2023年安徽省合肥市瑶海区部分学校中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年安徽省合肥市瑶海区部分学校中考数学三模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. 2
2. 下列式子中是完全平方式的是( )
A. a2+ab+b2B. a2+2a+2C. a2−2b+b2D. a2+2a+1
3. 长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是( )
A. 25.1×10−6米B. 2.51×10−5米C. 2.51×105米D. 0.251×10−4米
4. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，则该三角形的周长为( )
A. 14B. 12C. 12或14D. 以上都不对
5. 某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数表达式为( )
A. ．I=6RB. I=−6RC. I=3RD. I=2R
6. 动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3，现年25岁到这种动物活到30岁的概率是( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
7. 若分式1x2−2x+m不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是( )
A. m≥1B. m>1C. m≤1D. m≠1
8. 如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )
A. 2 3
B. 2 6
C. 3
D. 6
9. 如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点(P与A、B不重合)，连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，则EF等于( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=a+b+cx在同一坐标内的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 分解因式：2x2−12x+18= ．
12. 如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连结AE、AC、CE，则△AEC的面积是______ cm2．
13. 若|x|+3=|x−3|，则x的取值范围是______．
14. 如图，点A、B是双曲线y=3x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：2sin60°−3tan30°+(13)0+(−1)2024．
16. (本小题8.0分)
如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC=______，BC=______；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
17. (本小题8.0分)
某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格．
18. (本小题8.0分)
已知一次函数y=x+2与反比例函数y=kx，其中一次函数y=x+2的图象经过点P(k,5)．
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．
19. (本小题10.0分)
如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10 2海里．
求：(1)军舰N在雷达站P的什么方向？
(2)两军舰M、N的距离.(结果保留根号)
20. (本小题10.0分)
青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图：
请你根据给出的图表回答：
(1)填写频率分布表中未完成部分的数据；
(2)在这个问题中，总体是______ ，样本容量是______ ．
(3)请你用样本估计总体，可以得到哪些信息？(写一条即可) ______ ．
21. (本小题12.0分)
建华小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元．
(1)该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
(2)若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？
(3)已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在(2)的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．
(1)求证：△ABD∽△CED．
(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长．
23. (本小题14.0分)
如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上.动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．
(1)当CD=1时，求点E的坐标；
(2)如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：A．
根据相反数的定义“只有符号不相同的两个数互为相反数”即可得答案．
本题考查了相反数的定义，熟记相反数的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：符合的只有a2+2a+1．
故选：D．
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.看哪个式子整理后符合即可．
本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的2倍．
3.【答案】B
【解析】解：25100纳米=2.51×104×10−9米=2.51×10−5米，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：∵x2−12x+35=0，
∴x=5或x=7，
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形，
当x=5时，3+4>5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12．
故选B．
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系．
求得方程的两根，根据三角形的三边关系，排除不合题意的解，进而求得三角形周长即可．
5.【答案】A
【解析】解：设I=kR，那么点(3,2)适合这个函数解析式，则k=3×2=6，
∴I=6R．
故选：A．
可设I=kR，由于点(3,2)适合这个函数解析式，则可求得k的值．
此题主要考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点的坐标必能满足解析式．
6.【答案】D
【解析】解：设共有这种动物x只，则活到25岁的只数为0.5x，活到30岁的只数为0.3x，
故现年25岁到这种动物活到30岁的概率为%．
故选：D．
先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把25岁时的动物只数看成单位1．
7.【答案】B
【解析】解：∵不论x取任何数分式总有意义，
∴x2−2x+m≠0，
∴方程x2−2x+m=0无解，
∴Δ=4−4m<0，
解得：m>1，
故选：B．
根据不论x取任何数分式总有意义，可得x2−2x+m≠0，则方程x2−2x+m=0无解，根据根的判别式即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握分式分母不能为0，以及根据一元二次方程根的情况求判别式．
8.【答案】A
【解析】解：设BE与AC交于点F(P′)，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2 3．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2 3．
故所求最小值为2 3．
故选：A．
由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
9.【答案】C
【解析】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，AB=10，
∴AE=PE，PF=BF，
∴EF是△APB的中位线，
∴EF=12AB=12×10=5．
故选：C．
先根据垂径定理得出AE=PE，PF=BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出结论．
本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a>0，
∵对称轴为直线x=−b2a>0，
∴b<0，
∵当x=1时y=a+b+c<0，
∴y=bx+a的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，
反比例函数y=a+b+cx图象在第二、四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
11.【答案】2(x−3)2
【解析】解：2x2−12x+18，
=2(x2−6x+9)，
=2(x−3)2．
故答案为：2(x−3)2．
先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：如图，图形补全成矩形HFCD，设正方形GBFE的边长为x，则
S矩形HFCD=4(x+4)，S△EFC=12x(x+4)、S△ACD=12×4×4、S△AHE=12x(4−x)，
∵△AEC的面积=S矩形HFCD−S△EFC−S△ACD−S△AHE
=4(x+4)−12x(x+4)−12×4×4−12x(4−x)
=4x+8−12x(x+4+4−x)
=8cm2．
故答案为：8．
把图形补全成矩形，设正方形GBFE的边长为x，求出矩形HFCD的面积等于4(x+4)，再求出△EFC、△ACD、△AHE的面积分别为12x(x+4)、12×4×4、12x(4−x)，△AEC的面积等于矩形HFCD的面积减去△EFC、△ACD、△AHE的面积，整理即可．
本题考查了正方形的性质和三角形的面积，补全图形是解题的关键，同学们容易在整式的运算中出错，计算时一定要仔细．
13.【答案】x≤0
【解析】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3=x−3，无解；
②当0≤x<3时，原式可化为：x+3=3−x，此时x=0；
③当x<0时，原式可化为：−x+3=3−x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．
14.【答案】4
【解析】解：由题意可得，S1+S2=2|k|−2S阴影=2×3−2×1=4，
故答案为：4．
根据反比例函数k的几何意义，即可得到答案．
本题考查反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的点作坐标轴垂线围成图象面积等于k的绝对值．
15.【答案】解：2sin60°−3tan30°+(13)0+(−1)2024
=2× 32−3× 33+1+1
= 3− 3+1+1
=2．
【解析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂和乘方运算法则，进行计算即可．
本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和乘方运算法则，准确计算．
16.【答案】(1)135°；2 2 ；
(2) △ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2 2，FE=2，DE= 2，
∴ABDE=2 2= 2，BCFE=2 22= 2，
∴ABDE=BCFE，
∴△ABC∽△DEF．
【解析】
【分析】
此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
(1)根据已知条件，结合正方形网格的特征可以求出∠ABC的度数，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
(2)根据相似三角形的判定定理，对应边成比例且夹角相等即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】
(1)解：∠ABC=90°+45°=135°，
BC= 22+22= 8=2 2；
故答案为135°；2 2 ；
(2)见答案．
17.【答案】解：设该市去年每立方米水费是x元，小明家去年12月份的用水量是y立方米．
根据题意，得
xy=18 ①(1+25%)x⋅(y+6)=36 ②，
把①代入②，得
x=1.8y=10．
则(1+25%)×1.8=2.25(元/立方米)．
答：该市今年居民用水的价格是2.25元/.立方米
【解析】设该市去年每立方米水费是x元，小明家去年12月份的用水量是y立方米．根据小明家去年12月份的水费是18元，得方程xy=18；根据今年5月份的水费是36元，得方程(1+25%)x⋅(y+6)=36.联立解方程组．
根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．注意：每月的水费=用水量×每立方米水的价格；能够熟练运用代入消元法解方程组．
18.【答案】解：(1)一次函数y=x+2的图象经过点P(k,5)，
∴5=k+2，
∴k=3，
∴反比例函数的表达式为y=3x．
(2)由y=x+2y=3x消去，得x2+2x−3=0，
即(x+3)(x−1)=0，
∴x=−3或x=1，
可得y=−1或y=3，
于是x=−3y=−1或x=1y=3；
∵点Q在第三象限，
∴点Q的坐标为(−3,−1)．
【解析】(1)一次函数y=x+2的图象经过点P(k,5)，所以x=k，y=5是y=x+2的解，代入可求k值，既而确定反比例函数的表达式；
(2)点Q是交点，则其坐标是y=x+2y=3x的解即求点Q的坐标．
本题考查了反比例函数的综合应用，能够熟练运用待定系数法求得函数解析式是解决此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，
∵∠OPM=60°，PM=20海里，
∴∠OMP=30°，
∴OP=10海里，
∴PN=10 2海里，
∴cs∠OPN=OPPN=1010 2= 22，
∴∠OPN=45°，
∴军舰N在雷达站P的东南方向(5分)
(2)∵Rt△OPM中，PM=20海里，OP=10海里，
∴OM= PM2−OP2= 202−102=10 3，
∵∠OPN=45°，
∴ON=OP=10海里，
∴MN=10 3−10(海里).(10分)
【解析】(1)根据题意画出图形，作出辅助线，由直角三角形的性质求出OD的长，再根据特殊角的三角函数值得出∠ONP的度数，由直角三角形的性质即可得出结论；
(2)在Rt△OPM中，先根据勾股定理求出OM的长，在Rt△ONP中求出ON的长，进而可得出MN的长．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
20.【答案】初中毕业年级500名学生的视力情况 50 该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人
【解析】解：(1)∵2÷0.04=50，25÷50=0.5，1−0.04−0.12−0.5−0.04=0.3，0.3×50=15，
∴第二列从上至下两空分别填15、50；第三列从上至下两空分别填0.5、0.3；
(2)在这个问题中，总体是初中毕业年级500名学生的视力情况，样本容量是50；
(3)该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人．
故答案为：初中毕业年级500名学生的视力情况，50，该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人．
(1)本题需先根据视力在3.95～4.25段的频数是2，频率是0.04，得出数据总数，再由第三组的频数是25，计算出它的频率，然后根据频率总计是1.00，所以能求出在4.85～5.15的频率和频数，即可求出答案．
(2)本题根据已知条件得出总体，再结合图形即可求出样本容量．
(3)本题需先根据所给的数据和图形，即可任意写出一条信息符合条件即可．
本题考查频数(率)分布直方图的能力和频数(率)分布表获取信息的能力；利用这些图形式，必须认真观察、分析、研究分布表才能作出正确的判断和解决问题．
21.【答案】解：(1)设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，由题意得：
x+y=0.53x+2y=1.1，
解得x=0.1y=0.4，
答：新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；
﹙2﹚设新建m个地上停车位，则：
10<0.1m+0.4(50−m)≤11，
解得30≤m<1003，
因为m为整数，所以m=30或m=31或m=32或m=33，
对应的50−m=20或50−m=19或50−m=18或50−m=17，
答：有4种建造方案；
﹙3﹚当地上停车位=30时，地下=20，30×100+20×300=9000.用掉3600，剩余9000−3600=5400.因为修建一个地上停车位的费用是1000，一个地下是4000.5400不能凑成整数，所以不符合题意．
同理得：当地上停车位=31，33时．均不能凑成整数．
当算到地上停车位=32时，地下停车位=18，
则32×100+18×300=8600，8600−3600=5000．
此时可凑成修建1个地上停车场和一个地下停车位，1000+4000=5000．
所以答案是32和18．
答：建造方案是建造32个地上停车位，18个地下停车位．
【解析】(1)设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，根据已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元，可列出方程组求解．
(2)设新建m个地上停车位，根据小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，可列出不等式求解．
(3)根据第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，可写出方案．
本题考查理解题意的能力，根据建造地上车位和地下车位个数的不同、花费的钱数不同做为等量关系列出方程求解，根据投入的资金列出不等量关系，根据该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，找到方案．
22.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
(2)解：作BM⊥AC于点M，AC=AB=6，在Rt△ABM中
∴AM=CM=3，BM=AB⋅sin60°=3 3；
∵AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，MD=1；
在Rt△BDM中，BD= BM2+MD2=2 7；
由(1)△ABD∽△CED得，BDED=ADCD，2 7ED=2，
∴ED= 7，
∴BE=BD+ED=3 7．
【解析】(1)由于△ABC是等边三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；
(2)由于△ABC是等边三角形，则AC=BC=6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM=MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据(1)的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE=BD+DE求出BE的长．
此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质；(2)题中能够正确的构建出直角三角形求出BD的长是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)正方形OABC中，
∵ED⊥OD，即∠ODE=90°
∴∠CDO+∠EDB=90°，
即∠COD=90°−∠CDO，而∠EDB=90°−∠CDO，
∴∠COD=∠EDB
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△CDO∽△BED，
∴CDBE=COBD，
即1BE=44−1，
得BE=34，
则：AE=4−34=134
因此点E的坐标为(4,134).
(2)存在S的最大值．
由△CDO∽△BED，
∴CDBE=CODB，
即tBE=44−t，BE=t−14t2，S=12×4×(4+t−14t2)=−12(t−2)2+10．
故当t=2时，S有最大值10．
【解析】(1)求点E的坐标就是求AE的长(E的横坐标就是正方形的边长)，要先求出BE的长，可根据相似三角形OCD和DBE得出关于OC，CD，BD，BE的比例关系式，然后根据正方形的边长和CD的长，来求出BE的长，也就求出AE的长，那么就可得出E的坐标．
(2)求梯形COEB的面积，关键是求BE的长，方法同(1)只不过将CD=1换成了CD=t，求出BE的表达式后，那么可根据梯形的面积公式，即可得出关于S，t的二次函数式，然后根据函数的性质即可得出函数的最大值即S的最大值以及对应的t的值．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，根据相似三角形得出相关线段成比例来求线段的长或表达式是解题的基本思路．
分组
频数
频率
3.95～4.25
2
0.04
4.25～4.55
6
0.12
4.55～4.85
25
4.85～5.15
5.15～5.45
2
0.04
合计
1.00