2021年人教版数学中考常见题冲刺：几何图形提升训练

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2021年人教版数学中考常见题冲刺：
几何图形提升训练

一．选择题
1．如图，已知Rt△ABO的顶点A，B分别在x轴，y轴上，AB＝4，B（0，4），按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P，Q；②作直线PQ交x轴于点C，交y轴于点D，则点C的坐标为（　　）

A．（3，0） B．（﹣3，0） C． D．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
3．直角三角形纸片ABC的两条直角边BC，AC长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β．则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（　　）

A． B． C． D．1
6．如图，矩形ABCD由两直角边之比皆为1：2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成它们之间互不重叠也无缝隙，则的值为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），B两点，给出下列结论：
①k1＜k2；
②当x＜﹣1时，y1＜y2；
③当y1＞y2时，x＞1；
④当x＜0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题
8．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝126°，则∠BAC＝　 　°．

9．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，同长为半径画弧交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为　 　．

10．如图，把菱形ABCD沿折痕AH翻折，使B点落在边BC上的点E处，连接DE．若CD＝13，CE＝3，则ED＝　 　．

11．如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，∠DCE＝58°，则∠P的度数为　 　．

12．如图，已知在△ABC中，∠C＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B分别作⊙O的切线，两切线交于点P，若⊙O的半径为1，则△PAB的周长为　 　．

13．如图，把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得到△CDE，且AC＝2，那么AE＝　 　．

三．解答题
14．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点 F、G．
（1）证明：FA＝FG；
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．

15．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．

（1）用含m的代数式表示出S1和S2；
（2）比较S1和S2的大小，S1　 　S2（用“＞”“＜”或“＝”进行连接）；
（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．
16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径作⊙O交AC于点H，E为AC上一点，且AB＝AE，BE交⊙O于点D，OD交AC于点F．
（1）求证：DO⊥AC．
（2）若CE＝4，BC＝8，求DE的长．

17．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．

18．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为BC延长线上一点，以BD为直径作半圆O分别交AB，AC于点G，E，点E为的中点，过点E作⊙O的切线交AB于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠ABC．
（2）若sinA＝，FG＝1，求AC的长．

19．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．

21．如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝6，BC＝10．
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．


参考答案
一．选择题
1．解：连接BC，如图，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
在Rt△ABO中，OA＝＝＝8，
由作法得PQ垂直平分AB，
∴CA＝CB，
在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA﹣OC＝8﹣OC，
∵OC2+42＝（8﹣OC）2，
∴OC＝3，
∴C点坐标为（﹣3，0）．
故选：B．

2．解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CFO与△AOE中，，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴AO＝CO，
∵AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝5．
方法二：应连接EF得EF⊥AC 易证EF垂直平分AC 连接CE，得CE＝AE，
设CE＝AE＝x，EB＝8﹣x，BC＝4，利用勾股定理求得x＝5即可．
故选：C．

3．解：∵直角三角形纸片ABC的两条直角边BC，AC长分别为6，8，
∴AB＝＝10，
设CE＝x，则AE＝8﹣x，
∵△ABC如图折叠，使点A与点B重合，
∴BE＝AE＝8﹣x，
Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝，
Rt△BCE中，
tan∠CBE＝＝＝，
故选：A．
4．解：根据题意可知：
∠DCA＝90°，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
在Rt△ABC中，AC＝AB•sinα，
在Rt△ADC中，AC＝AD•sinβ，
∴AB•sinα＝AD•sinβ，
∴＝．
故选：D．
5．解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；

由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′＝∠MBA＝30°，
∴BM⊥AB′，且AM＝B′M；
由题意得：AB2＝4，
∴AB′＝AB＝2，AM＝1，
∴C′M＝AB′＝1；
由勾股定理得：BM＝＝＝，
∴C′B＝﹣1，
故选：C．
6．解：如图所示

设丙的短直角边为x，乙的短直角边为y，
则HG＝2x，DG＝2x+y，CG＝DG＝，
∵BF＝DH＝y，FG＝EH＝x，
∴CF＝2BF＝2y，CF＝CG+FG＝+x，
∴2y＝+x，
∴x＝y，
∵AB＝DC＝＝＝＝，AD＝＝＝y，
∴＝＝．
故选：C．
7．解：①正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），
∴k1＝2，k2＝2，k1＝k2，故①错误；
②由反比例函数的对称性可知，B点坐标为（﹣1，﹣2），
x＜﹣1时，一次函数图象在反比例图象下方，故②正确；
③y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞1，故③错误；
④k2＝2＞0，当x＜0时，y2随x的增大而减小，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
8．解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，
∵∠BIC＝126°，
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝54°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×54°＝108°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝72°．
故答案为：72．
9．解：如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO＝OE＝AE，BO＝OF＝3，
在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，
∴AE＝2OA＝8．
故答案是：8．

10．解：过E作EF⊥AD于F，如图：

∵菱形ABCD，CD＝13，
∴BC＝AD＝AB＝13，
∵CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝10，
∵菱形ABCD沿折痕AH翻折，使B点落在边BC上的点E处，
∴BH＝HE＝BE＝5，∠AEH＝∠AHE＝90°，
Rt△ABH中，AH＝＝12，
∵菱形ABCD，EF⊥AD，∠AHE＝90°，
∴四边形AHEF是矩形，
∴AF＝HE＝5，EF＝AH＝12，
∴DF＝AD﹣AF＝8，
Rt△EDF中，DE＝＝4，
故答案为：4．
11．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝90°，∠CEO＝90°，
∵∠DCE＝58°，
∴∠AOB＝360°﹣∠DCE﹣∠CDO﹣∠CEO＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°，
∴∠P＝∠AOB＝61°，
故答案为：61°．
12．解：过点A作直径AD，连接BD，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠C＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵⊙O的半径为1，
∴AD＝2，
∴AB＝AD•sin60°＝，
∵AP为切线，
∴∠DAP＝90°，∠PAB＝60°，
又∵AP＝BP，
∴△PAB为等边三角形，
∴△PAB的周长＝3AB＝3
故答案为：3．
13．解：∵把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝90°，AC＝CE，
∵AC＝2，
∴AE＝，
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
14．（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵＝，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∴FA＝FG．

（2）解：如图，连接AO、EO，
，
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴的弧长＝2π×（2×2）×＝π．
15．解：（1）S1＝（m﹣5）（m﹣1）
＝m2﹣m﹣5m+5
＝m2﹣6m+5；
S2＝（m﹣4）（m﹣2）
＝m2﹣2m﹣4m+8
＝m2﹣6m+8；
（2）∵S1﹣S2
＝m2﹣6m+5﹣（m2﹣6m+8）
＝m2﹣6m+5﹣m2+6m﹣8
＝﹣3＜0，
∴S1＜S2，
故答案为：＜．
（3）甲、乙两个长方形的周长之和为：2（m﹣1+m﹣5）+2（m﹣4+m﹣2）＝8m﹣24，
∴正方形的边长为：＝2m﹣6．
该正方形的面积为：（2m﹣6）2＝4m2﹣24m+36．
答：该正方形的面积为4m2﹣24m+36．
16．（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠OBD＝90°，
又∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEF，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠DEF＝90°，
即∠DFE＝90°，
∴DO⊥AC；

（2）解：设AB＝AE＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∵CE＝4，BC＝8，
∴（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DEF中，．
17．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∵∠FGA+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴＝，即＝，
∵△AFG∽△DFC，
∴＝，
∴＝，
在正方形ABCD中，∵DA＝DC，
∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3，
∴CG＝＝5，
∵∠CDG＝90°，
∴CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为．

18．（1）证明：连接OE，OG，EG，
∵点E为的中点，
∴＝，
∴∠DOE＝∠EOG，
又∵∠ABC＝∠DOG＝∠DOE，
∴OE∥AB，
又∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AB，
∴∠AEF+∠A＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∴∠AEF＝∠ABC；
（2）在Rt△AEF中，sinA＝，设EF＝2a，则AE＝3a，
∴AF＝＝a，
连接DE，
∵点E为的中点，
∴＝，
∴DE＝EG，
∵四边形BDEG是圆内接四边形，
∴∠EGF＝∠EDC，
又∵∠EFG＝∠ECD＝90°，
∴△EFG≌△ECD（AAS），
∴CD＝FG＝1，
∵∠AEF＝∠ABC，∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
即＝，
∴BC＝2a，
∴BD＝BC+CD＝2a+1
∴OB＝OD＝OE＝，
在Rt△COE中，OC＝OD﹣CD＝﹣1＝，
由EC2+OC2＝OE2得，
（2a）2+（）2＝（）2，
解得a＝，
∴AC＝5a＝．

19．（1）证明：连接OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连接AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．

20．（1）证明：∵AD∥BE，AE∥BD，
∴四边形EADB是平行四边形，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝∠DBA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD．
∴四边形EADB是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，
∴tan60°＝＝，
∴AC＝2，
∴S△ACB＝AC•BC＝×2×2＝2，
∵AE∥BC，
∴S△ECB＝S△ACB＝2．

21．解：（1）如图1中，

由折叠可知，∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．

（2）①设AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝＝﹣（x﹣5）2+，
∵﹣＜0（0＜x＜10），
∴x＝5时，DG有最大值，最大值为．

②如图2中，连接DH．

由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝10，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝10﹣EF＝10﹣AE，
∴CF＝＝＝8，
∴AE＝EF＝CE﹣CF＝10﹣8＝2，
∴DG＝＝＝，
∴EG＝＝＝，
由折叠可知，EG垂直平分线段DH，
∴DH＝2×＝2×＝．