2021年安徽省合肥市重点中学中考数学三模试卷

这是一份2021年安徽省合肥市重点中学中考数学三模试卷，共26页。

2021年安徽省合肥市重点中学中考数学三模试卷
一．选择题（满分40分，每小题4分）
1．（4分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．＝1 B．a6÷a2＝a3
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣x2）3＝﹣x6
3．（4分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．8.9×106 B．8.9×105 C．8.9×107 D．8.9×108
4．（4分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．126，126 B．126，130 C．130，134 D．118，134
6．（4分）如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）
A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补
7．（4分）下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）
A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧
B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧
C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧
D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧
8．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF＝AF+DE；
④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点M满足：S矩形ABCD＝3S△MAB，则点M到点A、B的距离之和（MA+MB）的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．8
10．（4分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．24 C．12 D．12
二．填空题（满分20分，每小题5分）
11．（5分）把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是　 　．
12．（5分）如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为　 　．

13．（5分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标　 　．

14．（5分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连接BE，那么线段BE的长为　 　．

三．解答题
15．（8分）解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（8分）学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？
四．解答题
17．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

18．（8分）观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
⑤；
…
（1）请按以上规律写出第⑥个等式　 　；
（2）猜想并写出第n个等式　 　；并证明猜想的正确性．
（3）利用上述规律，计算：＝　 　．
五．解答题
19．（10分）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．

20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，D为⊙O上一点，＝．
（1）如图1，若AE＝BE，求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）如图2，若OB＝OC，BE＝2AE，求tan∠CAD的值．

六．解答题
21．（12分）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的概率；
（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
七．解答题
22．（12分）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由．
（2）为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）．

八．解答题
23．（14分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是　 　；位置关系是　 　；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．

2021年安徽省合肥市重点中学中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（满分40分，每小题4分）
1．（4分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：D．
2．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．＝1 B．a6÷a2＝a3
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣x2）3＝﹣x6
【分析】根据二次根式的加减，幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式逐个计算作出判断即可．
【解答】解：A． 与不是同类二次根式，不能合并，因此选项A不符合题意；
B． a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项B不符合题意；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，因此选项C不符合题意；
D．（﹣x2）3＝﹣x2×3＝﹣x6，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．（4分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．8.9×106 B．8.9×105 C．8.9×107 D．8.9×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：89 000 000这个数据用科学记数法表示为8.9×107．
故选：C．
4．（4分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图解答即可．
【解答】解：从正面看到的形状是圆的是球，
故选：B．
5．（4分）某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．126，126 B．126，130 C．130，134 D．118，134
【分析】先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为115，118，126，126，134，138，143，157，
所以这组数据的众数为126，中位数为＝130，
故选：B．
6．（4分）如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）
A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．
【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．

故选：D．
7．（4分）下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）
A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧
B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧
C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧
D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a＞1），
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
当y＝0时，△＝（﹣2a）2﹣4a×1＝4a2﹣4a＝（2a﹣1）2﹣1＞0，即该函数与x轴有两个交点，
当x＝0时，y＝1＞0，
∴该函数与x轴两个交点，且它们位于y轴的右侧，故选项D正确，选项A、B、C错误；
故选：D．
8．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF＝AF+DE；
④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE＝AF，DE＝DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．
③根据△AED≌△AFD，判断出AE＝AF，DE＝DF，即可判断出AE+DF＝AF+DE成立，据此解答即可．
④首先判断出当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE＝DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．
【解答】解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．
9．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点M满足：S矩形ABCD＝3S△MAB，则点M到点A、B的距离之和（MA+MB）的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．8
【分析】首先由S矩形ABCD＝3S△MAB，得出动点M在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即MA+MB的最小值．
【解答】解：设△ABM中AB边上的高是h．
∵3S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝4，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝8，AE＝4+4＝8，
∴BE＝＝8，
即PA+PB的最小值为8，
故选：B．

10．（4分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．24 C．12 D．12
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，得出∠BAC+∠BCA＝90°，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，求出∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，由直角三角形的性质得出AE＝CE＝2BE＝4，得出BC＝BE+CE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
二．填空题（满分20分，每小题5分）
11．（5分）把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是　4a（b+2c）（b﹣2c）　．
【分析】首先提公因式m，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：4ab2﹣16ac2
＝4a（b2﹣4c2）
＝4a（b+2c）（b﹣2c）．
故答案是：4a（b+2c）（b﹣2c）．
12．（5分）如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为　π　．

【分析】连接OA，OC．利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA，OC．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
13．（5分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标　满足y＝的第三象限点均可，如（﹣2，﹣1）　．

【分析】根据反比例函数的图象过点A（1，2）可求出k的值，再根据在第三象限图象内找出符合条件的点即可．
【解答】解：点（1，2）代入得，k＝2，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
∵第三象限内的点x＜0，y＜0，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，
故答案为：满足y＝的第三象限点均可，如（﹣2，﹣1）
14．（5分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连接BE，那么线段BE的长为　　．

【分析】证△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2，AC＝，由勾股定理得出AD＝，由折叠的性质得ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，得出BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，证△BDF∽△DAC，求出BF＝，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵BC＝2，点D是边BC的中点，
∴BD＝CD＝1，
∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴AC：CD＝BC：AC，
∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，
∴AC＝，
∴AD＝＝＝，
由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，
∴BD＝ED，
作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，
∴∠BDF+∠ADC＝×180°＝90°，
∵∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠BDF＝∠DAC，
又∵∠DFB＝∠C＝90°，
∴△BDF∽△DAC，
∴＝，即＝，
∴BF＝，
∴BE＝2BF＝；
故答案为：．

三．解答题
15．（8分）解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：3（x+1）≤5x+7，
去括号，得3x+3≤5x+7，
移项、合并同类项，得﹣2x≤4，
系数化成1，得x≥﹣2，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
16．（8分）学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴1800﹣m≤2m，
∴m≥600．
依题意，得：w＝40m+30（1800﹣m）＝10m+54000，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学习购买600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元．
四．解答题
17．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
18．（8分）观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
⑤；
…
（1）请按以上规律写出第⑥个等式　＝1+6　；
（2）猜想并写出第n个等式　＝1+n　；并证明猜想的正确性．
（3）利用上述规律，计算：＝　2039190　．
【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；
（2）根据发现的规律写出第n个等式并计算可进行验证；
（3）根据＝1+1﹣1＝1，＝1+2﹣1＝2，……可得1+2+3+4……+2019，进而可得答案．
【解答】解：（1）；
（2）第n个等式：，
证明：∵＝＝＝1+n，
∴；
（3）原式＝1+1﹣1+1+2﹣1+1+3﹣1+……+1+2019﹣1，
＝1+2+3+……+2019，
＝2039190．
五．解答题
19．（10分）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．

【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，
∵∠ACB＝45°，
∴AD＝CD，
设AB＝xm，
在Rt△ADB中，
∵sin∠ABC＝，
∴AD＝AB•sin58°≈0.85x，
又∵cos∠ABC＝，
∴BD＝AB•cos58°≈0.53x，
又∵BC＝221m，即CD+BD＝221m，
∴0.85x+0.53x＝221，
解得，x≈160，
答：AB的长约为160m．

20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，D为⊙O上一点，＝．
（1）如图1，若AE＝BE，求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）如图2，若OB＝OC，BE＝2AE，求tan∠CAD的值．

【分析】（1）连接CE，则CE＝BE，证明AE∥CD，AE＝CD即可．
（2）连接DE，设AE＝2，BE＝4，则AE2＝AE•AB＝2×6＝12，求出CF，AC即可解决问题．
【解答】解：（1）连接CE，则CE＝BE，

∴∠ECB＝∠B，
∵弧BD＝弧BE，∴易证∠BCD＝∠ECB，∴∠BCD＝∠B，
∴AB∥CD，
又∵CD＝CE＝AE，∴AECD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）连接DE，设AE＝2，BE＝4，则AE2＝AE•AB＝2×6＝12，

∴AC＝，∴BC＝，
设DE交BC于点H，AD交BC于点F，
由（1）知DE⊥BC，DH＝EH，
又，∴BH＝，
∴CH＝，
∵EH＝DH，∴，
∴CF＝，
∴tan∠CAD＝．
六．解答题
21．（12分）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的概率；
（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）从甲袋摸出一个小球共有4种结果，其中小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的有3、4这两种结果，
∴小球上的数字使代数式x2﹣7x+12的值为0的概率为＝；

（2）列表如下，

2
3
4
5
3
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
4
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
5
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
由表知共有12种等可能结果，其中m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解为（3，4）、（4，3）、（3，3）、（4，4）这4种结果，m，n都不是方程x2﹣7x+12＝0的解的结果有（2，5）、（5，5）这2种，
∴小明获胜的概率大．
七．解答题
22．（12分）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由．
（2）为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）．

【分析】（1）由题意可写出当x＞0时，抛物线的顶点式解析式，用待定系数法求得其解析式，令x＝0，求得y值，则可得这个装饰物的高度．
（2）根据抛物线的顶点式解析式，由二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得，当x＞0时，抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6，
把（10，0）代入得：0＝a（10﹣4）2+6，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+6，
令x＝0，得y＝﹣×16+6＝，
∴这个装饰物的高度为m．
（2）∵当x＞0时，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+6的对称轴为x＝4，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，
∴当x＝4.5时，可达到最高喷射高度，
当x＝4.5时，y＝．
∴直线型喷水头最高喷射高度为米．
八．解答题
23．（14分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是　DG＝BE　；位置关系是　DG⊥BE　；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．
【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出DG＝2BE，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求出BE的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【解答】解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，
∵△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB+∠ABE＝90°，
∴∠AQB+∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；
（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：
如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，
∴DG＝2BE，
∵∠AKB+∠ABE＝90°，
∴∠AKB+∠ADG＝90°，
∵∠AKB＝∠DKH，
∴∠DKH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
设EG与AD的交点为M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得：EG＝＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴＝＝，
即＝，
∴DG＝4．