数学13.1.2 线段的垂直平分线的性质教学设计

13.1.2 线段的垂直平分线的作图

教学设计

一、               教学目标

1.掌握过直线外一点作已知直线的垂线和作线段的垂直平分线的尺规作图.

2.能够作出轴对称图形的对称轴.

二、               学情

在本节课前，学生刚刚学习了线段的垂直平分线，掌握了线段垂直平分线的定义、性质和判定；通过练习题，学生知道了如果两个点均在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可得该两点的连线就是线段的垂直平分线；对于轴对称图形，学生掌握了轴对称的性质是对称轴是任意一对对应点连线的线段垂直平分线；

对于尺规作图，学生学习过角平分线的作法，能够类比学习线段垂直平分线的尺规作图。

三、               重难点

1.重点：会作线段的垂直平分线和过一点作已知直线的垂线的尺规作图；

2.难点：理解线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线及轴对称图形的对称

轴的尺规作图原理.

四、               教学过程

环节一、复习回顾

学生回顾线段垂直平分线的定义、性质和判定.

1. 定义: 经过线段中点 并且垂直于这条线段的直线,叫

做这条线段的垂直平分线.

2. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这

条线段两端点的距离相等.

3.线段垂直平分线的判定：与一条线段两端点的距离相等

的点,在这条线段的垂直平分线上.

设计意图：通过知识回顾，让学生对线段垂直平分线的定义、性质和判定再次熟悉，同时引出本节课的内容：如何作出线段的垂直平分线呢？

环节二、探究

探究1. 尺规作图:作已知线段AB的垂直平分线.

作法:

(1)分别以点A和点B为圆心, 大于 的长为半径作

弧，两弧相交于C,D两点.

(2)作直线CD.  则CD就是所求作的直线.

根据课本上的提示，学生通过交流、讨论、展示，完成线段的垂直平分线的尺规作图.并解决以下两个问题：

（1）为什么要以大于的长为半径作弧？（这样两弧才能有交点）

（2）为什么直线CD就是线段AB的垂直平分线？（根据题意，点C、D均在线段AB的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线CD就是线段AB的垂直平分线）

学生解决问题后再次观看线段垂直平分线的尺规作图的小视频，熟悉尺规作图的步骤并和老师一起完成黑板上线段AB的垂直平分线的尺规作图，作图后，老师指出作出线段的垂直平分线时其实也找到了线段的中点.

设计意图：学生课下已经进行了预习，所以可以在本节课进行交流、讨论，充分发挥学生的主体性、小组的协作性.当学生完成线段的垂直平分线的尺规作图后，教师抛出两个问题，这样学生在解答问题后不仅知道如何作线段的垂直平分线，也知道为什么这样作了.这个环节充分体现了教师的主导作用.通过观看小视频和教师板书，让学生再次熟悉了线段垂直平分线的尺规作图，完成了本节课的重点突破.

探究2.尺规作图：经过直线外一点作已知直线的垂线．

已知: 直线AB和直线AB外一点C.

求作:AB的垂线,使它经过点C

作法:

(1)任意取一点K,使点K和点C在直线AB两旁.

(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交直线AB于点D和点E.

(3)分别以点D和点E为圆心, 大于 DE的长为半径画弧 ,两弧相交于点F.

(4)作直线CF ,则直线CF就是所求作的垂线.

同样，根据课本上的提示，学生通过交流、讨论、展示，完成过一点作已知直线的垂线的尺规作图.并解决下面这个问题：为什么直线CF垂直于直线AB？（通过以点C为圆心，CK的长为半径画弧，在直线AB上构造了以过点C的直线为垂直平分线的线段DE，作出线段DE的垂直平分线即所求垂线）

解决问题后，老师给出变式：

探究2.尺规作图：经过直线上一点作已知直线的垂线（变式）．

已知: 直线AB和直线AB上一点C.

求作:AB的垂线,使它经过点C

作法:

(1)以点C为圆心,任意长长为半径作弧,交直线AB于点D和点E.

(2)分别以点D和点E为圆心, 大于 DE的长为半径画弧 ,两弧相交于点F.

(3)作直线CF ,则直线CF就是所求作的垂线.

学生合作完成该变式，并回答以下问题：为什么直线CF垂直于直线AB？（在直线AB上构造了以所求垂线为垂直平分线的线段DE，作出DE的垂直平分线即可）

学生解决问题后，教师和学生共同完成点在线外和点在线上的尺规作图板书.

设计意图：学生充分合作、交流、展示，教师引导学生思考，并把问题进行延伸、比较，使学生对过一点作已知直线的垂线问题进行了深入理解，也使学生对垂直平分线的尺规作图运用有了初步体会.通过板书示范，使学生对这类问题的尺规作图再次熟悉，实现了本节课的第二个重点突破.

探究3.如图,请做出五角星的一条对称轴.

作法:

(1)找出一对对称点A和B .(在图上标出)

(2)作出对称点A和B所连线段的垂直平分线CD.

则直线CD就是所求作的直线.

学生通过尝试完成探究3，并解决问题：为什么直线CD就是五角星的一条对称轴？（根据对称轴的性质，对称轴是任意一对对称点连线的垂直平分线，找到图形中的一对对称点，找到对称点所连线段的垂直平分线即为一条对称轴）

回答问题，学生与老师共同完成黑板上五角星一条对称轴的尺规作图.

设计意图：学生在前两个探究的基础上，可以尝试对所学知识进行运用，实现知识的水平迁移，同时也完成了对轴对称图形性质的再次理解.

环节三、当堂检测

学生独立完成下面三个题目，教师请三位同学进行板书展示，师生共同点评.

1.如图，OA、OB是互相垂直的墙壁，墙角O处有一个老鼠洞，一只猫在A处发现B处一只老鼠正向洞口O处逃窜，若猫以与老鼠同样的速度去追捕这只老鼠，请在图中作出猫最快能截住老鼠的位置C点，并简要说明理由.

答：∵猫和老鼠的速度相同  

∴CA=CB    

∴C在AB的垂直平分线上

如图，作线段AB的垂直平分线DE

则DE与OB的交点即为所求点C

2.如图,点A、B、C分别表示三个居民区,为方便居民生活,现计划在到三个居民

区距离相等的地点修建一个菜市场.请帮忙找出菜市场的地点.

答：记菜市场的地点为O

则OA=OB=OC    

∴O为△ABC三边垂直平分线的交点

如图，作线段AB的垂直平分线

和线段AC的垂直平分线

两垂直平分线的交点即为所求点O

3.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，

BO表示公路）.现计划修建一个停车场C.请找出点C,使C到两条公路的距离

相等,且到两所大学距离相等.

答：∵C到两条公路的距离相等

∴C在∠AOB的角平分线上

∵C到两所大学的距离相等

∴C在线段MN的垂直平分线上

如图，作线段MN的垂直平分线

和∠AOB的角平分线

两线的交点即为所求点C

设计意图：学生通过三道练习题，能对所学知识学以致用，也提高线段垂直平分线的尺规作图的熟练度；通过学生板书，暴露作图中的问题，再通过师生共评，修正问题，使学生对规范作图有了直观的了解.

环节四、小结

    学生们畅所欲言，谈谈本节课的收获.

1.可用线段垂直平分线的尺规作图作以下图形:

（1）线段的垂直平分线；

（2）线段的中点；

（3）过一点作已知直线的垂线；

（4）轴对称图形的对称轴.

2.线段垂直平分线的尺规作图的应用

3. 在作图过程中用到了类比思想和转化思想

设计意图：及时总结是制胜的法宝，学生及时总结可以有效的防止遗忘，也可以清晰的梳理所学知识，完善自己的知识系统.

环节五、作业

课本P66第10.12题

设计意图：通过作业完成对本节课尺规作图的巩固提高.