2021高三数学第一轮复习 导学案 第57讲 曲线与方程（共2课时）

第五十七讲：曲线与方程（共2课时）

【核心考点】

1、了解曲线与方程之间的对应关系，熟练数形结合思想；

2、能熟练地运用直接法、定义法和代入法等求动点的轨迹方程。

【知识梳理】

求轨迹的常用方法有直接法，定义法，代入法等。

1、直接法：是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件直接翻译成的形式,然后进行等价变换，化简为。

2、定义法：从分析问题的特点入手，运用有关知识，导出动点所满足的几何条件符合某一基本轨迹或二次曲线的定义，从而利用曲线的定义或利用其方程的一般形式采用待定系数法求出动点的轨迹方程。

3、代入法：此法又称相关点法，其特点是，动点随某已知曲线上的点运动而运动，将已知曲线上的点的坐标用动点的坐标表示，并代入已知曲线方程化简得轨迹方程。

【典题分析】  

题型一:曲线与方程基本概念

例1、下列说法正确的是（    ）

A.过点且垂直于轴的直线的方程为；

B.到轴距离为的点的直线的方程为；

C.到两坐标轴的距离乘积等于的点的轨迹方程为；

D.的顶点，，，为的中点，则中线的方程为.

【方法规律】考察曲线与方程之间的对应关系。

【题组练习】

1、方程表的图形是（    ）

 两个点    四个点      两条直线        四条直线

2、(调研)如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”

是不正确的，那么下列命题正确的是（    ）

坐标满足方程的点都不在曲线上；

曲线上的点不都满足方程；

坐标满足方程的点有些在曲线上，有些不在曲线上；

至少有一个点不在曲线上，其坐标满足方程.

3、设曲线是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么的方程是

和

4、作出方程所表示的曲线.

题型二: 直接法求轨迹方程

例2、（全国新课标）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线 上，点满足，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）略.

【方法规律】直接设点，带入关系式。

【题组练习】

1、（）曲线是平面与两个定点和的距离的积等于常数 的点的轨迹.给出下列三个结论，正确的是_________

① 曲线过坐标原点；② 曲线关于坐标原点对称；

③若点在曲线上，则的面积大于.

2、抛物线上各点与焦点连线的中点的轨迹方程是_____________

3、圆C和圆D的半径都为1，|CD|=4。过动点P分别做圆C和圆D的切线PM，PN（M、N为切点），使得|PM|=|PN|。求动点P的轨迹。

题型三: 定义法求轨迹方程

例3、（1）已知中，、、所对的边分别为，且

成等差数列，，求顶点的轨迹方程.

（2）的顶点，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是            .

【方法规律】利用各种常见曲线的定义，写出轨迹方程。

【题组练习】

1、已知圆，圆，动圆与圆外切且与圆内切，则圆心的轨迹方程为              .

2、已知点，接于圆，且，当在圆上运动时，中点的轨迹方程是

题型四: 代入法求轨迹方程

例4、（高考）如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为上一点，且．

当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

略

【方法规律】也称相关点法：设相关点，设而不求，利用好已知的曲线的方程。

【题组练习】

1、 是椭圆上的任意一点，是它的两个焦点，是坐标原点，，则动点的轨迹方程是              .

2、设是椭圆长轴的两个端点，是垂直于的弦的端点，则直线与的交点的轨迹方程是              .

3、为定点，线段在定直线上滑动，已知，到的距离为，求的外心的轨迹方程.

【课堂小结】本节课，你收获了什么？