高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行优质课教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行优质课教案设计，共13页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 不一定．
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 平行．
思考3 如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？
答案 无数条，不平行．
类型一 面面平行的判定定理
例1 下列四个命题：
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
(3)平行于同一直线的两个平面平行；
(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；
其中正确的个数是______________．
答案 0
反思与感悟 在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
跟踪训练1 设直线l, m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④ l∩m＝P, l⊂α，m⊂α，且l∥β， m∥β.
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
答案 A
解析 ①错误，因为l, m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．
类型二 平面与平面的判定定理的应用
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明 如图，连接SD，SB，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，
FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
同理，EG∥平面BDD1B1.
又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
反思与感悟 判定两个平面平行，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.
又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO.∴QB∥平面APO.
∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
1．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
答案 D
解析 若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的，而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行，C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的．
2．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线平行；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
其中正确的命题是( )
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
答案 B
解析 ①中的两条直线有可能平行，相交或异面，故①不正确；②正确；③中一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行，故③不正确，④正确．
3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
答案 平行
解析 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时D1，B两点作平面α，使面α∥面PAC？证明你的结论．
解 能作出满足条件的平面α，其作法如下：
如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.
证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，故D1B∥平面PAC.
又因为M为AA1中点，
故D1M∥PA，
从而D1M∥平面PAC.
又因为D1M∩D1B＝D1，
D1M⊂α，D1B⊂α，
所以α∥面PAC.
证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
一、选择题
1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
答案 D
2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
答案 B
解析 因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.
又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，∴β∥α.
3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γ∥α，γ∥β，则α∥β.故①正确．②、③均错误．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A．面ABB1A1 B．面BCC1B1
C．面BCFE D．面DCC1D1
答案 C
解析 AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1.(如图)
故面A1E1F1D1∥面BCFE.
5．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
答案 C
解析 若三点分布于平面β的同侧则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
6．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A．①③ B．①④
C．①②③ D．②③
答案 C
解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．
∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.
同理平面PAD∥BC.
二、填空题
7．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．
答案 相交或平行
解析 b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．
8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
答案 平行
解析 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
9．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
答案 平行
解析 在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，
∵a∥β，∴a与l无公共点，
∴a∥l，∴l∥α.
又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
10．经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平面可以作________个．
答案 0或1
解析 过平面外两点的直线若与平面α相交，则过这两点与平面α平行的平面不存在，过这两点的直线若与平面α平行，平面可以作出一个而且仅有一个．
三、解答题
11.如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD.
(1)证明 如图，连接BM，BN，BG并延长，分别交AC，AD，CD于点P，F，H.
因为M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
所以有eq \f(BM,MP)＝eq \f(BN,NF)＝eq \f(BG,GH)＝2.
连接PF，FH，PH，
则有MN∥PF，NG∥FH.
因为MN∥PF，MN⊄平面ACD，PF⊂平面ACD，
所以MN∥平面ACD，同理NG∥平面ACD.
又MN∩NG＝N，MN⊂平面MNG，NG⊂平面MNG，
所以平面MNG∥平面ACD.
(2)解 由(1)可知eq \f(MG,PH)＝eq \f(BG,BH)＝eq \f(2,3)，所以MG＝eq \f(2,3)PH.
又PH＝eq \f(1,2)AD，所以MG＝eq \f(1,3)AD.
同理NG＝eq \f(1,3)AC，MN＝eq \f(1,3)CD，
所以△MNG∽△DCA，其相似比为1∶3，
所以S△MNG∶S△ACD＝1∶9.
12．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面．
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，作出截面．
解 能．
如图，取AB，C1D1的中点M，N，
连接A1M，MC，CN，NA1.
∵A1N綊PC1綊MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，
A1N⊄平面PBC1，
PC1⊂平面PBC1，
∴A1N∥平面PBC1，
同理A1M∥平面PBC1，
又∵A1N∩A1M＝A1，A1N⊂平面A1MCN，A1M⊂平面A1MCN，∴平面A1MCN∥平面PBC1.∴平面A1MCN即为所求截面．因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．表示
定理
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))⇒α∥β