2019-2020学年北京市房山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市房山区八上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 9 的平方根是
A. 3B. −3C. 3D. ±3

2. 剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，被联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会审批列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》．作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如果式子 x−2 有意义，那么 x 的取值范围是
A. x≥2B. x>2C. x≤2D. x<2

4. 计算 218+2，结果正确的是
A. 42B. 72C. 23+2D. 63+2

5. 若 a<11A. 6B. 7C. 8D. 9

6. 化简 1a−1−aa−1，结果正确的是
A. −1B. 1C. 0D. ±1

7. 下列计算错误的是
A. −32=3B. 3×2=6C. 3+2=5D. 6÷3=2

8. 小明有一块带秒针的手表，随意看一下手表，秒针在 3 时至 4 时（包括 3 时不包括 4 时）之间的可能性大小为
A. 1B. 160C. 14D. 112

9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30∘，则其顶角的度数为
A. 60∘B. 120∘C. 60∘ 或 150∘D. 60∘ 或 120∘

10. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点．若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 △CDM 周长的最小值为
A. 6B. 8C. 10D. 12

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一个不透明的口袋中装有 3 个红球和 6 个黄球，这些球除了颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸出的球恰好是红球的可能性为 ．

12. 当分式 x−22x+1 的值为 0 时，x 的值为 ．

13. 如图，在已知的 △ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以 B，C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；
②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50∘，则 ∠ACB= ．

14. 某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为 102 万元；B型计算机总价值为 81.6 万元，且单价比A型机便宜了 2400 元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是 x 万元，请你根据题意列出方程 ．

15. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何?”题意是：有一个池塘，其底面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面部分 BC 为 1 尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的 Bʹ（如图），则水深 尺，芦苇长 尺．

16. 小明遇到这样一个问题：如图 1，△ABO 和 △CDO 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90∘．若 △BOC 的面积为 1，试求以 AD，BC，OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．
小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他的解题思路是延长 CO 到 E，使得 OE=CO，连接 BE，可证 △OBE≌△OAD，从而得到的 △BCE 即是以 AD，BC，OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图 2）．请你回答：图 2 中 △BCE 的面积等于 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：24×13−2−12+6+26−2．

18. 解方程：xx−1−2x−1x2−1=1．

19. 已知 x2+x−3=0，求代数式 x2−1x2−2x+1⋅1x+1+x+1x+2 的值．

20. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．

21. 已知：线段 a，b．求作：一个等腰三角形，使得其中的一条线段为等腰三角形的底边，另一条线段为等腰三角形的底边上的高．（请保留作图痕迹，不写作法，指明作图结果）

22. 从北京到某市可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是 520 千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的 2.5 倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用 3 小时，求高铁的平均速度.

23. 已知：如图，四边形 ABCD 中，BA
24. 阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于 x 的分式方程 ax−1+31−x=1 的解为正数，求 a 的取值范围?
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于 x 的分式方程，得到方程的解为 x=a−2．由题意可得 a−2>0，所以 a>2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证 a≠3 才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里?请你简要说明： ．
完成下列问题：
（1）已知关于 x 的方程 2mx−1x+2=1 的解为负数，求 m 的取值范围；
（2）若关于 x 的分式方程 3−2xx−3+2−nx3−x=−1 无解．直接写出 n 的取值范围．

25. 已知：如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=2，将 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60∘ 到 △ABʹCʹ 的位置，连接 BCʹ，求 BCʹ 的长．

26. 已知：如图，在 △ABC 中，∠ABC=45∘，AH⊥BC 于点 H，点 D 为 AH 上的一点，且 DH=HC，连接 BD 并延长 BD 交 AC 于点 E，连接 EH．
（1）请补全图形；
（2）直接写出 BD 与 AC 的数量关系和位置关系；
（3）求证：∠BEH=45∘．
答案
第一部分
1. D【解析】∵±32=9，
∴9 的平方根为 ±3．
2. C【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
3. A【解析】由题意，得 x−2≥0，解得 x≥2．
4. B【解析】218+2=2×32+2=72．
5. B
【解析】∵a<11 ∴a=3，b=4，
∴a+b=7．
6. A【解析】原式 =1−aa−1=−a−1a−1=−1．
7. C【解析】A、 原式=∣−3∣=3，所以 A 选项的计算正确，不符合题意；
B、 原式=3×2=6，所以 B 选项的计算正确，不符合题意；
C、 3 与 2 不能合并，所以 C 选项的计算错误，符合题意；
D、 原式=6÷3=2，所以 D 选项的计算正确，不符合题意．
8. D【解析】根据题意知秒针在 3 时至 4 时（包括 3 时不包括 4 时）之间的可能性大小 30360=112．
9. D【解析】如图，
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90∘ .
∵∠ABD=30∘，
∴∠A=60∘；
如图，
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90∘，
∵∠ABD=30∘，
∴∠BAD=60∘，
∴∠BAC=120∘；
综上所述，它的顶角度数为：60∘ 或 120∘．
10. C
第二部分
11. 13
【解析】∵ 一个不透明的口袋中装有 3 个红球和 6 个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴ 从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：33+6=13．
12. 2
13. 105∘
【解析】如图所示：
∵MN 垂直平分 BC，
∴CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵CD=AC，∠A=50∘，
∴∠CDA=∠A=50∘，
∵∠CDA=∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB=∠DBC=25∘，∠DCA=180∘−∠CDA−∠A=80∘，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=25∘+80∘=105∘．
14. 102x=81.6x−0.24
【解析】设A型计算机的单价是 x 万元/台，则B型计算机的单价是 x−0.24 万元/台，
根据题意得：102x=81.6x−0.24．
15. 12，13
【解析】设芦苇长 AB=ABʹ=x 尺，则水深 AC=x−1 尺，
因为 BʹE=10 尺，所以 BʹC=5 尺，
在 Rt△ABʹC 中，52+x−12=x2，
解得 x=13，
即水深 12 尺，芦苇长 13 尺．
16. 2
【解析】∵ △ABO 和 △CDO 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90∘，
∴ OD=OC，OA=OB．
又 ∵ ∠BOE+∠AOE=90∘，∠AOD+∠AOE=90∘，
∴ ∠AOD=∠BOE，
在 △OAD 和 △OBE 中，
OD=OE,∠AOD=∠BOE,OA=OB,
∴ △OAD≌△OBE，
∴ BE=AD．
∵ OE=OD，CE=OC+OE，
∴ CE=OC+OD．
∴ △BCE 即是以 AD，BC，OC+OD 的长度为三边长的三角形．
∵ △OEB 与 △BOC 是等底同高的两个三角形，
∴ S△OEB=S△BOC=1，
∴ S△BCE=S△OEB+S△BOC=2．
第三部分
17. 原式=8−2−22+1+6−2=22−3−22+4=22−3+22+4=42+1.
18. 方程两边同乘 x+1x−1，得
xx+1−2x−1=x+1x−1,
解得
x=2.
经检验：当 x=2 时，x+1x−1≠0，
∴ 原分式方程的解为：x=2．
19. 原式=x+1x−1x−12⋅1x+1+x+1x+2=1x−1+x+1x+2=x+2x−1x+2+x−1x+1x−1x+2=x2+x+1x2+x−2.
∵x2+x−3=0，
∴x2+x=3，
∴原式=x2+x+1x2+x−2=3+13−2=4.
20. ∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠FDC．
在 △ABE 和 △FDC 中，
∠A=∠F,AB=FD,∠ABE=∠FDC.
∴△ABE≌△FDC（ASA）
∴AE=FC．
21. 如图，△ABC 即为所求．
22. 设普通列车的平均速度为 x 千米/时，则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时．
依题意，得
4002.5x+3=520x.
解得
x=120.
经检验，x=120 是原方程的解，且符合题意．
所以 2.5x=300．
答：高铁的平均速度是 300 千米/时．
23. 在 BC 边上取点 E，使 BE=BA，连接 DE．
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在 △ABD 和 △EBD 中，
AB=EB,∠ABD=∠EBD,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD，
∴∠A=∠BED，DA=DE，
∵DA=DC，
∴DE=DC，
∴∠C=∠DEC，
∵∠BED+∠DEC=180∘，
∴∠A+∠C=180∘，即 ∠BAD+∠BCD=180∘．
24. （1） 不全面，小明没有考虑分式的分母不为 0（或分式必须有意义）这个条件；
解关于 x 的分式方程得，x=32m−1，
因为方程有解，且解为负数，
所以 2m−1<0,32m−1≠−2.
解得：m<12 且 m≠−14．
（2） 3−2x+nx−2=−x+3，即 n−1x=2，
由分式方程无解，得到 x−3=0，即 x=3，
代入整式方程得：n=53；
当 n−1=0 时，整式方程无解，此时 n=1，
综上所述，n=1 或 n=53．
25. 如图，连接 BBʹ，
∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △ABʹCʹ．
∴AB=ABʹ，∠BABʹ=60∘，
∴△ABBʹ 是等边三角形，
∴AB=BBʹ=ABʹ，
延长 BCʹ 交 ABʹ 于点 D，
又 ∵ACʹ=BʹCʹ，
∴BD 垂直平分 ABʹ，
∴AD=BʹD，
∵∠C=90∘，AC=BC=2，
∴AB=22+22=2，
∴ABʹ=2，
∴AD=BʹD=1，
∴BD=AB2−AD2=3，CʹD=ACʹ2−AD2=1，
∴BCʹ=BD−CʹD=3−1．
26. （1） 补全图形如图 1 所示：
（2） BD=AC；BD⊥AC．
【解析】∵AH⊥BC 于点 H，∠ABC=45∘，
∴△ABH 为等腰直角三角形，
∴AH=BH，∠BAH=45∘，
在 △AHC 和 △BHD 中，
AH=BH,∠AHC=∠BHD,HC=HD,
∴△AHC≌△BHD，
∴AC=BD，∠ACH=∠BDH，
∵∠BDH=∠ADE，
∴∠ACH=∠ADE，
∵∠ACH+∠DAE=90∘，
∴∠ADE+∠DAE=90∘，
∴∠AEB=90∘，
∴BD⊥AC．
（3） 如图 2，过点 H 作 HF⊥HE 交 BE 于点 F，
∵△AHC≌△BHD，
∴∠1=∠2，
∵∠FHE=90∘，
即 ∠4+∠5=90∘，∠3+∠5=∠AHB=90∘，
∴∠3=∠4，
在 △AHE 和 △BHF 中，
∠1=∠2,AH=BH,∠4=∠3,
∴△AHE≌△BHF，
∴EH=FH，
∵∠FHE=90∘，
∴△FHE 是等腰直角三角形，
∴∠BEH=45∘．