2021年安徽省合肥市重点中学中考数学三模试卷

2021年安徽省合肥市重点中学中考数学三模试卷

一．选择题（满分40分，每小题4分）

1. 的相反数是（　　）

A． B． C． D．

2.下列各式计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

3.据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

4.下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（　　）

A． B． C． D．

5.某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．126，126 B．126，130 C．130，134 D．118，134

6.如果和的两边分别平行，那么和的关系是（　　）

A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补

7.下列关于二次函数（）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）

A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧 B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧 

C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧 D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧

8.如图，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高，则下列结论：

①；

②；

③；

④当时，四边形是正方形．

其中一定正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④

9.如图，矩形中，，，动点M满足：，则点M到点A、B的距离之和（）的最小值是（　　）

A． B． C．10 D．8

10.如图，矩形中，点E在BC上，且AE平分，，，则矩形的面积为（　　）

A． B．24 C． D．12

二．填空题（满分20分，每小题5分）

11.把多项式分解因式的结果是________．

12.如图，点A，B，C都在上，若，，则劣弧AC的长为________．

13.如图，反比例函数的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标________．

14.如图，已知在中，，，点D是边BC的中点，，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连接BE，那么线段BE的长为________．

三．解答题（共90分）

15.解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．

16.学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？

17.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；

（2）画出关于点O的中心对称图形；

（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．

18.观察下列等式：

①；

②；

③；

④；

⑤；

…

（1）请按以上规律写出第⑥个等式________；

（2）猜想并写出第n个等式________；并证明猜想的正确性．

（3）利用上述规律，计算：________．

19.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得，，．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．

参考数据：，，．

20.如图，在中，，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的交AB于点E，D为上一点，．

（1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形；

图1

（2）如图2，若，，求的值．

图2

21.在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．

（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为0的概率；

（2）若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．

22.某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由．

（2）为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）．

23.如图1，正方形和正方形，连接DG，BE．

图1

（1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是________；位置关系是________；

图2

（2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；

图3

（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若，且，，求线段DG的长．

2021年安徽省合肥市重点中学中考数学三模试卷

一．选择题（满分40分，每小题4分）

1.【考点】相反数．

【专题】实数；数感．

【答案】D

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

【解答】解：的相反数是：．

故选：D．

2.【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式；二次根式的加减法．

【专题】整式；二次根式；运算能力．

【答案】D

【分析】根据二次根式的加减，幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式逐个计算作出判断即可．

【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，因此选项A不符合题意；

B．，因此选项B不符合题意；

C．，因此选项C不符合题意；

D．，因此选项D符合题意；

故选：D．

3.【考点】科学记数法—表示较大的数．

【专题】实数；数感．

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解答】解：89 000 000这个数据用科学记数法表示为．

故选：C．

4.【考点】简单几何体的三视图．

【专题】投影与视图；几何直观．

【答案】B

【分析】根据主视图解答即可．

【解答】解：从正面看到的形状是圆的是球，

故选：B．

5.【考点】中位数；众数．

【专题】统计的应用；数据分析观念．

【答案】B

【分析】先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．

【解答】解：将这组数据重新排列为115，118，126，126，134，138，143，157，

所以这组数据的众数为126，中位数为，

故选：B．

6.【考点】平行线的性质．

【答案】D

【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．

【解答】解：如图知和的关系是相等或互补．

故选：D．

7.【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．

【答案】D

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：∵二次函数，

∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，

当时，，即该函数与x轴有两个交点，

当时，，

∴该函数与x轴两个交点，且它们位于y轴的右侧，故选项D正确，选项A、B、C错误；

故选：D．

8.【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．

【答案】B

【分析】①如果，则四边形是矩形，，不符合题意，所以①不正确．

②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，，；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．

③根据，判断出，，即可判断出成立，据此解答即可．

④首先判断出当时，四边形的四个角都是直角，四边形是矩形，然后根据，判断出四边形是正方形即可．

【解答】解：如果，则四边形是矩形，，不符合题意，

∴①不正确；

∵AD是的角平分线，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴③正确；

在和中，

，

∴，

∴，

又∵，

∴AO是EF的中垂线，

∴，

∴②正确；

∵当时，四边形的四个角都是直角，

∴四边形是矩形，

又∵，

∴四边形是正方形，

∴④正确．

综上，可得正确的是：②③④．

故选：B．

9.【考点】三角形的面积；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．

【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．

【答案】B

【分析】首先由，得出动点M在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即的最小值．

【解答】解：设中AB边上的高是h．

∵，

∴，

∴，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．

在中，∵，，

∴，

即的最小值为，

故选：B．

10.【考点】矩形的性质．

【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．

【答案】C

【分析】由矩形的性质得出，得出，由角平分线和等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，得出，即可得出结果．

【解答】解：∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵AE平分，，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴矩形面积；

故选：C．

二．填空题（满分20分，每小题5分）

11.【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】整式；运算能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】首先提公因式m，然后利用平方差公式即可分解．

【解答】解：

．

故答案是：．

12.【考点】圆周角定理；弧长的计算．

【专题】与圆有关的计算；推理能力．

【答案】π．

【分析】连接OA，OC．利用弧长公式计算即可．

【解答】解：连接OA，OC．

∵，

∴的长，

故答案为：π．

13.【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．

【专题】反比例函数及其应用；模型思想；应用意识．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据反比例函数的图象过点可求出k的值，再根据在第三象限图象内找出符合条件的点即可．

【解答】解：点（1，2）代入得，，

∴反比例函数的关系式为：，

∵第三象限内的点，，

∴当时，，

故答案为：满足的第三象限点均可，如

14.【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】证，得出，，由勾股定理得出，由折叠的性质得，，得出，作于F，则，，证，求出，即可得出答案．

【解答】解：如图所示：

∵，点D是边BC的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

由折叠的性质得：，，

∴，

作于F，则，，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴；

故答案为：．

三．解答题（共90分）

15.【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．

【答案】（数轴见解答部分）．

【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．

【解答】解：，

去括号，得，

移项、合并同类项，得，

系数化成1，得，

在数轴上表示不等式的解集为：

．

16.【考点】二元一次方程组的应用．

【专题】方程思想；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（）件，设购买两种奖品的总费用为w，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，

依题意，得：，

解得：．

答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件．

（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（）件，设购买两种奖品的总费用为w，

∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，

∴，

∴．

依题意，得：，

∵，

∴w随m值的增大而增大，

∴当学习购买600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元．

17.【考点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据平移的性质即可将向右平移6个单位长度得到；

（2）根据中心对称的定义即可画出关于点O的中心对称图形；

（3）根据旋转的性质即可将绕某一点旋转可得到，进而写出旋转中心的坐标．

【解答】解：（1）如图，即为所求；

（2）如图，即为所求；

（3）根据图形可知：

旋转中心的坐标为：．

18.【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．

【专题】规律型；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；

（2）根据发现的规律写出第n个等式并计算可进行验证；

（3）根据，，……可得，进而可得答案．

【解答】解：（1）；

（2）第n个等式：，

证明：∵，

∴；

（3）原式，

，

．

19.【考点】解直角三角形的应用．

【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．

【答案】160．

【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．

【解答】解：如图，过点A作，垂足为D，

在中，

∵，

∴，

设m，

在中，

∵，

∴，

又∵，

∴，

又∵，即，

∴，

解得，，

答：AB的长约为160m．

20.【考点】平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形．

【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）连接CE，则，证明，即可．

（2）连接DE，设，，则，求出CF，AC即可解决问题．

【解答】解：（1）连接CE，则，

图1

∴，

∵弧BD=弧BE，∴易证，∴，

∴，

又∵，∴，

∴四边形是平行四边形；

（2）连接DE，设，，则，

图2

∴，∴，

设DE交BC于点H，AD交BC于点F，

由（1）知，，

又，∴，

∴，

∵，∴，

∴，

∴．

21.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；列表法与树状图法．

【专题】概率及其应用；数据分析观念．

【答案】（1）；（2）小明获胜的概率大．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，比较即可得出答案．

【解答】解：（1）从甲袋摸出一个小球共有4种结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有3、4这两种结果，

∴小球上的数字使代数式的值为0的概率为；

（2）列表如下，

由表知共有12种等可能结果，其中m，n都是方程的解为（3，4）、（4，3）、（3，3）、（4，4）这4种结果，m，n都不是方程的解的结果有（2，5）、（5，5）这2种，

∴小明获胜的概率大．

22.【考点】二次函数的应用．

【专题】其他问题；数形结合；待定系数法；一次方程（组）及应用；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；几何直观；运算能力；应用意识．

【答案】（1）这个装饰物的高度为．

（2）直线型喷水头最高喷射高度为米．

【分析】（1）由题意可写出当时，抛物线的顶点式解析式，用待定系数法求得其解析式，令，求得y值，则可得这个装饰物的高度．

（2）根据抛物线的顶点式解析式，由二次函数的性质可得答案．

【解答】解：（1）由题意可得，当时，抛物线的解析式为，

把代入得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为，

令，得，

∴这个装饰物的高度为．

（2）∵当时，抛物线的对称轴为，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，

∴当时，可达到最高喷射高度，

当时，．

∴直线型喷水头最高喷射高度为米．

23.【考点】四边形综合题．

【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．

【答案】（1），，理由见解析；

（2），，理由见解析；

（3）4．

【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论；

（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论；

（3）先求出BE，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出BE的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论．

【解答】解：（1），，理由如下：

∵四边形和四边形是正方形，

∴，，，

∴，

∴，

∴；

如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：，；

（2），，理由如下：

如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，

∵四边形与四边形AEFG都为矩形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）

设EG与AD的交点为M，

∵，

∴，

在中，，

∴，

根据勾股定理得：，

∵，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，

∴，

在中，根据勾股定理得，，

由（2）知，，

∴，

即，

∴．