小学数学人教版四年级上册角导学案

5.1.1   任意角

1.了解任意角的概念；

2.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；

3.掌握终边相同的角的表示方法；

4.会判断角所在的象限。

1.教学重点：任意角的概念，象限角的表示；

2.教学难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写。

1.规定：                                                                  叫做正角；

                                                                          叫做负角；

                                                                          叫做零角。

2.                                                                   互为相反角。

3.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合为                          。

一、探索新知

（一）角的概念

1.思考：

（1）.体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？

（2）.经过1小时，秒针、分针各转了多少度？

（3）.在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？

2.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角.

4.

5、把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反数。

。

（二）、象限角

思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？

思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？

思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？

（三）、终边相同的角

思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？

思考２：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？

思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？

例1. 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？

例2.    写出终边在y轴上的角的集合.

例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来.

1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)

A．A＝B＝C　　　 B．A⊆C

C．A∩C＝B   D．B∪C⊆C

2．下列各个角中与2 019°终边相同的是(　　)

A．－149°　　　 B．679°

C．319°   D．219°

3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．

4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

(1)－120°；(2)640°.

这节课你的收获是什么？

参考答案：

（一）3.

（二）思考1.

   思考2.

   第四象限角          第一象限角        第三象限角

第二象限角                 轴线角

思考3.象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.

（三）思考1.

都是第四象限角，这些角相差3600的整数倍数。

思考2.

思考3.S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，

即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

例1.【解析】所以在范围内，与所以它是第二象限角。

思考4.【解析】x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；       

x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；

y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； 

y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z 。

例2.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}.

而所有与270°角终边相同的角构成集合

S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.

于是，终边在y轴上的角的集合

S=S1∪S2

={β|β=90°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z }

={β|β=90°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z }

={β|β=90°+n·180°，n∈Z }

例3.【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.

S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有：

-315°，-135°,45°,225°,405°,585°.

达标检测

1.【答案】D

【解析】由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正确．

2.【答案】D　

【解析】因为2 019°＝360°×5＋219°，所以与2 019°终边相同的角是219°.

3.【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}　

【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．

4.【解析】　(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，

∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．

(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，

∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．