2023年安徽省合肥市蜀山区重点中学中考数学三模试卷

2023年安徽省合肥市蜀山区重点中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  据悉，截至年底，中国高铁营运里程约为米，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如果，那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示，几何体的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

7.  如图，，，、分别为、的角平分线，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，点、分别在的边、上，若：：，点在上，：：，连接并延长交于点，则：等于(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

9.  已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且平行于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若函数的最大值与最小值的差不大于，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，的中点是，连接，，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  在实数范围内分解因式：______．

12.  在学校数学课外活动竞赛中，某班名学生参赛成绩分别为：，，，，，则这名学生的参赛成绩的平均数为______ ，方差 ______ ．

13.  如图，点、、在半径为的上，的长为，则的大小是______．

 

14.  如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到、的距离分别记为，，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
观察下列等式：
第个等式：，第个等式，第个等式：，第个等式：，按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______．
写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明．

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
将先向右平移个单位长度、再向下平移个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
以点为位似中心将放大倍，得到，画出并写出点的坐标．

18.  本小题分
合肥地铁一号线与地铁二号线在站交汇，且两条地铁线互相垂直如图所示，学校到地铁一号线站的距离，到地铁二号线站的距离为，与一号线的夹角为，与二号线的夹角为求学校到站的距离结果保留根号

19.  本小题分
如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、．
求、、的值；
求的面积；
若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由．

 

20.  本小题分
如图，四边形中，，点在上，以为圆心的圆恰好经过、、三点，交于，交于，且，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，求的度数．
 

21.  本小题分
“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩得分均为整数进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

本次比赛参赛选手共有______人，扇形统计图中“”这一组人数占总参赛人数的百分比为______；
赛前规定，成绩由高到低前的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为分，试判断他能否获奖，并说明理由；
成绩前四名是名男生和名女生，若从他们中任选人作为获奖代表发言，试求恰好选中男女的概率．

22.  本小题分
某超市经销、两种商品商品每千克成本为元，经试销发现，该种商品每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：

商品的成本为元千克，销售单价为元千克，但每天供货总量只有千克，且能当天销售完为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买千克的商品，免费送千克的商品．
求千克与元千克之间的函数表达式；
设这两种商品的每天销售总利润为元，求出元与的函数关系式；
若商品的售价不低于成本，不高于成本的，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？总利润两种商品的销售总额两种商品的成本

23.  本小题分
已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．

如图，若．
求证：；
连接，求证：．
如图，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母表示有理数，则数的绝对值要由字母本身的取值来确定：当是正数时，的绝对值是它本身；当是负数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，计算错误，故本选项错误；
B、，计算错误，故本选项错误；
C、，计算正确，故本选项正确；
D、，计算错误，故本选项错误．
故选C．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式的运算法则结合选项求解．
本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式等知识，掌握各知识点的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法可表示为，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】
解：原式

，
当时，原式．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：．
根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作平行线．
过作，过作，根据平行线的性质得到，再根据角平分线定义及垂直的定义得到，根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义得到，即可得解．
【解答】
解：如图所示，过作，过作，

，
，
，，
，
又，，分别为，的角平分线，
，
，
，
，，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，作交于．

，
：：：，
可以假设，则，
，
：：：，
，
，
：：：，
故选：．
如图，作交于利用平行线分线段成本定理定理即可解决问题．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，当等于时，

，
顶点坐标为，
当时，，
，
当时，，
，
当时，
，
此时最大值为，最小值为；
如图所示，当时，

此时最小值为，最大值为．
综上所述：，
故选：．
找到最大值和最小值差刚好等于的时刻，则的范围可知．
此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为的的值为解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长交于点，延长交于点，

在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，
，
点，，，四点到的中点的距离相等，
点，，，四点在以斜边为直径的圆上，
平分，
，
，故选项C正确，
点是的中点，
，
又，
，
点是线段的中点，
，
，
，，
，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
故选项D正确，
，
故选项B正确，
综上，由已知条件不能证出，故选项A的结论不正确．
故选：．
根据题意作出图形，可知点，，，四点共圆，再结合点是中点，可得，又，，可得≌，可得，延长交于点，可得是的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，得到角之间的关系，可得．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆周角定理，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】   

【解析】解：名学生的参赛成绩的平均数为：，
名学生的参赛成绩的方差为：．
故答案为：，．
根据平均数以及方差的计算公式计算即可．
本题考查了算术平均数以及方差，熟记公式是解题的关键．用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用来表示，计算公式是：可简单记忆为“方差等于差方的平均数”．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，同时考查了圆周角定理．
连结、先由的长为，利用弧长计算公式求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到．
【解答】
解：连结、设．

的长为，
，
，
，
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：如图，当点在矩形内，
过点作交于点，交于点，
则四边形是矩形，

，
，
，
，，
由折叠可知：，，
，
设，
由折叠可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得；
如图，当点在矩形外，
过点作交于点，交于点，
则四边形是矩形，

，
，
，
，，
由折叠可知：，，
，
设，
由折叠可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
根据题意分两种情况画图：如图，当点在矩形内，过点作交于点，交于点，如图，当点在矩形外，过点作交于点，交于点，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题．
本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】 ， 

【解析】解：第个等式：，第个等式，第个等式：，第个等式：，
第个等式：，
故答案为，
第个等式：，
证明：左边右边，
，
故答案为：．
通过观察容易写出第个式子；
通过观察发现分子第一项比第二项大，因此容易写出第个式子．
本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，或． 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
延长到使或反向延长到使，从而得到的坐标．
本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．也考查了旋转变换．
 

18.【答案】解：过点作于点，过点作于点，
，，
，
，，
，
由勾股定理可知：，
易证：四边形是矩形，
，
由勾股定理可知： 

【解析】过点作于点，过点作于点，根据含度的直角三角形的性质可求出、的长度，然后根据勾股定理即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含度的直角三角形的性质，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：反比例函数与一次函数的图象交于点、，
，，
解，解得；
，，
由知一次函数的图象与轴的交点坐标为，

；
反比例函数的图象位于一、三象限，
在每个象限内，随的增大而减小，
，，
，在不同的象限，
在第三象限，在第一象限． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
先把点坐标代入可求得，则可得到反比例函数解析式，再把代入反比例函数求得，得到点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；
由知一次函数的图象与轴的交点坐标为，可求；
根据反比例函数的性质即可得到结果．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
四边形是菱形；．

，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】

【分析】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，菱形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，属于中考常考题型．
先根据圆的性质得：，由平行线的性质得：，根据直径和等式的性质得，则，即可得出结论；
设，则，根据，列方程求出的值即可解决问题．  

21.【答案】解：，；
他不能获奖．理由如下：
他的成绩位于“”之间，
而“”和“”两分数段的百分比和为，
因为成绩由高到低前的参赛选手获奖，他位于后，
所以他不能获奖；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中恰好选中男女的结果数为，
所以恰好选中男女的概率． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了扇形统计图，频数分布直方图．
用“”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“”这一组人数占总参赛人数的百分比，然后用分别减去其他三组的百分比得到“”这一组人数占总参赛人数的百分比；
利用“”和“”两分数段的百分比为可判断他不能获奖；
画树状图展示所有等可能的结果数，再找出恰好选中男女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：，
所以本次比赛参赛选手共有人，
“”这一组人数占总参赛人数的百分比为，
所以“”这一组人数占总参赛人数的百分比为；
故答案为：，；
见答案；
见答案．  

22.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，
解得：，
与之间的函数表达式为；
由，得，
由，得，
．

；
，
由题意知，
，
，
时，随的增大而增大，
时，的最大值，
答：当销售单价定为元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
利用每件的利润销售量免费送的成本总利润，即可求出元与的函数关系式；
先根据已知求出的取值范围，再将的解析式化为配方式，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：在矩形中，
．
．
，

．
，
，
．
，
，
即．
如图，延长，交于点．
在矩形中，
．
．
在和中，
，
≌．
．
中，
．
，
．
．

在矩形中，
，
，
，
，
，
，
，
，
且，
∽，
，
且，，
，
．
，
设，
则．
解得或舍．
．
故答案为：． 

【解析】根据图形特征及已知证得，再由，的值，推导，从而得到；
延长，交于点，由全等三角形推得是的中点，在中，，再由即可得出结论；
根据条件推出∽，得到由及建立关于的方程，求解的值即可．
本题综合考查了解直角三角形、矩形的性质、相似三角形、实数的运算等知识，综合性较强，灵活运用知识才能很好解决问题．