高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品教案，共19页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


知识点一 二面角
思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
答案 二面角．
思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案 二面角的平面角．
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2．相关概念：
①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．
3．画法：

4．记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q，或P－AB－Q.
5.二面角的平面角：
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
知识点二 平面与平面垂直
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案 都是垂直．
1．平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：记作：α⊥β.
2．判定定理
类型一 定义法判定两平面垂直
例1 如图，在四面体ABCD中，BD＝eq \r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
解 因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
在△ABD中，AB＝a，BE＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)a，
所以AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \f(\r(2),2)a.
同理CE＝eq \f(\r(2),2)a，在△AEC中，AE＝CE＝eq \f(\r(2),2)a，AC＝a.由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD.
又AE⊂面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.
反思与感悟 1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：
(1)找出两相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．
2．此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意．
跟踪训练1 如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明 取BC中点D，连接SD、AD，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.
∴AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角．
又∠BSC＝90°，令SA＝1，
则SD＝eq \f(\r(2),2)，AD＝eq \f(\r(2),2)，
∴SD2＋AD2＝SA2.
∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.
类型二 面面垂直的判定定理判定两平面垂直
例2 如图，在四棱锥P­ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.
证明 ∵PA⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA.
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC.
又∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
反思与感悟 利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．
跟踪训练2 如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝eq \f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点．
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
证明 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1，
所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
类型三 求二面角的大小
例3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．
(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．
解 (1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距离为CD＝eq \r(BC2－BD2)＝eq \r(5).
(2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，
则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥面A1ABB1，
故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．
因CD⊥面A1ABB1，AB1⊂面A1ABB1，所以AB1⊥CD，
又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，
所以AB1⊥面A1CD，故AB1⊥A1D，
从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，
因此∠A1AB1＝∠A1DA，
所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.
因此eq \f(AA1,AD)＝eq \f(A1B1,AA1)，即AAeq \\al(2,1)＝AD·A1B1＝8，
得AA1＝2eq \r(2).从而A1D＝eq \r(AA\\al(2,1)＋AD2)＝2eq \r(3).
所以，在Rt△A1DD1中，
cs∠A1DD1＝eq \f(DD1,A1D)＝eq \f(AA1,A1D)＝eq \f(\r(6),3).
反思与感悟 求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答．
跟踪训练3 如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：BD⊥平面SAC；
(2)求二面角E－BD－C的大小．
(1)证明 ∵SB＝BC，且E为SC的中点，
∴BE⊥SC，又∵DE⊥SC，
∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC，
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC.
(2)解 由(1)BD⊥平面SAC可得BD⊥DE且BD⊥AC，
∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，
设SA＝a，则AB＝a，
在Rt△ABS中，SB＝eq \r(2)a，
∴BC＝eq \r(2)a，
在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(3)a，
∴SC＝2a，∴∠ASC＝60°，
又∵∠EDC＝∠ASC，
∴∠EDC＝60°，
∴二面角E－BD－C的大小为60°.
1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
答案 C
解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
2．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
答案 B
解析 ①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B.
3.如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________．
答案 60°
解析 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，
∴BC⊥平面AOD.
而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC.
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴设AO＝a，则AC＝eq \r(2)a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝eq \r(AC2＋AB2)＝eq \r(6)a，
∴AD＝eq \f(AB·AC,BC)＝eq \f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq \f(2\r(3),3)a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq \f(AO,AD)＝eq \f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq \f(\r(3),2).
∴∠ADO＝60°.即二面角A－BC－O的大小是60°.
4.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．
求证：面EFC⊥面BCD.
证明 ∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，
∴BD⊥面EFC.
∵BD⊂面BCD，
∴面EFC⊥面BCD.
1．求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”．
2．作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
3．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
一、选择题
1．在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC
答案 D
解析 ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
答案 C
解析 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．
3．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角．可能为钝角的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 B
解析 异面直线所成角的范围为(0°，90°]，直线和平面所成角的范围为[0°，90°]，二面角的平面角的范围为[0°，180°]，只有二面角的平面角可能为钝角．故答案为B.
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
答案 D
解析 A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面、可垂直；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；D正确．
5．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
答案 C
解析 如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF.∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE.
∴DF⊥平面PAE.∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴D正确．
6．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：
①DF⊥BC；
②BD⊥FC；
③平面DBF⊥平面BFC；
④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折过程中，可能成立的结论是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 B
解析 因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故答案为B.
二、填空题
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
答案 45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.
答案 1
解析 因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
在△BCD中∠BDC＝90°，BD＝CD＝eq \f(\r(2),2)，
所以BC＝ eq \r(\f(\r(2),2)2＋\f(\r(2),2)2)＝1.
9.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有________对．
答案 4
解析 因为PA⊥平面ABCD，所以平面PDA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥平面PAD，得平面PAB⊥平面PAD，同理可得平面PBC⊥平面PAB.故图中互相垂直的平面共有4对．
10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点．
求证：平面C1BD⊥平面BDE.
证明 设AC∩BD＝O，则O为BD的中点，连接C1O，EO，C1E，如图．
因为EB＝ED，点O是BD的中点，所以BD⊥EO.
因为C1B＝C1D，点O是BD的中点，所以BD⊥C1O，所以∠C1OE即为二面角C1－BD－E的平面角．
因为E为AA1中点，设正方体的棱长为a，
则C1O＝ eq \r(a2＋\f(\r(2),2)a2)＝eq \f(\r(6),2)a，
EO＝ eq \r(\f(a,2)2＋\f(\r(2),2)a2)＝eq \f(\r(3),2)a，
C1E＝ eq \r(\r(2)a2＋\f(1,2)a2)＝eq \f(3,2)a，
所以C1O2＋EO2＝C1E2，
所以C1O⊥OE，
所以∠C1OE＝90°.
所以平面C1BD⊥平面BDE.
12．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，DE＝eq \f(1,2)PA＝3，EF＝eq \f(1,2)BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
又DE⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
13.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝eq \r(3).
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq \f(PA,AB)＝eq \r(3)，
则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β