初中数学第二十一章 一元二次方程综合与测试同步训练题

专题14 一元二次方程 章节测试

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题)

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)

A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0

C．﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1

【答案】B

【分析】

根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.

【详解】

A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，

B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，

C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，

D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，

故选B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（    ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案.

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，

∴，，

则a的值为：．

故选D．

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.

3．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　）

A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根

C．有且只有一个实数根 D．没有实数根

【答案】A

【详解】

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．

【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，

∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，

∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，

故选A．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．已知，是方程的两个实数根，则的值是(   )

A．2023 B．2021 C．2020 D．2019

【答案】A

【分析】

根据题意可知b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016即可求解.

【详解】

，是方程的两个实数根，

∴，，，

∴；

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．

5．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    )

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

【答案】B

【详解】

试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．

故选B.

6．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（  ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．只有一个实数根

【答案】A

【分析】

先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．

【详解】

解：根据定义得：

＞

原方程有两个不相等的实数根，

故选

【点睛】

本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．

7．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】

设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可.

【详解】

设，是的两个实数根，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴或，

∴，

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．

8．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为(   )

A．(x﹣)2＝ B．(x+)2＝

C．(x﹣)2＝0 D．(x﹣)2＝

【答案】D

【详解】

分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

详解：∵x2﹣x﹣1=0，∴x2﹣x=1，∴x2﹣x+=1+，∴（x﹣）2=．

    故选D．

点睛：配方法的一般步骤：

    （1）把常数项移到等号的右边；

    （2）把二次项的系数化为1；

    （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

    选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

9．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况(　　)

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有一个实数根 D．无实数根

【答案】B

【详解】

一元二次方程的根的情况与根的判别式有关，

，方程有两个不相等的实数根，故选B

10．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（　　）

A．=465 B．=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465

【答案】A

【分析】

因为每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，所以共握手x（x﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x（x﹣1）÷2次，解此方程即可.

【详解】

解：设九年级（1）班有x名同学，

根据题意列出的方程是 =465，

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.

二、填空题(共5小题)

11．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．

【答案】﹣2

【分析】

根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入x2＋mx＋2n＝0得到4＋2m＋2n＝0得n＋m＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．

【详解】

∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，

∴4＋2m＋2n＝0，

∴n＋m＝−2，

故答案为−2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

12．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=_____________．

【答案】2026

【详解】

由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，

所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，

则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，

又n2=n+3，

则2n2-mn+2m+2015

=2（n+3）-mn+2m+2015

=2n+6-mn+2m+2015

=2（m+n）-mn+2021

=2×1-（-3）+2021

=2+3+2021

=2026．

13．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．

【答案】2

【解析】

分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．

详解：设方程的另一个根为m，

根据题意得：1+m=3，

解得：m=2．

故答案为2．

点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．

14．已知实数，满足条件，，则________．

【答案】

【分析】

由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．

【详解】

由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．

故答案为．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．

15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．

【答案】x（x﹣12）＝864．

【分析】

由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：∵长为x步，宽比长少12步，

∴宽为（x﹣12）步．

依题意，得：x（x﹣12）＝864．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

三、解答题(共5小题)

16．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【分析】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．

【详解】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，

根据题意得：400（1﹣x）2=361，

解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．

答：每个月生产成本的下降率为5%；

（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

17．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：

（1）每千克茶叶应降价多少元？

（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的  几折出售？

【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．

【分析】

（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；

（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．

【详解】

（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：

（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．

化简，得：x2﹣10x+240=0．

解得：x1=30，x2=80．

答：每千克茶叶应降价30元或80元．

（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．

 此时，售价为：400﹣80=320（元），．

答：该店应按原售价的8折出售．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．

18．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【答案】，此时方程的根为

【分析】

直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．

【详解】

解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．

【点睛】

此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．

19．解方程：

（1）；                  （2）．

【答案】（1）x1=5，x2=-1；（2）.

【分析】

（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先求出的值，再代入公式求出即可.

【详解】

（1）x2-4x-5=0，

分解因式得：（x-5）（x+1）=0，

x-5=0，x+1=0，

x1=5，x2=-1；

（2）2x2-2x-1=0，

a=2，b=-2，c=-1，

△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，

方程有两个不相等实数根，

.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.

20．已知关于的一元二次方程.

（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根，满足，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）-2.

【详解】

分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．

详解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．

∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，

∴无论p取何值此方程总有两个实数根；

（2）∵原方程的两根为x1、x2，

∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．

又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，

∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，

∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，

∴25-18+3p2+3p=3p2+1，

∴3p=-6，

∴p=-2．

点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．