2019-2020学年北京市燕山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市燕山区八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为
A. B.
C. D.

2. 下列运算正确的是
A. 3a+2b=5abB. 5a−2a=3a
C. b2⋅b3=b6D. x+y2=x2+y2

3. 已知一个等腰三角形两边长分别为 3，7，那么它的周长是
A. 17B. 13C. 13 或 17D. 10 或 13

4. 如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是 对．
A. 3B. 4C. 5D. 6

5. 下列式子为最简二次根式的是
A. 1xB. 3C. 8D. 12

6. 若分式 x2−9x−3 的值为 0，则 x 的值等于
A. 0B. ±3C. 3D. −3

7. 如图，DE 是 △ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8，AB=10，则 △EBC 的周长是
A. 13B. 16C. 18D. 20

8. 下列计算结果正确的有
① 3xx2⋅x3x=1x；
② 8a2b2⋅−3a4b2=−6a3；
③ aa2−1÷a2a2+a=1a−1；
④ a÷b⋅1b=a．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

9. 如图，根据计算正方形 ABCD 的面积，可以说明下列等式成立的是
A. a−b2=a2−2ab+b2B. a+b2=a2+2ab+b2
C. a+ba−b=a2−b2D. aa−b=a2−ab

10. 如图，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为
A. 6B. 26C. 3D. 23

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 计算：32= ．

12. 若式子 x+1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

13. 如图，BC=EF，∠1=∠F．请你添加一个适当的条件 ，使得 △ABC≌△DEF （只需填一个答案即可）．

14. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，现另有一点 D，满足以 A，B，D 为顶点的三角形与 △ABC 全等，则 D 点的坐标为 ．

15. 2002 年国际数学家大会在中国北京举行，这是 21 世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是下图，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么 a+b2 的值是 ．

16. 如图，在 △ABA1 中，∠B=20∘，AB=A1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1 到 A2，使得 A1A2=A1C，在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2 到 A3，使得 A2A3=A2D，按此做法进行下去，∠EA3A2 的度数为 ，∠A 的度数为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：∣−5∣+38+−12−1．

18. 计算：18−418−22−1．

19. 解方程：12x2−9−2x−3=1x+3．

20. 因式分解：
（1）4x2−9
（2）3ax2−6axy+3ay2

21. 如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于 O，AC=BD．求证：
（1）BC=AD；
（2）△OAB 是等腰三角形．

22. 先化简 a2a−2−1a−2÷a2−2a+1a−2，然后从 1，2，3 中选取一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值．

23. 用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，标注结果）．
（1）作线段 AB 的中垂线 EF．
（2）作 ∠AOB 的角平分线 OC．

24. 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 a+2b 化简，若你能找到两个数 m 和 n，使 m2+n2=a 且 mn=b，则 a+2b 可变为 m2+n2+2mn，即变成 m+n2，从而使得 a+2b 化简．
例如：∵ 5+26=3+2+26=32+22+26=3+22，
∴ 5+26=3+22=3+2．
请你仿照上例解下面问题：
（1）4+23；
（2）7−210．

25. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A2,3，B3,1，C−2,−2 ．
（1）请在图中作出 △ABC 关于 y 轴的轴对称图形 △AʹBʹCʹ （ A 、 B 、 C 的对称点分别是 Aʹ 、 Bʹ 、 Cʹ ），并直接写出 Aʹ 、 Bʹ 、 Cʹ 的坐标．
（2）求 △AʹBʹCʹ 的面积．

26. 列方程或方程组解应用题：
为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点 10 千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少 45 千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的 4 倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?

27. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，E 是边 AC 上任意一点（点 E 与点 A，C 不重合），以 CE 为一直角边作 Rt△ECD，∠ECD=90∘，连接 BE，AD．若 Rt△ABC 和 Rt△ECD 是等腰直角三角形．
（1）猜想线段 BE，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
（2）现将图 1 中的 Rt△ECD 绕着点 C 顺时针旋转 n∘，得到图 2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

28. 如图，△ADB，△BCD 都是等边三角形，点 E，F 分别是 AB，AD 上两个动点，满足 AE=DF．连接 BF 与 DE 相交于点 G，CH⊥BF，垂足为 H，连接 CG．已知 DG=a，BG=b，CG=2GH 且 a，b 满足下列关系：a2+b2=5，ab=2．
（1）求证：△ADE≌△DBF；
（2）延长 FB 到点 M，使得 BM=DG，连接 CM．先补全图，然后求出 GH 的长．

29. 阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“ SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”、“ SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“ HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
小聪将命题用符号语言表示为：在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．
小聪想：要想解决问题，应该对 ∠B 进行分类研究．
∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当 ∠B 是直角时，如图 1，在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90∘，根据“ HL ”定理，可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当 ∠B 是锐角时，如图 2，BC=EF，∠B=∠E<90∘，在射线 EM 上有点 D，使 DF=AC，画出符合条件的点 D，则 △ABC 和 △DEF 的关系是 ；
A．全等 B．不全等 C．不一定全等
第三种情况：当 ∠B 是钝角时，如图 3，在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E>90∘，求证：△ABC≌△DEF．
答案
第一部分
1. D
2. B【解析】A、 3a 和 2b 不能合并，故本选项不符合题意；
B、 5a−2a=3a，故本选项符合题意；
C、结果是 b5，故选项不符合题意；
D、结果是 x2+2xy+y2，故本选项不符合题意．
3. A【解析】（1）若 3 为腰长，7 为底边长，由于 3+3<7，则三角形不存在；
（2）若 7 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为 7+7+3=17．
4. A【解析】∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD．
在 △ABD 和 △CDB 中，
∠ABD=∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD,
∴△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，AB=CD．
在 △ABE 和 △CDF 中，
AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
∴BF=DE，
在 △ADE 和 △CBF 中，
AD=CB,DE=BF,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF．即 3 对全等三角形．
5. B
【解析】1x 被开方数含分母，不是最简二次根式，A 不正确；
3 是最简二次根式，B正确；
8 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C不正确；
12 被开方数含分母，不是最简二次根式，D不正确．
6. D【解析】因为分式 x2−9x−3 的值为 0，
所以 x2−9=0 且 x−3≠0，
解得：x=−3．
7. C【解析】∵DE 是 △ABC 中 AC 边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△EBC 的周长 =BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+BA=18．
8. C【解析】① 3xx2⋅x3x=1x；正确；
② 8a2b2⋅−3a4b2=−6a3；正确；
③ aa2−1÷a2a2+a=1a−1；正确；
④ a÷b⋅1b=ab2，所以原式错误．
9. B【解析】本题考查用正方形的面积验证完全平方公式．
根据图形可知，正方形的边长为 a+b，则面积为 a+b2．
将正方形分成两个长方形和两个正方形后，面积为 a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
∴ a+b2=a2+2ab+b2．
10. D
【解析】连接 BP，
因为点 B 与 D 关于 AC 对称，
所以 PD=PB，
所以 PD+PE=PB+PE．
所以由两点之间线段最短可知当点 P 在点 Pʹ 处时，PD+PE 有最小值，最小值为 BE．
因为正方形 ABCD 的面积为 12，
所以 AB=23．
又因为 △ABE 是等边三角形，
所以 BE=AB=23．
所以 PD+PE 的最小值为 23．
第二部分
11. 3
12. x≥−1
13. AC=DF （或 ∠A=∠D 或 ∠B=∠DEF ）
14. 4,3 或 −2,−3 或 4,−3
【解析】点 D 的可能位置如图所示：
则点 D 的坐标为 −2,−3，4,3，4,−3．
15. 25
【解析】根据勾股定理可得 a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是：12ab×4=13−1=12，即 2ab=12，
则 a+b2=a2+2ab+b2=13+12=25．
16. 20∘，80∘
【解析】∵ 在 △ABA1 中，∠B=20∘，AB=A1B，
∴∠A=∠BA1A=180∘−∠B2=180∘−20∘2=80∘，
∵A1A2=A1C，∠BA1A 是 △A1A2C 的外角，
∴∠CA2A1=∠BA1A2=80∘2=40∘；
同理可得，∠EA3A2=20∘．
第三部分
17. 原式=5+2−2=5.
18. 原式=32−4×24−22+2=32−2−22+2=2
19. 去分母，得
12−2x+3=x−3.
12−2x−6=x−3.
−3x=−9.
x=3.
经检验，x=3 是原方程的增根，舍去．
∴ 原方程组无解．
20. （1） 4x2−9=2x+32x−3
（2） 3ax2−6axy+3ay2=3ax2−2xy+y2=3ax−y2
21. （1） ∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90∘，
在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，
AB=BA,AC=BD,
∴Rt△ACB≌Rt△BDAHL，
∴BC=AD．
（2） 由 Rt△ACB≌Rt△BDA，
得 ∠CAB=∠DBA，
∴ △OAB 是等腰三角形．
22. 原式=a2−1a−2×a−2a−12=a+1a−1a−12=a+1a−1.
∵ 原式中分母有 a−2，a−1，
∴a=3，
当 a=3 时，
原式=3+13−1=2.
23. （1） 如图所示．
（2） 如图所示．
24. （1） ∵ 4+23=1+3+23=12+32+23=1+32．
∴ 4+23=1+32=1+3．
（2） 7−210=52+22−2×5×2=5−22=5−2.
25. （1）
Aʹ−2,3 ， Bʹ−3,1 ， Cʹ2,−2 .
（2） S=25−12×1×2−12×5×3−12×5×4=6.5
26. 设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶 x 千米，根据题意列方程得
10x=4×10x+45.
解得
x=15.
经检验 x=15 是原方程的解且符合实际意义．
答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶 15 千米．
27. （1） BE=AD，BE⊥AD．
【解析】如图，延长 BE 交 AD 于点 H，
在 △BCE 和 △ACD 中，
∵BC=AC,∠BCE=∠ACD=90∘,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵∠EBC+∠BEC=90∘，
∴∠EBC+∠ADC=90∘，
∴∠BHD=90∘，
∴BH⊥AD，
∴BE⊥AD．
（2） BE=AD，BE⊥AD 仍然成立；
设 BE 与 AC 的交点为点 F，BE 与 AD 的交点为点 G，如图，
∵∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠ACD=∠BCE．
在 △ACD 和 △BCE 中，
∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
∵∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90∘，
∴∠AFG+∠CAD=90∘，
∴∠AGF=90∘，
∴BE⊥AD．
28. （1） ∵ △ADB 和 △BCD 是等边三角形，
∴ ∠DAE=∠BDF=60∘，AD=BD，
在 △DAE 和 △BDF 中，
AD=DB,∠DAE=∠BDF,AE=DF,
∴ △ADE≌△DBF．
（2） 如图，延长 FB 到点 M，使得 BM=DG，连接 CM．
∵ a2+b2=5，ab=2，
∴ a+b2=a2+2ab+b2=5+4=9，
∵ a+b>0，
∴ a+b=3，
由作图知，GM=GB+BM=GB+DG=a+b=3，
∠ADB+∠BDC=120∘，
∠DBF+∠CBM=120∘，
由（1）得，∠ADE=∠DBF，
∴ ∠CDG=∠CBM，
∴ 在 △CDG 和 △CBM 中，
CD=CB,∠CDG=∠CBM,DG=BM,
∴ △CDG≌△CBM，
∴ CG=CM，∠DCG=∠BCM，
∵ ∠DCB=60∘，
∴ ∠GCM=60∘，
∴ CG=CM=GM=3，
又 CG=2GH，
∴ GH=32．
29. 第二种情况，如图画出 DF 和 DʹF，选择 C．
第三种情况：
如图，过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G，
过点 F 作 FH⊥DE 交 DE 的延长线于点 H，
∵∠ABC=∠DEF，
∴180∘−∠ABC=180∘−∠DEF，即 ∠CBG=∠FEH，
在 △CBG 和 △FEH 中，
∠CBG=∠FEH,∠G=∠H=90∘,BC=EF.
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在 Rt△ACG 和 Rt△DFH 中，
AC=DF,CG=FH.
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,AC=DF.
∴△ABC≌△DEF（AAS）．