2021高三数学第一轮复习 导学案 第54讲 双曲线（共2课时）

第五十四讲：双曲线（共2课时）

【核心考点】

1、了解双曲线的定义，会求双曲线的标准方程.；

2、知道双曲线的简单几何性质，明确双曲线的基本量与椭圆的基本量的异同，了解双曲线的简单应用.

【知识梳理】

1．双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．

(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；

③当2a>|F1F2|时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程与几何性质

【典题分析】  

题型一:双曲线的定义及标准方程

例1、求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）虚轴长为，离心率为； （2）顶点间的距离为，渐近线方程为.

【方法规律】熟悉双曲线的图像、标准方程。

【题组练习】

1、在平面直角坐标系中，已知双曲线上一点的横坐标为，则点到此双曲线的右焦点的距离为__________.

2、已知是椭圆的左、右焦点，平面内一个动点满足，则点的轨迹是 (   )  

A.双曲线           B.双曲线的一支     C.两条射线         D.一条射线

3、若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ）

A.       B.     C.          D.

4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线.则（     ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．

题型二: 椭圆的几何性质

例2、已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则.

【方法规律】熟悉a,b,c,e等字母的几何意义。

【题组练习】

1、双曲线的实轴长是（　　）

A.       B.      C.     D.

2、双曲线的焦点到渐近线的距离为_________

3、已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（     ）

A.      B.      C.      D.

4、【2020年高考北京】已知双曲线，则C的右焦点的坐标为______；

C的焦点到其渐近线的距离是_________．

5、【2020年高考浙江】已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数图象上的点，则|OP|=_______

6、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是_________

7、已知双曲线的离心率为，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______________，渐近线方程为___________.

题型三: 双曲线的综合应用

例3、【2020年高考天津】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（     ）

A．     B．    C．     D．

【方法规律】数形结合，综合基础知识的应用。

【题组练习】

1、已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则_________

2、已知双曲线的右焦点为.

（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；

（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率.

【课堂小结】本节课，你收获了什么？