初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

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1．通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据。
2．使学生会运用根与系数关系解决有关问题。
重点、难点：
一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，是教学的难点。
教学课时：2课时
教学过程设计
(一)引言
我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数a,b,c决
定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究
方程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明
（二）新课
从表格中找出两根之和x、x与两根之积 x·x和a,b,c的关系：
1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关
系.
2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.
3.猜想ax2+bx+c=0 (a≠0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生猜想为x1+x2=-，x1x2=.)
4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明
就可以了.
证明：设ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1,x2,
例题讲解：
例1：说出下列方程的两根和、两根积各是多少？
((1)x-3x+1=0
(2) 3x-2x=2
(3) 2x+3x=0
(4) 3x=1
(5) x+px+q=0
例2:
利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根x、x的(1)平方和；(2)倒数和 （3）（x-x） （4）（ x+1 ）(x+1) （5）︱ x-x︱
分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和
与两根之积.
例3:
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
本课小结：
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的参数的值。
布置作业:
1.如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值；
3.设x1、x2是方程2x2-6x＋3=0两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）xx+xx (2)( x1-x) (3)(x-2)(x-2)
(4) + (5)︱x-x︱
例4:
（1） 以2、3为根的一元二次方程是 。
（2）以x、x为根的一元二次方程是 。
（3）不解方程3x-5x=5,求作一新方程，使它的两根分别是已知方程两根的相反数。
解（3）：设方程3x-5x-5=0的两根为x、x，则x+x=， x.x= — ，
（—x）+（—x）= —（x+x）= —
（—x）（—x）= —
∴所求新方程为y+y — =0.
例5：
已知关于x的一元二次方程x—mx+2m—1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值。
解：设方程的两根为x、x，则x+x=m， x.x= 2m—1，
∵x+x=23
∴（x+x）—2 x.x=23
∴m—2（2m—1）=23
∴m—4m—21=0 ∴m= —3 m=7
当m= 7, x—7x+13=0,⊿=49—4×13＜0 ∴ m= 7 不符合题意；
当m= —3, x+3x—7=0,⊿=＞0 ∴ m=—3符合题意。
答：m的值—3。
例6：
已知α、β是方程x+2x—7=0的两个实数根，求α+3β+4β的值。
解：∵α、β是方程x+2x—7=0的两个实数根，
∴α+β= —2，αβ= —7
β+2β—7=0 即β+2β=7即2β+4β=14
∴α+3β+4β =α+β+2β+4β
=（α+β）—2αβ+14
= （—2）—2×(—7)+14=32
已知关于x的一元二次方程x—2kx＋k—2=0
求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根。
（２）设x、x为方程的两根，且满足x—2kx＋２xx=５，求k的值。
答案：k=±
例７：（2003—2004学年吴中区第一学期期末试题）
已知关于x的方程x—(k+1)x＋k+1=0
k取什么值时，方程有两实根？
若方程的两个实数为x、x，且满足︱x︱=x求k的值。
解：（1）⊿=［－（k+1）］－4×1×（ k+1）≥0
∴k≥
（2）∵xx=k+1＞0
∴x与x同号
∵︱x︱=x
∴ x=x
∴⊿=0
∴2k－3=0 即k=
本课小结：
要求作一个新方程，先算新方程的两根和与两根积。
利用根与系数关系的前提条件是：二次项系数不为零且⊿≥0。
布置作业:见第2波第12、13题。