2019-2020学年北京市朝阳区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市朝阳区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 二次函数 y=x−12−3 的最小值是
A. 2B. 1C. −2D. −3

2. 下列事件中，是必然事件的是
A. 明天太阳从东方升起
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

3. 一个不透明的盒子中装有 6 个大小相同的乒乓球，其中 4 个是黄球，2 个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是
A. 23B. 12C. 25D. 13

4. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，若 AD:DB=1:2，则 △ADE 与 △ABC 的面积之比是
A. 1:3B. 1:4C. 1:9D. 1:16

5. 已知点 A1,a 与点 B3,b 都在反比例函数 y=−12x 的图象上，则 a 与 b 之间的关系是
A. a>bB. a
6. 已知圆锥的底面半径为 2 cm，母线长为 3 cm，则它的侧面展开图的面积为
A. 18π cm2B. 12π cm2C. 6π cm2D. 3π cm2

7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻 R 表示电流 I 的函数表达式为
A. I=3RB. I=−6RC. I=−3RD. I=6R

8. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AD 是 ⊙O 的直径，若 ⊙O 的半径为 5，AC=8．则 csB 的值是
A. 43B. 35C. 34D. 45

9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何?”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少?”此问题中，该内切圆的直径是
A. 5 步B. 6 步C. 8 步D. 10 步

10. 已知二次函数 y1=ax2+bx+ca≠0 和一次函数 y2=kx+nk≠0 的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数 y1 有最大值；
②二次函数 y1 的图象关于直线 x=−1 对称；
③当 x=−2 时，二次函数 y1 的值大于 0；
④过动点 Pm,0 且垂直于 x 轴的直线与 y1，y2 的图象的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，m 的取值范围是 m<−3 或 m>−1．
其中正确的是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 将二次函数 y=x2−2x−5 化为 y=ax−h2+k 的形式为 y= ．

12. 抛物线 y=x2−2x+m 与 x 轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为 ．

13. 如图，若点 P 在反比例函数 y=−3xx<0 的图象上，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，则矩形 PMON 的面积为 ．

14. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数n10001500250040008000150002000030000发芽种子个数m8991365224536447272136801816027300发芽种子频率
则该作物种子发芽的概率约为 ．

15. 如图，△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上一点，连接 DE．请你添加一个条件，使 △ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）．

16. 阅读下面材料：
①作线段 AB 的垂直平分线 m；
②作线段 BC 的垂直平分线 n，与直线 m 交于点 O；
③以点 O 为圆心，OA 为半径作 △ABC 的外接圆；
④在弧 ACB 上取一点 P，连接 AP，BP，
所以 ∠APB=∠ACB．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：
（1）点 O 为 △ABC 外接圆圆心（即 OA=OB=OC）的依据是 ；
（2）∠APB=∠ACB 的依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：2sin45∘+tan60∘+2cs30∘−12．

18. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足 ∠ACD=∠ABC，若 AC=3，AD=1，求 DB 的长．

19. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x…−2−102⋯y…−3−4−35⋯
（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；
（2）求出该函数图象与 x 轴的交点坐标．

20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点分别为 A2,6，B4,2，C6,2．
（1）以原点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小为原来的 12，得到 △DEF．请在第一象限内，画出 △DEF；
（2）在（1）的条件下，点 A 的对应点 D 的坐标为 ，点 B 的对应点 E 的坐标为 ．

21. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分．如果 M 是 ⊙O 中弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交 ⊙O 于点 E，CD=10，EM=25．求 ⊙O 的半径．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 D 是 BC 边的中点，CD=2，tanB=34．
（1）求 AD 和 AB 的长；
（2）求 sin∠BAD 的值．

23. 已知一次函数 y=−2x+1 的图象与 y 轴交于点 A，点 B−1,n 是该函数图象与反比例函数 y=kxk≠0 图象在第二象限内的交点．
（1）求点 B 的坐标及 k 的值；
（2）试在 x 轴上确定点 C，使 AC=AB，直接写出点 C 的坐标．

24. 如图，用一段长为 40 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃 ABCD，墙长 28 m，设 AB 长为 x m，矩形的面积为 y m2．
（1）写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）当 AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大?最大值是多少?
（3）当花圃的面积为 150 m2 时，AB 长为多少米?

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上两点，且 BC=CD，过点 C 的直线 CF⊥AD 于点 F，交 AB 的延长线于点 E，连接 AC．
（1）求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 FO，若 sinE=12，⊙O 的半径为 r，请写出求线段 FO 长的思路．

26. 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 y=−x2+2∣x∣+1 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应数值如表：
x⋯−3−52−2−1012523⋯y⋯−2−14m2121−14−2⋯
其中 m= ；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，写出：
①该函数的一条性质 ；
②直线 y=kx+b 经过点 −1,2，若关于 x 的方程 −x2+2∣x∣+1=kx+b 有 4 个互不相等的实数根，则 b 的取值范围是 ．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−14x+n 经过点 A−4,2，分别与 x，y 轴交于点 B，C，抛物线 y=x2−2mx+m2−n 的顶点为 D．
（1）求点 B，C 的坐标；
（2）①直接写出抛物线顶点 D 的坐标（用含 m 的式子表示）；②抛物线 y=x2−2mx+m2−n 与线段 BC 有公共点，求 m 的取值范围．

28. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，O 为 AB 边上的一点，且 tanB=12，点 D 为 AC 边上的动点（不与点 A，C 重合），将线段 OD 绕点 O 顺时针旋转 90∘，交 BC 于点 E．
（1）如图 1，若 O 为 AB 边中点，D 为 AC 边中点，则 OEOD 的值为 ；
（2）若 O 为 AB 边中点，D 不是 AC 边的中点，
①请根据题意将图 2 补全；
②小军通过观察、实验，提出猜想：点 D 在 AC 边上运动的过程中，（1）中 OEOD 的值不变．小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求 OEOD 的值的几种想法：
想法 1：过点 O 作 OF⊥AB 交 BC 于点 F，要求 OEOD 的值，需证明 △OEF∽△ODA．
想法 2：分别取 AC，BC 的中点 H，G，连接 OH，OG，要求 OEOD 的值，需证明 △OGE∽△OHD．
想法 3：连接 OC，DE，要求 OEOD 的值，需证 C，D，O，E 四点共圆．
⋯
请你参考上面的想法，帮助小军写出求 OEOD 的值的过程（一种方法即可）；
（3）若 BOBA=1n（n≥2 且 n 为正整数），则 OEOD 的值为 （用含 n 的式子表示）．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 rr>1，P 是圆内与圆心 C 不重合的点，⊙C 的“完美点”的定义如下：若直线 CP 与 ⊙C 交于点 A，B，满足 PA−PB=2，则称点 P 为 ⊙C 的“完美点”，如图为 ⊙C 及其“完美点”P 的示意图．
（1）当 ⊙O 的半径为 2 时，
①点 M32,0，N0,1，T−32,−12 中，⊙O 的“完美点”是 ；
②若 ⊙O 的“完美点”P 在直线 y=3x 上，求 PO 的长及点 P 的坐标；
（2）⊙C 的圆心在直线 y=3x+1 上，半径为 2，若 y 轴上存在 ⊙C 的“完美点”，求圆心 C 的纵坐标 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. A
4. C
5. B
6. C
7. D
8. B
9. B
10. D
第二部分
11. x−12−6
12. y=x2−2x（答案不唯一）.
13. 3
14. 0.910
15. ∠ADE=∠B（答案不唯一）.
16. ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换，同弧所对的圆周角相等
第三部分
17. 原式=2×22+3+2×32−23=2.
18. ∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴ACAB=ADAC，
∴3AB=13．
∴AB=3，
∴DB=AB−AD=2．
19. （1） 由题意，得 c=−3．
将点 2,5，−1,−4 代入，得 4a+2b−3=5,a−b−3=−4.
解得 a=1,b=2.
∴ y=x2+2x−3．
∵ y=x2+2x−3=x+12−4，
∴ 顶点坐标为 −1,−4．
（2） 当 y=0 时，x2+2x−3=0．
解得：x=−3 或 x=1．
∴ 函数图象与 x 轴的交点坐标为 −3,0，1,0．
20. （1） 如图，△DEF 为所作．
（2） 1,3；2,1
21. 如图，连接 OC，
∵ M 是弦 CD 的中点，EM 过圆心 O，
∴ EM⊥CD．
∴ CM=MD．
∵ CD=10，
∴ CM=5．
设 OC=x，则 OM=25−x，
在 Rt△COM 中，根据勾股定理，得 52+25−x2=x2．
解得 x=13．
∴ ⊙O 的半径为 13．
22. （1） ∵D 是 BC 的中点，CD=2，
∴BD=DC=2，BC=4，
在 Rt△ACB 中，由 tanB=ACCB=34，
∴AC4=34，
∴AC=3，
由勾股定理得：AD=AC2+CD2=33+22=13，
AB=AC2+BC2=33+42=5．
（2） 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
∴∠C=∠DEB=90∘，
又 ∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴DEAC=DBAB，
∴DE3=25，
∴ DE=65，
∴ sin∠BAD=DEAD=6513=61365．
23. （1） 因为点 B−1,n 在直线 y=−2x+1 上，
所以 n=2+1=3，
所以点 B 的坐标为 −1,3，
因为点 B−1,3 在反比例函数 y=kx 的图象上，
所以 k=−3．
（2） 点 C 的坐标为 2,0 或 −2,0．
【解析】当 x=0 时，y=−2x+1=1，
所以点 A 的坐标为 0,1，
设点 C 的坐标为 m,0，
因为 AC=AB，
所以 m2+1=−1−02+3−12=5，
解得：m=±2，
所以点 C 的坐标为 2,0 或 −2,0．
24. （1） y=x40−2x=−2x2+40x，
即 y 与 x 的函数关系式是 y=−2x2+40x．
（2） 由题意，得 x>0,0<40−2x≤28,
解得，6≤x<20．
由题意，得 y=−2x2+40x=−2x−102+200，
∴ 当 x=10 时，y 有最大值，y 的最大值为 200，
即当 AB 长为 10 m 时，花圃面积最大，最大面积为 200 m2．
（3） 令 y=150，
则 −2x2+40x=150，
解得，x1=5，x2=15，
∵ 6≤x<20．
∴ x=15，
即当 AB 长为 15 m 时，面积为 150 m2．
25. （1） 如图，连接 OC，
因为 OC=OA，
所以 ∠1=∠2，
因为 BC=CD，
所以 ∠1=∠3，
所以 ∠2=∠3，
所以 OC∥AF，
因为 CF⊥AD，
所以 ∠CFA=90∘，
所以 ∠OCF=90∘，
所以 OC⊥EF，
因为 OC 为 ⊙O 的半径，
所以 EF 是 ⊙O 的切线．
（2） ①在 Rt△AEF 和 Rt△OEC 中，由 sinE=12，
可得 △AEF，△OEC 都为含 30∘ 的直角三角形；
②由 OC⊥EF，∠E=30∘ 得 ∠COE=60∘，
③由 ∠1=∠2 及 ∠1+∠2=60∘ 得 ∠1=30∘，
④由 ∠1=∠3，可知 △ACF 为含 30∘ 的直角三角形；
⑤由 ⊙O 的半径为 r，可求 OE，AE 的长，从而可求 CF 得长；
⑥在 Rt△COF 中，由勾股定理可求 OF 的长．
26. （1） 1
【解析】当 x=−2 时，m=−−22+2×∣−2∣+1=−4+4+1=1．
（2） 如图所示：
（3） ①答案不唯一．如：函数图象关于 y 轴对称；
② 1【解析】②由函数图象知：
∵ 关于 x 的方程 −x2+2∣x∣+1=kx+b 有 4 个互不相等的实数根，
∴b 的取值范围是 127. （1） 把 A−4,2 代入 y=−14x+n 中，得 n=1，
∴ 直线解析式为 y=−14x+1，
令 y=0 可求得 x=4，令 x=0 可得 y=1，
∴B4,0，C0,1；
（2） ① ∵y=x2−2mx+m2−n=x−m2−1，
∴Dm,−1；
②如图，
将点 0,1 代入 y=x2−2mx+m2−1 中，得 1=m2−1，解得 m=2 或 m=−2，将点 4,0 代入 y=x2−2mx+m2−1 中，得 0=16−8m+m2−1，解得 m=5 或 m=3，
∴−2≤m≤5．
28. （1） 12
【解析】如图 1，
∵ O 为 AB 边中点，D 为 AC 边中点，
∴ OD∥BC，∠CDO=90∘，
又 ∵ ∠ACB=90∘，∠DOE=90∘，
∴ 四边形 CDOE 是矩形，
∴ OE=CD=AD，
∵ OD∥BC，
∴ ∠AOD=∠B，
∴ tanB=12=tan∠AOD，即 ADOD=12，
∴ OEOD=12．
（2） ①如图所示：
②法 1：如图，过点 O 作 OF⊥AB 交 BC 于点 F，
∵ ∠DOE=90∘，
∴ ∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90∘，
∴ ∠AOD=∠FOE，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠A+∠B=∠OFE+∠B=90∘，
∴ ∠A=∠OFE，
∴ △OEF∽△ODA，
∴ OEOD=OFOA，
∵ O 为 AB 边中点，
∴ OA=OB．
在 Rt△FOB 中，tanB=12，
∴ OFOB=12，
∴ OFOA=12，
∴ OEOD=12．
【解析】法 2：如图，分别取 AC，BC 的中点 H，G，连接 OH，OG，
∵ O 为 AB 边中点，
∴ OH∥BC，OH=12BC，OG∥AC．
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠OHD=∠OGE=90∘，
∴ ∠HOG=90∘，
∵ ∠DOE=90∘，
∴ ∠HOD+∠DOG=∠DOG+∠GOE=90∘，
∴ ∠HOD=∠GOE，
∴ △OGE∽△OHD，
∴ OEOD=OGOH，
∵ tanB=12，
∴ OGGB=12，
∵ OH=GB，
∴ OGOH=12，
∴ OEOD=12；
法 3：如图，连接 OC，DE，
∵ ∠ACB=90∘，∠DOE=90∘，
∴ DE 的中点到点 C，D，O，E 的距离相等，
∴ C，D，O，E 四点共圆，
∴ ∠ODE=∠OCE，
∵ O 为 AB 边中点，
∴ OC=OB，
∴ ∠B=∠OCE，
∴ ∠ODE=∠B，
∵ tanB=12，
∴ OEOD=tan∠ODE=tanB=12．
（3） 12n−2
【解析】如图所示，过点 O 作 OF⊥AB 交 BC 于点 F，
∵ ∠DOE=90∘，
∴ ∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90∘，
∴ ∠AOD=∠FOE．
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠A+∠B=∠OFE+∠B=90∘，
∴ ∠A=∠OFE，
∴ △OEF∽△ODA，
∴ OEOD=OFOA，
∵ BOBA=1n，
∴ 可设 OB=1，则 AB=n，AO=n−1，
∵ 在 Rt△FOB 中，tanB=12，
∴ OF=12，
∴ OFOA=12n−1=12n−2，
∴ OEOD=12n−2．
29. （1） ① N；T
②如图1，
根据题意，PA−PB=2，
∴ OP+2−2−OP=2，
∴ OP=1．
若点 P 在第一象限内，作 PQ⊥x 轴于点 Q，
∵ 点 P 在直线 y=3x 上，OP=1，
∴ OQ=12，PQ=32．
∴ P12,32．
若点 P 在第三象限内，根据对称性可知其坐标为 −12,−32．
综上所述，PO 的长为 1，点 P 的坐标为 12,32 或 −12,−32．
【解析】① ∵ 点 M32,0，
∴ 设 ⊙O 与 x 轴的交点为 A，B，
∵ ⊙O 的半径为 2，
∴ 取 A−2,0，B2,0，
∴ MA−MB=32+2−2−32=3≠2，
∴ 点 M 不是 ⊙O 的“完美点”，同理：点 N，T 是 ⊙O 的“完美点”．
（2） 对于 ⊙C 的任意一个“完美点”P 都有 PA−PB=2，
∴ CP+2−2−CP=2．
∴ CP=1．
∴ 对于任意的点 P，满足 CP=1，都有 CP+2−2−CP=2，
∴ PA−PB=2，故此时点 P 为 ⊙C 的“完美点”．
因此，⊙C 的“完美点”是以点 C 为圆心，1 为半径的圆，将该圆记为 ⊙C1．
设直线 y=3x+1 与 y 轴交于点 D，如图2，
当 ⊙C1 移动到与 y 轴相切且切点在点 D 的下方时，t 的值最小．
设切点为 E，连接 CE，
∵ ⊙C1 的圆心在直线 y=3x+1 上，
∴ 此直线和 y 轴，x 轴的交点 D0,1，F−33,0．
∴ OF=33，OD=1，
∵ CE∥OF，
∴ △DOF∽△DEC，
∴ ODDE=OFCE，
∴ 1DE=331．
∴ DE=3．
∴ OE=3−1．
t 的最小值为 1−3．
当 ⊙C1 移动到与 y 轴相切且切点在点 D 的上方时，t 的值最大．
同理可得 t 的最大值为 1+3．
综上所述，t 的取值范围为 1−3≤t≤1+3．