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人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质课时作业
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质课时作业，共16页。
2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《2.1等式性质与不等式性质》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•海淀区校级三模）若b＜a＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab＜a2 C．|a|＞|b| D．
2．（2021•铁西区校级模拟）设a＝sin2，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021•青岛三模）已知1＜＜，M＝aa，N＝ab，P＝ba，则M，N，P的大小关系正确的为（ ）
A．N＜M＜P B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．P＜N＜M
4．（2021•上海）已知x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（ ）
A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3
5．（2021•下城区校级模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x，其中0＜a＜b＜1，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵溪市校级模拟）设a＝x2+2，b＝2x，则a＞b． （判断对错）
7．（2021春•上高县校级月考）比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）．
8．（2021•全国三模）比较与的大小 （填＜或＞）．
9．（2020秋•咸阳期末）设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则M与N的大小关系为 ．
10．（2020秋•安徽期末）已知M＝a2+3a+1，N＝2a+，则M N．（填“＞”或“＜”）
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知函数y＝f（x）定义域为D，对于定义域D上的任意不等实数x1，x2，试比较下列函数中的与的大小关系．
（1）f（x）＝2x，D＝R；
（2）f（x）＝lgx，D＝（0，+∞）．
12．（2020秋•浦东新区期末）设a，b为实数，比较a2+b2与4a﹣4b﹣8的值的大小．
13．（2020秋•万州区校级月考）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，试比较与的大小．
14．（2020秋•嘉定区校级月考）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明．
15．（2020秋•平江县校级期末）f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，g（x）＝﹣（a+4）x﹣4+a，（a∈R）．
（1）比较f（x）与g（x）的大小；
（2）解关于x的不等式：f（x）＞0．
2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《2.1等式性质与不等式性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•海淀区校级三模）若b＜a＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab＜a2 C．|a|＞|b| D．
【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】可举例，令b＝﹣2、a＝﹣1，可判断ABC；利用基本不等式可判断D．
【解答】解：根据题意可令b＝﹣2、a＝﹣1，
则＜,ab＞a2,|a|＜|b|,∴ABC 错；
∵b＜a＜0，∴,,＞0且,
∴+＞2＝2,∴D对．
故选：D．
【点评】本题考查不等式基本性质，考查数学运算能力及推理能力．
2．（2021•铁西区校级模拟）设a＝sin2，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】a＝sin2∈（0，1），根据指对幂函数单调性可解决此题．
【解答】解：∵a＝sin2∈（，1），
∴2a∈（1，2），＞a＞0，a2∈（，1），
∴loga＜a2＜2a，
故选：C．
【点评】本题考查指对幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
3．（2021•青岛三模）已知1＜＜，M＝aa，N＝ab，P＝ba，则M，N，P的大小关系正确的为（ ）
A．N＜M＜P B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．P＜N＜M
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】令a＝，b＝可解决此题．
【解答】解：根据题意，令a＝、b＝，则P＝（），M＝（），N＝（）．
根据幂函数y＝x在（0，+∞）上是增函数，可得P＜M；
根据指数函数y＝（）x在R上是减函数，可得M＜N．
故选：B．
【点评】本题考查不等式大小比较、指数函数及幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
4．（2021•上海）已知x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（ ）
A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3
【考点】不等关系与不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设，，，根据题意，则有，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c），通过求解（2b）2﹣（a+c）2＞0，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，可得A正确，B错误；利用作差法可得x1x3﹣x22＝（2b﹣a﹣c）m﹣，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，因无法知道m的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断CD，即可得解．
【解答】解：设x1+y1＝x2+y2＝x3+y3＝2m，
，，，
根据题意，应该有，
且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2）＞0，
则有，
则x1+x3﹣2x2＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），
因为（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，
所以x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，
所以A项正确，B错误．
x1x3﹣x22＝（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m﹣，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，
因为不知道m的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
5．（2021•下城区校级模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x，其中0＜a＜b＜1，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】不等关系与不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】f()＝(﹣a)(﹣b)+＝[1﹣(﹣)2]可判断AB；
函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x＝x2﹣(a+b﹣1)x+ab，对称轴为x＝＜,
b＝f(a),a＝f(b),根据单调性可判断CD．
【解答】解：f()＝(﹣a)(﹣b)+＝[1﹣(﹣)2]，
∵0＜a＜b＜1，∴0＜1﹣（﹣）2＜1,又∵＜,
∴f()＜＜,∴选B不选A；
f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x＝x2﹣(a+b﹣1)x+ab，对称轴为x＝＜,
b＝f(a),a＝f(b),＜a＜＜b,∵函数f(x)在（,+∞)上是单调递增的，
∴f(a)＜f()＜f(b),即a＜f()＜b,∴不选CD．
故选：B．
【点评】本题考查不等式关系及应用、函数单调性，考查数学运算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵溪市校级模拟）设a＝x2+2，b＝2x，则a＞b． 正确 （判断对错）
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用作差法得到a﹣b＝x2+2﹣2x，再通过配方法即可求解．
【解答】解：∵a﹣b＝x2+2﹣2x＝（x﹣1）2+1＞0，∴a＞b．
故答案为：正确．
【点评】本题考查了作差法比较不等式的大小，属于基础题．
7．（2021春•上高县校级月考）比较大小： ＜ （填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式；数学运算．
【分析】只需作差比较和的大小即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴，且，
∴．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了无理数比较大小的方法：比较平方的大小，考查了计算能力，属于基础题．
8．（2021•全国三模）比较与的大小 ＜ （填＜或＞）．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】可比较和的大小关系，然后即可得出和的大小关系．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
9．（2020秋•咸阳期末）设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则M与N的大小关系为 M＞N ．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用做差法和不等式的性质即可得出答案．
【解答】解：设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，
则M﹣N＝（3x2﹣x+1）﹣（x2+x﹣1）＝2x2﹣2x+2＝2（x﹣）2+＞0，
M＞N，
则M与N的大小关系为M＞N，
故答案为：M＞N．
【点评】本题考查了做差法和不等式的性质比较大小，属于基础题．
10．（2020秋•安徽期末）已知M＝a2+3a+1，N＝2a+，则M ＞ N．（填“＞”或“＜”）
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用做差法和不等式的性质即可得出答案．
【解答】解：已知M＝a2+3a+1，N＝2a+，
则M﹣N＝（a2+3a+1）﹣（2a+）＝a2+a+＝（a+）2+＞0，
则M＞N．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了做差法和不等式的性质比较大小，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知函数y＝f（x）定义域为D，对于定义域D上的任意不等实数x1，x2，试比较下列函数中的与的大小关系．
（1）f（x）＝2x，D＝R；
（2）f（x）＝lgx，D＝（0，+∞）．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；数学运算；数据分析．
【分析】将不等实数x1，x2，代入相应的函数解析式，求出与，然后利用基本不等式可判定大小关系．
【解答】解：（1）f（x）＝2x，D＝R，
＝＝，
所以≥，
（2）f（x）＝lgx，D＝（0，+∞），
＝
＝，由当x1＞0，x2＞0得，
所以≤．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的基本运算，解题的关键是利用基本不等式判定大小关系．
12．（2020秋•浦东新区期末）设a，b为实数，比较a2+b2与4a﹣4b﹣8的值的大小．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】通过作差配方即可比较出大小关系．
【解答】解：a2+b2﹣（4a﹣4b﹣8）＝（a﹣2）2+（b+2）2≥0，
因此a2+b2≥4a﹣4b﹣8．
【点评】本题考查了数的大小比较方法、作差法与配方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（2020秋•万州区校级月考）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，试比较与的大小．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【分析】根据不等式的性质由a＞b＞0，c＜d＜0即可得出a﹣c＞b﹣d＞0，进而得出，再根据e＜0即可得出的大小关系．
【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，且a＞b＞0，
∴a﹣c＞b﹣d＞0，
∴（a﹣c）2＞（b﹣d）2＞0，
∴，且e＜0，
∴．
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
14．（2020秋•嘉定区校级月考）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）利用作差法，判断差的符号，即可得证．
（2）由（1）和基本不等式可得+≥2，即可得证．
【解答】证明：（1），证明如下：
因为（）2﹣＝＝，
又a，b是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0，
所以（）2≥，当且仅当a＝b时，取等号，
故≥；
因为﹣（）2＝＝≥0，当且仅当a＝b时，取等号，
所以≥；
故．
（2）因为a，b是正数，所以+＝≥＝＝2，
当且仅当2（a2+b2）＝（a+b）2，即a＝b时取等号，
所以+≥2，
所以△1﹣△2＝+﹣2≥0，
所以△1≥△2．
【点评】本题主要考查了运用作差法证明不等式，考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
15．（2020秋•平江县校级期末）f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，g（x）＝﹣（a+4）x﹣4+a，（a∈R）．
（1）比较f（x）与g（x）的大小；
（2）解关于x的不等式：f（x）＞0．
【考点】不等式比较大小；一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；配方法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）2个函数作差可得：f（x）﹣g（x）＝（x+）2+＞0，即可得解f（x）＞g（x）．
（2）由f（x）＞0得（x﹣a）（x﹣1）＞0，利用一元二次不等式的解法分类讨论即可得解．
【解答】解：（1）∵，
∴f（x）＞g（x）．
（2）由f（x）＞0得（x﹣a）（x﹣1）＞0，
①当a＜1时，解集为{x|x＜a或x＞1}，
②当a＝1时，解集为{x|x≠1}，
③当a＞1时，解集为{x|x＜1或x＞a}．
【点评】一元二次不等式的核心还是求一元二次方程的根，然后在结合图象判定其区间．要求能熟练掌握，争取基础分不要丢，本题属于中档题．
考点卡片
1．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
2．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a+b的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p﹣q＝﹣a﹣b＝＝（b2﹣a2）＝，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
解：由指数函数的单调性可知，＞，
由幂函数的单调性可知，＞，
则＞＞，
故＜＜，
故选：B．
3．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
4．不等式的基本性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
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日期：2021/7/2 8:41:09；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《2.1等式性质与不等式性质》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•海淀区校级三模）若b＜a＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab＜a2 C．|a|＞|b| D．
2．（2021•铁西区校级模拟）设a＝sin2，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021•青岛三模）已知1＜＜，M＝aa，N＝ab，P＝ba，则M，N，P的大小关系正确的为（ ）
A．N＜M＜P B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．P＜N＜M
4．（2021•上海）已知x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（ ）
A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3
5．（2021•下城区校级模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x，其中0＜a＜b＜1，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵溪市校级模拟）设a＝x2+2，b＝2x，则a＞b． （判断对错）
7．（2021春•上高县校级月考）比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）．
8．（2021•全国三模）比较与的大小 （填＜或＞）．
9．（2020秋•咸阳期末）设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则M与N的大小关系为 ．
10．（2020秋•安徽期末）已知M＝a2+3a+1，N＝2a+，则M N．（填“＞”或“＜”）
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知函数y＝f（x）定义域为D，对于定义域D上的任意不等实数x1，x2，试比较下列函数中的与的大小关系．
（1）f（x）＝2x，D＝R；
（2）f（x）＝lgx，D＝（0，+∞）．
12．（2020秋•浦东新区期末）设a，b为实数，比较a2+b2与4a﹣4b﹣8的值的大小．
13．（2020秋•万州区校级月考）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，试比较与的大小．
14．（2020秋•嘉定区校级月考）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明．
15．（2020秋•平江县校级期末）f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，g（x）＝﹣（a+4）x﹣4+a，（a∈R）．
（1）比较f（x）与g（x）的大小；
（2）解关于x的不等式：f（x）＞0．
2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《2.1等式性质与不等式性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•海淀区校级三模）若b＜a＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab＜a2 C．|a|＞|b| D．
【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】可举例，令b＝﹣2、a＝﹣1，可判断ABC；利用基本不等式可判断D．
【解答】解：根据题意可令b＝﹣2、a＝﹣1，
则＜,ab＞a2,|a|＜|b|,∴ABC 错；
∵b＜a＜0，∴,,＞0且,
∴+＞2＝2,∴D对．
故选：D．
【点评】本题考查不等式基本性质，考查数学运算能力及推理能力．
2．（2021•铁西区校级模拟）设a＝sin2，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】a＝sin2∈（0，1），根据指对幂函数单调性可解决此题．
【解答】解：∵a＝sin2∈（，1），
∴2a∈（1，2），＞a＞0，a2∈（，1），
∴loga＜a2＜2a，
故选：C．
【点评】本题考查指对幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
3．（2021•青岛三模）已知1＜＜，M＝aa，N＝ab，P＝ba，则M，N，P的大小关系正确的为（ ）
A．N＜M＜P B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．P＜N＜M
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【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】令a＝，b＝可解决此题．
【解答】解：根据题意，令a＝、b＝，则P＝（），M＝（），N＝（）．
根据幂函数y＝x在（0，+∞）上是增函数，可得P＜M；
根据指数函数y＝（）x在R上是减函数，可得M＜N．
故选：B．
【点评】本题考查不等式大小比较、指数函数及幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
4．（2021•上海）已知x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（ ）
A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3
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【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设，，，根据题意，则有，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c），通过求解（2b）2﹣（a+c）2＞0，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，可得A正确，B错误；利用作差法可得x1x3﹣x22＝（2b﹣a﹣c）m﹣，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，因无法知道m的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断CD，即可得解．
【解答】解：设x1+y1＝x2+y2＝x3+y3＝2m，
，，，
根据题意，应该有，
且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2）＞0，
则有，
则x1+x3﹣2x2＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），
因为（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，
所以x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，
所以A项正确，B错误．
x1x3﹣x22＝（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m﹣，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，
因为不知道m的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
5．（2021•下城区校级模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x，其中0＜a＜b＜1，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
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【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】f()＝(﹣a)(﹣b)+＝[1﹣(﹣)2]可判断AB；
函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x＝x2﹣(a+b﹣1)x+ab，对称轴为x＝＜,
b＝f(a),a＝f(b),根据单调性可判断CD．
【解答】解：f()＝(﹣a)(﹣b)+＝[1﹣(﹣)2]，
∵0＜a＜b＜1，∴0＜1﹣（﹣）2＜1,又∵＜,
∴f()＜＜,∴选B不选A；
f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+x＝x2﹣(a+b﹣1)x+ab，对称轴为x＝＜,
b＝f(a),a＝f(b),＜a＜＜b,∵函数f(x)在（,+∞)上是单调递增的，
∴f(a)＜f()＜f(b),即a＜f()＜b,∴不选CD．
故选：B．
【点评】本题考查不等式关系及应用、函数单调性，考查数学运算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵溪市校级模拟）设a＝x2+2，b＝2x，则a＞b． 正确 （判断对错）
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【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用作差法得到a﹣b＝x2+2﹣2x，再通过配方法即可求解．
【解答】解：∵a﹣b＝x2+2﹣2x＝（x﹣1）2+1＞0，∴a＞b．
故答案为：正确．
【点评】本题考查了作差法比较不等式的大小，属于基础题．
7．（2021春•上高县校级月考）比较大小： ＜ （填“＞”“＜”或“＝”）．
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【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式；数学运算．
【分析】只需作差比较和的大小即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴，且，
∴．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了无理数比较大小的方法：比较平方的大小，考查了计算能力，属于基础题．
8．（2021•全国三模）比较与的大小 ＜ （填＜或＞）．
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【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】可比较和的大小关系，然后即可得出和的大小关系．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
9．（2020秋•咸阳期末）设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则M与N的大小关系为 M＞N ．
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【专题】计算题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用做差法和不等式的性质即可得出答案．
【解答】解：设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，
则M﹣N＝（3x2﹣x+1）﹣（x2+x﹣1）＝2x2﹣2x+2＝2（x﹣）2+＞0，
M＞N，
则M与N的大小关系为M＞N，
故答案为：M＞N．
【点评】本题考查了做差法和不等式的性质比较大小，属于基础题．
10．（2020秋•安徽期末）已知M＝a2+3a+1，N＝2a+，则M ＞ N．（填“＞”或“＜”）
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【专题】计算题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用做差法和不等式的性质即可得出答案．
【解答】解：已知M＝a2+3a+1，N＝2a+，
则M﹣N＝（a2+3a+1）﹣（2a+）＝a2+a+＝（a+）2+＞0，
则M＞N．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了做差法和不等式的性质比较大小，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知函数y＝f（x）定义域为D，对于定义域D上的任意不等实数x1，x2，试比较下列函数中的与的大小关系．
（1）f（x）＝2x，D＝R；
（2）f（x）＝lgx，D＝（0，+∞）．
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【专题】计算题；数学运算；数据分析．
【分析】将不等实数x1，x2，代入相应的函数解析式，求出与，然后利用基本不等式可判定大小关系．
【解答】解：（1）f（x）＝2x，D＝R，
＝＝，
所以≥，
（2）f（x）＝lgx，D＝（0，+∞），
＝
＝，由当x1＞0，x2＞0得，
所以≤．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的基本运算，解题的关键是利用基本不等式判定大小关系．
12．（2020秋•浦东新区期末）设a，b为实数，比较a2+b2与4a﹣4b﹣8的值的大小．
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【专题】转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】通过作差配方即可比较出大小关系．
【解答】解：a2+b2﹣（4a﹣4b﹣8）＝（a﹣2）2+（b+2）2≥0，
因此a2+b2≥4a﹣4b﹣8．
【点评】本题考查了数的大小比较方法、作差法与配方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（2020秋•万州区校级月考）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，试比较与的大小．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【分析】根据不等式的性质由a＞b＞0，c＜d＜0即可得出a﹣c＞b﹣d＞0，进而得出，再根据e＜0即可得出的大小关系．
【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，且a＞b＞0，
∴a﹣c＞b﹣d＞0，
∴（a﹣c）2＞（b﹣d）2＞0，
∴，且e＜0，
∴．
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
14．（2020秋•嘉定区校级月考）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明．
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【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）利用作差法，判断差的符号，即可得证．
（2）由（1）和基本不等式可得+≥2，即可得证．
【解答】证明：（1），证明如下：
因为（）2﹣＝＝，
又a，b是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0，
所以（）2≥，当且仅当a＝b时，取等号，
故≥；
因为﹣（）2＝＝≥0，当且仅当a＝b时，取等号，
所以≥；
故．
（2）因为a，b是正数，所以+＝≥＝＝2，
当且仅当2（a2+b2）＝（a+b）2，即a＝b时取等号，
所以+≥2，
所以△1﹣△2＝+﹣2≥0，
所以△1≥△2．
【点评】本题主要考查了运用作差法证明不等式，考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
15．（2020秋•平江县校级期末）f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，g（x）＝﹣（a+4）x﹣4+a，（a∈R）．
（1）比较f（x）与g（x）的大小；
（2）解关于x的不等式：f（x）＞0．
【考点】不等式比较大小；一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；配方法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）2个函数作差可得：f（x）﹣g（x）＝（x+）2+＞0，即可得解f（x）＞g（x）．
（2）由f（x）＞0得（x﹣a）（x﹣1）＞0，利用一元二次不等式的解法分类讨论即可得解．
【解答】解：（1）∵，
∴f（x）＞g（x）．
（2）由f（x）＞0得（x﹣a）（x﹣1）＞0，
①当a＜1时，解集为{x|x＜a或x＞1}，
②当a＝1时，解集为{x|x≠1}，
③当a＞1时，解集为{x|x＜1或x＞a}．
【点评】一元二次不等式的核心还是求一元二次方程的根，然后在结合图象判定其区间．要求能熟练掌握，争取基础分不要丢，本题属于中档题．
考点卡片
1．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
2．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a+b的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p﹣q＝﹣a﹣b＝＝（b2﹣a2）＝，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
解：由指数函数的单调性可知，＞，
由幂函数的单调性可知，＞，
则＞＞，
故＜＜，
故选：B．
3．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
4．不等式的基本性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
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