹ，将射线 BO 绕点 B 逆时针旋转 150∘ 与射线 CAʹ 交于点 D．
（1）根据题意补全图 1；
（2）求证：
① ∠OAC=∠DCB；
② CD=CA（提示：可以在 OA 上截取 OE＝OC，连接 CE）；
（3）点 H 在线段 AO 的延长线上，当线段 OH，OC，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点 C 都有 ∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A0,2，点 B 在 x 轴上，以 AB 为直径作 ⊙C，点 P 在 y 轴上，且在点 A 上方，过点 P 作 ⊙C 的切线 PQ，Q 为切点，如果点 Q 在第一象限，则称 Q 为点 P 的离点．例如，图 1 中的 Q 为点 P 的一个离点．
（1）已知点 P0,3，Q 为 P 的离点．
①如图 2，若 B0,0，则圆心 C 的坐标为 ，线段 PQ 的长为 ；
②若 B2,0，求线段 PQ 的长；
（2）已知 1≤PA≤2，直线 l:y=kx+k+3k≠0．
①当 k=1 时，若直线 l 上存在 P 的离点 Q，则点 Q 纵坐标 t 的最大值为 ；
②记直线 l:y=kx+k+3k≠0 在 −1≤x≤1 的部分为图形 G，如果图形 G 上存在 P 的离点，直接写出 k 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】“通常温度降到 0∘C 以下，纯净的水结冰”是必然事件；
“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；
“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；
“三角形的内角和是 180∘”因此“三角形的内角和是 360∘”是确定事件中的不可能事件，不符合题意．
2. A【解析】抛物线 y=x−22+1 是以抛物线的顶点式给出的，
其顶点坐标为：2,1．
3. C【解析】∵ 共 3 个素数，分别是 5，7，11，
∴ 抽到的数是 7 的概率是 13．
4. A【解析】三边的长度都扩大为原来的 3 倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴ 锐角 A 的大小不变，
∴ 锐角 A 的余弦值不变，
故选：A．
5. D
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=11+22=19．
故选：D．
6. B【解析】如图，
∵△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到 △MʹNʹPʹ，
∴ 连接 PPʹ，NNʹ，MMʹ，
作 PPʹ 的垂直平分线，作 NNʹ 的垂直平分线，作 MMʹ 的垂直平分线，
∴ 三条线段的垂直平分线正好都过 B，
即旋转中心是 B．
7. D【解析】由题意得，AP=CD，BP=EF，
因为 AP+BP>AB，
所以 CD+EF>AB，
因为 ⊙O1，⊙O2，⊙O3 是等圆，
所以 AP=CD，BP=EF，
因为 AP+BP=AB，
所以 CD+EF=AB，
所以 ∠CO2D=∠AO1P，∠EO3F=∠BO1P，
因为 ∠AO1P+∠BO1P=∠AO1P，
所以 ∠CO2D+∠EO3F=∠AO1B，
因为 ∠CDO2=∠APO1，∠BPO1=∠EFO3，
因为 ∠P=∠APO1+∠BPO1，
所以 ∠CDO2+∠EFO3=∠P，
所以正确结论的序号是②③④．
8. A【解析】∵ 抛物线 y=19x2−1 与 x 轴交于 A，B 两点，
∴ A，B 两点坐标为 −3,0，3,0，
∵ D 是以点 C0,4 为圆心，
根据勾股定理，得
BC=5，
∵ E 是线段 AD 的中点，O 是 AB 中点，
∴ OE 是三角形 ABD 的中位线，
∴ OE=12BD，
即点 B，D，C 共线时，BD 最小，OE 就最小．
如图，连接 BC 交圆于点 D′，
∴ BDʹ=BC−CDʹ=5−1=4，
∴ OEʹ=2．
所以线段 OE 的最小值为 2．
第二部分
9. 1,3
10. 答案不唯一，如 y=1x
11. 2
【解析】∵ 矩形 ABCD 是黄金矩形，且 AD=5−1，
∴ADAB=5−12，
5−1AB=5−12，
∴AB=2．
12. π2
【解析】连接 OC，OD，
∵AC，BD 分别与 ⊙O 相切于点 C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A=45∘，
∴∠AOC=45∘，
∴AC=OC=1，
∵AC=BD=1，OC=OD=1，
∴OD=BD，
∴∠BOD=45∘，
∴∠COD=180∘−45∘−45∘=90∘，
∴CD 的长度为：90⋅π×1180=π2．
13. 12
【解析】连接 OA，OB，作 OD⊥AB 于 D，如图，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD=12∠AOB，
∵∠APB=12∠AOB，
∴∠AOD=∠APB，
在 Rt△AOD 中，tan∠AOD=ADOD=12，
∴tan∠P=12．
14. 2
【解析】∵ 抛物线 y=ax2−2ax−3 与 x 轴交于两点，分别是 m,0，n,0，
∴m+n=−−2aa=2．
15. 0.920，2223
【解析】（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在 0.920 上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为 0.920；
（2）设总质量为 m 千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为 x，
由题意得，m×0.920×x=m×0.880，解得，x=2223．
16. ①②③
【解析】如图，
设 Cm,6m，Dn,6n，则 Pn,6m，
∵S△AOC=3，S△BOD=3，
∴S△AOC=S△BOD；
∴ ①正确；
∵S△POA=−12n×6m=−3m，S△POB=−12n×6m=−3m，
∴S△POA=S△POB；
∴ ②正确；
∵S四边形OAPB=−n×6m=−6nm，S△ACD=12×m×6m−6n=3−3mn，
∴ 当 −6nm=3−3mn，即 m2−mn−2n2=0，
∴ m=2n（舍去）或 m=−n，此时 P 点为无数个，
∴ ③正确．
故答案为①②③．
第三部分
17. 原式=32−32+1=1.
18. ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘．
∵ 在 Rt△ADB 中，∠B=30∘，AB=8，
∴AD=4，BD=43，
∵ 在 Rt△ADC 中，tanC=43，AD=4，
∴CD=4tanC，
∴CD=3．
∴BC=BD+CD=43+3．
19. ∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60∘，
根据题意可知 BD=BC，∠DBC=30∘．
∴AB=BD．
∴∠ABD=90∘，∠BDC=75∘．
∴∠BDA=45∘．
∴∠ADC=30∘．
20. （1） 根据题意设 y2 的表达式为：
y2=ax+12−1，
把 0,0 代入得 a=1，
∴y2=x2+2x．
（2） x<−2 或 x>1
【解析】当 x=−2 时，y1=y2=0；
当 x=1 时，y1=y2=3；
∴ 直线与抛物线的交点为 −2,0 和 1,3，
而 x<−2 或 x>1 时，y2>y1，
∴ 不等式 ax2+bx+c>kx+m 的解集是 x<−2 或 x>1．
21. 过 O 点作半径 OD⊥AB 于 E，如图，
所以 AE=BE=12AB=12×8=4，
在 Rt△AEO 中，OB=OA2−AE2=52−42=3，
所以 ED=OD−OE=5−3=2．
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2 m．
22. （1） 根据题意，图形 W 为以 O 为圆心，OA 为直径的圆．
如图 1，
连接 OD，
∴OA=OD．
∵ 点 C 为 OA 的中点，CD⊥AB，
∴AD=OD．
∴OA=OD=AD．
∴△OAD 是等边三角形．
∴∠AOD=60∘．
∴∠ABD=30∘．
（2） 如图 2，
∵∠ADE=∠ABD，
∴∠ADE=30∘．
∵∠ADO=60∘．
∴∠ODE=90∘．
∴OD⊥DE．
∴DE 是 ⊙O 的切线．
∴ 直线 DE 与图形 W 的公共点个数为 1．
23. （1） ∠PBC；22；2
【解析】因为 AB=AC，
所以 ∠ABC=∠ACB，
因为 ∠PCB=∠PBA，
所以 ∠PCA=∠PBC，
因为 ∠PAC=∠PCB，
所以 △ACP∽△CBP，
所以 APPC=PCPB=ACCB，
因为 ∠ACB=45∘，
所以 ∠BAC=90∘，
所以 CB=2AC，
所以 ACCB=22，
因为 AP=1，
所以 PC=2AP=2，
所以 PB=2PC=2．
（2） 过点 A 作 AD⊥BC 于 D，如图 2 所示：
因为 AB=AC，
所以 ∠ABC=∠ACB=30∘，BD=CD=12BC，
所以 AD=12AC，CD=3AD，
所以 AC=2AD，BC=2CD=23AD，
因为 ∠PCB=∠PBA，
所以 ∠PCA=∠PBC，
因为 ∠PAC=∠PCB，
所以 △ACP∽△CBP，
所以 APPC=PCPB=ACBC=2AD23AD=33，
设 AP=a，则 PC=3a，
所以 PB=3a，
所以 APBP=13．
24. （1） ∵AB∥x 轴，A1,1，B 在反比例函数 y=3xx>0 的图象上，
∴B3,1．
同理可求：C1,3，D13,3．
∴AB=2，CD=23．
（2） AB>CD．
证明：∵Aa,b，A 在反比例函数 y=1xx>0 的图象上，
∴Aa,1a．
∵AB∥x 轴，B 在反比例函数 y=3xx>0 的图象上，
∴B3a,1a．
同理可求：Ca,3a，Da3,3a．
∴AB=2a，CD=23a．
∵a>0，
∴2a>23a．
∴AB>CD．
25. （1） BM；DF；DM
【解析】由函数的定义可得：BM 的长度是自变量，DF 的长度和 DM 的长度都是这个自变量的函数．
（2） 如图所示．
（3） 2.98 和 1.35
【解析】由图象得到：当 DF=2 cm 时，DM 的长度约为 2.98 cm 和 1.35 cm．
26. （1） 将点 3,3 代入 y=ax2+bx，得 9a+3b=3．
∴b=−3a+1．
（2） 令 x+4a+4=4，得 x=−4a．
∴B−4a,4．
（3） a=−1 或 a<−32．
【解析】∵a<0，
∴ 抛物线开口向下，抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，
∵A1,4，B−4a,4，
∴ 点 A，B 所在的直线为 y=4，
由（1）得 b=1−3a，
则抛物线可化为：y=ax2+1−3ax，
分两种情况讨论：
①当抛物线 y=ax2+1−3ax 与直线 y=4 只有一个公共点时，
且抛物线的顶点在点 A，B 之间，
则 1≤3a−12a≤−4a 或 −4a≤3a−12a≤1，
方程 ax2+1−3ax=4 的根的判别式：Δ=0，
即 1−3a2+16a=0，
解得 a1=−19，a2=−1，
当 a1=−19 时，3a−12a=6（不符合题意），
当 a2=−1 时，3a−12a=2，
则 1≤3a−12a≤−4a 成立．
②当抛物线经过点 A 时，
即当 x=1，y=4 时，a+1−3a=4，
解得 a=−32；
∴a<−32 时，抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，
综上：a 的取值为：a=−1 或 a<−32 时，抛物线与线段 AB 恰有一个公共点．
27. （1） 根据题意补全图形，如图 1 所示：
（2） ①由旋转得：∠ACD=120∘，
∴∠DCB+∠ACO=180∘−120∘=60∘，
∵∠MON=120∘，
∴∠OAC+∠ACO=180∘−120∘=60∘，
∴∠OAC=∠DCB；
②在 OA 上截取 OE=OC，连接 CE，如图 2 所示：
则 ∠OEC=∠OCE=12180∘−∠MON=12180∘−120∘=30∘，
∴∠AEC=180∘−∠OEC=180∘−30∘=150∘，
由旋转得：∠CBD=150∘，
∴∠AEC=∠CBD，
∵OA=OB，OE=OC，
∴AE=BC，
在 △AEC 和 △CBD 中，
∠AEC=∠CBD,AE=BC,∠OAC=∠DCB,
∴△AEC≌△CBDASA，
∴CD=CA．
（3） 猜想 OH−OC=OA 时，对于任意的点 C 都有 ∠DCH=2∠DAH；
理由如下：
在 OH 上截取 OF=OC，连接 CF，CH，如图 3 所示：
则 FH=OA，∠COF=180∘−∠MON=180∘−120∘=60∘，
∴△OFC 是等边三角形，
∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120∘，
在 △CFH 和 △COA 中，
CF=CO,∠CFH=∠COA,FH=OA,
∴△CFH≌△COASAS，
∴∠H=∠OAC，
∴∠BCH=∠COF+∠H=60∘+∠H=60∘+∠OAC，
∴∠DCH=60∘+∠H+∠DCB=60∘+2∠OAC，
∵CA=CD，∠ACD=120∘，
∴∠CAD=30∘，
∴∠DCH=2∠CAD+∠OAC=2∠DAH．
28. （1） ① 0,1；3
②如图，过 C 作 CM⊥y 轴于点 M，连接 CP，CQ．
∵A0,2，B2,0，
∴C1,1．
∴M0,1．
在 Rt△ACM 中，由勾股定理可得 CA=2．
∴CQ=2．
∵P0,3，M0,1，
∴PM=2．
在 Rt△PCM 中，由勾股定理可得 PC=5．
在 Rt△PCQ 中，由勾股定理可得 PQ=PC2−CQ2=3．
【解析】①如图可知：C0,1，
在 Rt△PQC 中，CQ=1，PC=2 ，
∴PQ=3．
（2） ① 6
② 22≤k<1+22．
【解析】①如图 1；
当 k=1 时，y=x+4，
∴Qt−4,t，
∵1≤PA≤2，
∴P 的纵坐标为 4 时，PQ 与圆 C 相切，
设 Bm,0，
∴Cm2,1，
∵CQ⊥PQ，
∴CQ 的解析式为 y=−x+m2+1，
∴Q 点横坐标为 m4−32，
∴m4−32=t−4，
∴m=4t−10，
∴C2t−5,1，
∵CQ=AC，
∴2t−52+1=2t−12，
∴t=6 或 t=2，
∴t 的最大值为 6．
② ∵−1≤x≤1，
∵y=kx+k+3 经过定点 −1,3，
∵PQ 是圆的切线，AO 是圆的弦，
∴PQ2=PA⋅PO，
当 k<0 时，
Q 点的在端点 −1,3 和 1,2k+3 之间运动，
当 P0,4 时，PQ=22，
以 P 为圆心，PQ 长为半径的圆与 y 轴交于点 0,4−22，
此时 k=1−22，
当 P0,3 时，PQ=3，
Q1,2k+3，
∴1+4k2=3，
∴k=±22，
∴k=−22，
∴1−22当 k>0 时，
当 P0,4 时，PQ=22，
以 P 为圆心，PQ 长为半径的圆与 y 轴交于点 0,4+22，
此时 k=1+22，
当 P0,3 时，PQ=3，
Q1,2k+3，
∴1+4k2=3，
∴k=±22，
∴k=22，
∴22≤k<1+22．