2019-2020学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷

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2019-2020学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）若分式有意义，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．2．（2分）2019年被称为中国的元年，如果运用技术，下载一个的短视频大约只需要0.000048秒，将数字0.000048用科学记数法表示应为　　A． B． C． D．3．（2分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为　　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2分）下列计算正确的是　　A． B． C． D．5．（2分）正五边形中，的度数为　　A． B． C． D．6．（2分）中，，，，下列数轴中表示的的取值范围，正确的是　　A． B． C． D．7．（2分）已知等边三角形．如图，（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；（2）作直线交于点；（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；（4）作直线交于点；（5）直线与直线相交于点；（6）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．③④8．（2分）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为　　A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，第9-14题，每小题2分，第15-16题，每小题2分）9．（2分）如图，图中以为边的三角形的个数为　　．10．（2分），，则　　．11．（2分）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式　　．12．（2分）分解因式：　 　．13．（2分）若，，则的值为　　．14．（2分）如图，，，，则　　（用含的式子表示）．15．（3分）如图，是内部的一点，，，下列结论中，①；②；③；④平分．所有正确结论的序号是　　．16．（3分）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是　　．三、解答题（本题共66分，第17题4分，第18-19题，每小题4分，第20-24题，每小题4分，第25-26题，每小题4分，第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）依据流程图计算需要经历的路径是　　（只填写序号），输出的运算结果是　　．18．（5分）计算：．19．（5分）解方程．20．（6分）如图，点，，，在一条直线上，．（1）在下列条件 ①；②；③；④中，只添加一个条件就可以证得，则所有正确条件的序号是　　．（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明．21．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点关于轴的对称点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为．（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系；（2）画出分别关于轴的对称图形△；（3）写出点关于轴的对称点的坐标．22．（6分）证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．23．（6分）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，为中线，点在上，交于点，．求证：．经过讨论，同学们得到以下两种思路：完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：　　；②思路二的辅助线的作法是：　　．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．24．（6分）随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作（每天工作时间为8小时）．25．（7分）如图，中，，于点，延长至点，使．判断与的数量关系，并证明你的结论．26．（7分）如图，是等边三角形，与关于直线对称，与垂直交的延长线于点，，且与在的两侧，．（1）依题意补全图形．（2）①在上找一点，使点到点，点的距离和最短；②求证：点到，的距离相等．27．（8分）在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．（1）以为底边作等腰三角形，①当时，点的坐标为　　；②当且直线经过原点时，点与轴的距离为　　；③若上所有点到轴的距离都不小于1，则的取值范围是　　．（2）以为斜边作等腰直角三角形，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，上存在点，满足，直接写出的取值范围．2019-2020学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）若分式有意义，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意得，，解得，，故选：．2．（2分）2019年被称为中国的元年，如果运用技术，下载一个的短视频大约只需要0.000048秒，将数字0.000048用科学记数法表示应为　　A． B． C． D．【解答】解：将数字0.000048用科学记数法表示应为．故选：．3．（2分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为　　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：第1个是轴对称图形，符合题意；第2个是轴对称图形，符合题意；第3个不是轴对称图形，不合题意；第4个是轴对称图形，符合题意；故选：．4．（2分）下列计算正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项符合题意；，选项不符合题意．故选：．5．（2分）正五边形中，的度数为　　A． B． C． D．【解答】解：根据正五边形的性质，，，．故选：．6．（2分）中，，，，下列数轴中表示的的取值范围，正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：中，，，，，符合，故选：．7．（2分）已知等边三角形．如图，（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；（2）作直线交于点；（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；（4）作直线交于点；（5）直线与直线相交于点；（6）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．③④【解答】解：由作图可知，点是的外心，是等边三角形，点是的外心也是内心，，，，，，故①③④正确，故选：．8．（2分）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为　　A． B． C． D．【解答】解：如右图所示，当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，点在第一象限，，，，，，，直线垂直平分，点是直线与轴的交点，，当；作，交过点且平行于轴的直线与，当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，四边形是平行四边形，此时点与轴交点坐标为，由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，的取值范围是，故选：．二、填空题（本题共18分，第9-14题，每小题2分，第15-16题，每小题2分）9．（2分）如图，图中以为边的三角形的个数为　4　．【解答】解：以为公共边的三角形有，，，，以为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．10．（2分），，则　　．【解答】解：，，．故答案为：11．（2分）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式　　．【解答】解：①阴影部分的面积；②阴影部分的面积；，故答案为；12．（2分）分解因式：　　．【解答】解：，，．故答案为：．13．（2分）若，，则的值为　　．【解答】解：原式，当时，原式．故答案为：14．（2分）如图，，，，则　　（用含的式子表示）．【解答】解：，，，，，；故答案为．15．（3分）如图，是内部的一点，，，下列结论中，①；②；③；④平分．所有正确结论的序号是　①③④　．【解答】解：，，故①正确；，，即，，故②错误；，，垂直平分，故③正确；平分，故④正确；故答案为：①③④．16．（3分）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是　或　．【解答】解：①过作时，，，，当时，是钝角三角形；②过作时，，，，当时，是钝角三角形，故答案为：或．三、解答题（本题共66分，第17题4分，第18-19题，每小题4分，第20-24题，每小题4分，第25-26题，每小题4分，第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）依据流程图计算需要经历的路径是　②③　（只填写序号），输出的运算结果是　　．【解答】解：，依据流程图计算需要经历的路径是②③；输出的运算结果是；故答案为：②③；．18．（5分）计算：．【解答】解：原式，，．19．（5分）解方程．【解答】解：方程两边乘，得解得，检验：当时，，所以，原分式方程的解为．20．（6分）如图，点，，，在一条直线上，．（1）在下列条件 ①；②；③；④中，只添加一个条件就可以证得，则所有正确条件的序号是　②③④　．（2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明．【解答】解：（1）①在和中，，，，不能判定和全等；②，，即，在和中，，；③在和中，，；④，，在和中，，；故答案为：②③④；（2）答案不唯一．添加条件，理由如下：，．．在和中，，；．21．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点关于轴的对称点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为．（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系；（2）画出分别关于轴的对称图形△；（3）写出点关于轴的对称点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系．（2）如图所示，△即为所求；（3）点关于轴的对称点的坐标．22．（6分）证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．【解答】已知：如图，在和△中，，，、分别是，边上的高，．求证：△．证明：，，．在和△中，△，，在和△中△，即如果两个三角形有两个角及它们的夹边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．23．（6分）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，为中线，点在上，交于点，．求证：．经过讨论，同学们得到以下两种思路：完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：　延长至点，使，连接　；②思路二的辅助线的作法是：　　．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【解答】解：（1）①延长至点，使，连接，如图①，理由如下：为中线，，在和中，，，，，，，，，，．故答案为：延长至点，使，连接；②作交的延长线于点，如图②．理由如下：，，，，，，在和中，，，，；故答案为：作交的延长线于点；（2）作交的延长线于，如图③所示：则，为中线，，在和中，，，，，，，，，，．24．（6分）随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作（每天工作时间为8小时）．【解答】解：设用传统方式每人每小时可分拣件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣件，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，（人（件，（人．答：每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作．25．（7分）如图，中，，于点，延长至点，使．判断与的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：；理由：延长至点使，交于点，连接，，，，，，，．，．．．．，．26．（7分）如图，是等边三角形，与关于直线对称，与垂直交的延长线于点，，且与在的两侧，．（1）依题意补全图形．（2）①在上找一点，使点到点，点的距离和最短；②求证：点到，的距离相等．【解答】（1）解：补全图形，如图1所示：（2）①解：如图2，连接，为与的交点．点即为所求；②证明：连接，．如图3所示：，是等边三角形，，．，．．．．垂直平分．．，，，．．，，在和中，，．．点到，的距离相等．27．（8分）在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．（1）以为底边作等腰三角形，①当时，点的坐标为　　；②当且直线经过原点时，点与轴的距离为　　；③若上所有点到轴的距离都不小于1，则的取值范围是　　．（2）以为斜边作等腰直角三角形，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，上存在点，满足，直接写出的取值范围．【解答】解：（1）①如图1中，由题意，，关于直线对称，．故答案为．②如图2中，由题意，直线，直线的解析式为，，点到轴的距离为1，故答案为1．③由题意，，上所有点到轴的距离都不小于1，或，解得或．故答案为或．（2）如图3中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，点到的距离为1，当点在上方时，若直线上存在点，上存在点，满足，则．当点在下方时，若直线上存在点，上存在点，满足，则．综上所述，或．思路一如图①，添加辅助线后依据可证得，再利用可以进一步证得，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用可证得，再依据可以进一步证得，从而证明结论．思路一如图①，添加辅助线后依据可证得，再利用可以进一步证得，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用可证得，再依据可以进一步证得，从而证明结论．