高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀教案及反思

专题28  三角函数及函数性质

一、基础知识：

1、正弦函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴（最值点）：

（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数

（6）单调增区间：

     单调减区间：

2、余弦函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数

（5）对称中心（零点）：

（6）单调增区间：  

     单调减区间：

3、正切函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称中心：

（5）零点：

（6）单调增区间：  

注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值

4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴：

（5）零点：

（6）单调增区间：

     单调减区间：

5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可

注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。

2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质

二、典型例题：

例1：函数 （     ）

A. 在上单调递减                    B. 在上单调递增

C. 在上单调递减                      D. 在上单调递增

思路：

单调递增区间：

单调递减区间：

符合条件的只有D

答案：D

例2：函数的一个单调递减区间为（      ）

A.            B.           C.           D.

思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求

答案：D

例3：的递减区间为（     ）

A.                 B.

C.                    D.

思路：在解函数性质之前首先把的系数变正：，再求其单调区间：，由于，所以区间等同于

答案：D

例4：已知函数，则下列关于函数性质判断正确的是（     ）

A. 最小正周期为，一个对称中心是

B. 最小正周期为，一个对称中心是

C. 最小正周期为，一个对称中心是

D. 最小正周期为，一个对称中心是

思路： 

对称中心：

时，一个对称中心是

答案：A

例5：函数的单调递增区间为（      ）

A.                        B.

C.                       D.

思路：求单调区间可设，即，只需找到所满足的条件然后解出的范围即可。的取值需要满足两个条件，一是保证，二是取单调增的部分，所以可得：，即，解得：

答案：A

例6：设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（    ）

A. 是偶函数                             B. 的最小正周期是

C. 图像关于点对称               D. 在区间上是增函数

思路：先判断的周期，可结合图像进行判断，可得：；对于对称轴，对称中心，单调区间，可考虑设，即，借助图像先写出所符合的条件，再求出的值（或范围）即可。

对称轴：，不是偶函数

对称中心：，关于点对称

单调增区间：

答案：C

例7：函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为（     ）

A.                  B.                 C.                D. 

思路：根据图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半

，所以间距为：

答案：B

例8：已知函数的图像关于直线对称，则的值为_______

思路一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：

因为关于直线对称，

思路二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意

答案：

例9：已知在单调递增，求的取值范围

思路：的图像可视为仅由放缩得到。，由在单调递增可得： ，即

答案：

例10：已知函数在区间上为增函数，且图像关于点对称，则的取值集合为______________

思路：的图像可视为的图像横坐标变为了，，则，因为在上单调增，所以，即；另一方面，的对称轴为，所以解得，再结合可得

答案：

三、近年好题精选

1、函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（    ）

A．关于点对称                        B．关于直线对称

C．关于点对称                         D．关于直线对称

2、（2015，湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（    ）

A.               B.             C.              D.

3、（2016，重庆万州二中）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（     ）

A.                 B.              C.              D. 

4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（    ）

A.                     B.                    C.                 D. 

5、（2015，天津）一直函数，若函数在内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为_______

6、（2014，安徽）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是__________

7、（2014，北京）设函数（是常数，）若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为______

8、已知的图像在上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围是______

9、（2014，福建）已知函数

（1）若，且，求的值

（2）求函数的最小正周期及单调递增区间

10、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数（）．

（1）求最小正周期和单调递增区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

习题答案：

1、答案：B

解析：由最小正周期可得：，向右平移个单位后解析式为，即，由奇函数可知，所以，对称轴：，

对称中心：，即，配合选项可得B正确

2、答案：D

解析：，由可知分别取到最大最小值，不妨设，所以，由可知

3、答案：C

解析：先求出的单调性，，解得单调递减区间为：，即在上单调递减。所以在单调减，，所以，有，可知C符合题意

4、答案：B

解析：先利用图像变换求出解析式：，即，其图像可视为仅仅通过放缩而得到的图像。若最大，则要求周期取最小，由为增函数可得：应恰好为的第一个正的最大值点

5、答案：

解析：，由在内单调递增，且对称轴为可知在达到最大值，所以，由在单增可知，从而解得

6、答案：

解析：平移后的解析式为：，由对称轴为可知，令即得到最小正值

7、答案：

解析：由可得为一条对称轴，由可知为一个对称中心。因为在区间单调，所以可知与为相邻的对称轴与对称中心，所以

8、答案：

解析：

由可得：，若恰有一个对称轴和对称中心，则对称轴和对称中心为，所以

9、解析：（1）由及可得：

（2）

解得：

的单调递增区间为

10、解析：（1）

周期

单调递增区间：

所以单调递增区间：

（2）