人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系教学设计及反思，共9页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念；2.能用符号和Venn图表达集合间的关系；3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一 子集
思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
答案 所有的白马都是马，马不一定是白马．
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
子集的有关性质：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.
知识点二 真子集
思考 在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
答案 用真子集．
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作：AB(或BA)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．
知识点三 空集
思考 集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？
答案 0个.
知识点四 Venn图
思考 图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
答案 A⊆B⊆C
一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
类型一 理解子集、真子集、空集的概念
例1 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．
解 A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝⊆A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{eq \f(1,a)}，
∵eq \f(1,a)≠0，要使A⊇B，只有eq \f(1,a)＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟 集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.
跟踪训练1 已知集合A＝{x|1解 (1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A⊇B，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．
类型二 罗列集合的子集
例2 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
解 (1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如，有一个子集，0个真子集．
反思与感悟 为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练2 适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16
C．31 D．32
答案 A
解析 这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
类型三 判断和证明集合间的关系
例3 已知A＝{x|x＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)，k∈Z}，B＝{x|x＝eq \f(k,4)＋eq \f(1,2)，k∈Z}，判断A与B的关系并证明．
解 当k＝0,1,2,3时，eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，eq \f(3,4)，eq \f(5,4)，eq \f(7,4)，
eq \f(k,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,4)，eq \f(3,4)，eq \f(4,4)，eq \f(5,4).
猜想AB.下用定义证明．
(1)若a∈A，则存在k0∈Z，使a＝eq \f(k0,2)＋eq \f(1,4)，而eq \f(k0,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(2k0－1,4)＋eq \f(1,2)，且2k0－1∈Z，
∴a∈B，即A⊆B.
(2)由上知1∈B，令1＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)，解得k＝eq \f(3,2)∉Z，即1∉A.
综上知AB.
反思与感悟 判断或证明集合间的关系，要紧扣定义，如果是描述法表示的集合，不妨先变为列举法或者列举一部分，使集合中元素特征清晰地呈现出来．
跟踪训练3 已知A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，判断A与B的关系并证明．
解 A＝B.下证明之．
若x1∈A，则存在k1∈Z使x1＝2k1＋1＝2(k1＋1)－1，
∵k1∈Z，∴k1＋1∈Z，∴x1∈B，∴A⊆B.
同理可证A⊇B，∴A＝B，证毕．
1．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}
答案 D
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．PT B．P∈T
C．P＝T D．P ⊈T
答案 A
3．下列关系错误的是( )
A．⊆ B．A⊆A
C．⊆A D．∈A
答案 D
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
一、选择题
1．设A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则( )
A．B∈A B．BA
C．A∈B D．A＝B
答案 D
解析 因为集合B中的元素x∈A，所以x＝a或x＝b，
所以B＝{a，b}，因此A＝B.
2．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，B＝{x|x＝eq \f(n,2)，n∈Z}，则A与B的关系是( )
A．A⊆B B．B⊆A
C．A＝B D．A∈B
答案 A
解析 A＝{0,1,2，…}，B＝{…，－1，－eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，1，eq \f(3,2)，2，…}，A中任意一个元素均在B中．
3．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
答案 D
解析 元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是( )
A．A⊆B B．B⊆A
C．B∈A D．A＝B
答案 C
解析 ∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.
5．设A＝{x|1A．a≤2 B．a≤1
C．a≥1 D．a≥2
答案 D
解析 ∵A⊆B，∴a≥2.
6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠，B⊆A，则(a，b)不能是( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(1,1)
答案 B
解析 当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
二、填空题
7．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有________个．
答案 4
解析 由题意得，含有元素0的集合A的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个．
8．已知{0,1}A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.
答案 {－1,0,1}
解析 由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}．
9．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的值是________．
答案 0，±1
解析 P＝{－1,1}，Q⊆P，所以
(1)当Q＝∅时，a＝0.
(2)当Q≠∅时，Q＝{eq \f(1,a)}，
所以eq \f(1,a)＝1或eq \f(1,a)＝－1，解之得a＝±1.
综上知a的值为0，±1.
10．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案 M＝P
解析 ∵xy>0，∴x，y同号，
又x＋y<0，∴x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0解 先用列举法表示集合A，B.
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．
解 ∵集合A的子集只有两个，
∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝eq \f(2,3).
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝eq \f(9,8).
综上，a的值为0或eq \f(9,8).
13．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．
解 ①当A无真子集时，A＝，
即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝4－4a<0，))所以a>1.
②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－eq \f(1,2)；
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，
a的取值范围是a＝0或a≥1.
定义
不含任何元素的集合叫做空集
符号
用符号表示为
规定
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集