高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计，共14页。教案主要包含了归纳总结等内容，欢迎下载使用。

（第1课时）
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。
1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；
2.教学难点：基本不等式等号成立条件；
多媒体
2.2.2 基本不等式（第2课时）
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第2课时。从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。在学法上要指导学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式解应用题，数学建模能力也是本节要体现的重要素养。对例题的处理可让学生先思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；
2.难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
多媒体
课程目标
学科素养
A. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；
B. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式等号成立条件, 进一步掌握基本不等式；
C. 积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.
a.数学抽象：将问题转化为基本不等式；
b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式；
c.数学运算：准确熟练运用基本不等式；
d.直观想象：运用图像解释基本不等式；
e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
（一）、情景导学
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？
思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？
（二）、探索新知
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边
长为a,b（a≠b）,
那么正方形的边长为．
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为．
由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，
我们就得到了一个不等式：．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，
正方形EFGH缩为一个点，
这时有．（通过几何画板演示当a=b时的图像）
2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b，我们有，当且仅当a=b时，等号成立。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为
，
当且仅当a=b时等号成立
4．（1）基本不等式：如果a>0,b>0,我们用、分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：基本不等式（a>0,b>0)（当且仅当a=b时，取等号）
5.基本不等式：（1）在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。
（2）从不等式的性质推导基本不等式
如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。
用分析法证明：证明不等式
证明：要证
只要证
只要证
只要证 显然，是成立的．
当且仅当a=b时，（3）中的等号成立．
（3）理解基本不等式的几何意义
探究：你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．(1)AB表示什么?(2)表示哪个线段？(3)对应哪个线段呢？
（4）OD与CD的大小关系如何？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
【归纳总结】
1、由赵爽弦图我们得到了重要不等式：
通过换元我们得到了基本不等式：
（2）两个不等式的区别和联系：区别： a,b范围不同;联系:等号成立的条件相同
（3）从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；
从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系
（三）典例解析
利用基本不等式求最值
解析：
解析：
基本不等式的使用条件
解析：
解: ∵ ,
当且仅当 2x=(1-2x), 即时, 取“=”号.
∴当时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是.
跟踪训练
通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。
通过图形得到了重要不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程，培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养，增强数形结合的思想意识。
从不同的侧面理解不等式，培养学生数形结合的思想意识。
；
通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确运用基本不等式的三个关键步骤；一正、二定、三相等，发展严谨细致的思考习惯，训练思维的灵活性。
三、达标检测
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)
解析：选D.a＜0，则a＋eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．若a＞1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )
A．2 B．a C.eq \f(2\r(a),a－1) D．3
解析：选D.a＞1，所以a－1＞0，
所以a＋eq \f(1,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋1≥2eq \r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝3.
当且仅当a－1＝eq \f(1,a－1)即a＝2时取等号．
3．若a，b都是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：选C.因为a，b都是正数，所以
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，
当且仅当b＝2a＞0时取等号．
4．已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，则x＋y的最小值为________．
解析：x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)
≥10＋2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝10＋6＝16.
即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.
通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的逻辑推理和数学运算素养。
四、小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；基本不等式；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).
五、作业
1. 习题2.2 1,2,4,5题
2. 预习下节课内容
生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
课程目标
学科素养
A. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；
B. 围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平；
C.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性.
a. 数学抽象：在实际问题中抽象出不等式；
b.逻辑推理：运用基本不等式求最值的条件；
c.数学运算：灵活运用基本不等式求最值；
d.直观想象：运用图像解释基本不等式；
e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
（一）、小试牛刀
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．( )
(2)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.( )
(3)函数f(x)＝x2＋eq \f(2,x2＋1)的最小值为2eq \r(2)－1.( )
答案：（1） × （2）× （3） √
2．已知x＋y＝1且x>0，y>0，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：法一：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(x＋y,xy)＝eq \f(1,xy)≥eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2)＝4，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)时取等号，
法二：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(x＋y,x)＋eq \f(x＋y,y)＝2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥4，当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)时取等号．
答案：C
（二）、探索新知
问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
A
B
D
C
解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则
篱笆的长为2（）m
由 ，
可得 ，2（）
等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，
所用篱笆最短，最短篱笆为40m
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.
问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，
由
可得 ,
可得等号当且仅当
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.
（三）典例解析
均值不等式在实际问题中的应用
例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。
解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 元，
根据题意，有

由容积为4800可得

由基本不等式与不等式性质，可得
即 ，
可得等号当且仅当
所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元
跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
[解析] (1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y，
则y＝eq \f(3 000,x)(6S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq \f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x－eq \f(15 000,x)(6(2)S＝3 030－6x－eq \f(15 000,x)≤3 030－2eq \r(6x·\f(15 000,x))＝3 030－2×300＝2 430．
当且仅当6x＝eq \f(15 000,x)，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2．
2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为eq \f(105,x－402)，若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？
解析：方法一：设当销售价格为每件x元时，获得的利润为y，由题意知，y＝(x－50)·eq \f(105,x－402)
＝(x－50)·eq \f(105,x－502＋20x－50＋100)
＝eq \f(105,x－50＋\f(100,x－50)＋20).
∵x－50≥0，∴x－50＋eq \f(100,x－50)≥20，
∴y≤eq \f(105,20＋20)＝2 500，
当且仅当x－50＝eq \f(100,x－50)，即x＝60或x＝40(舍去)时，等号成立，ymax＝2 500.
方法二：由题意知，y＝(x－50)·eq \f(105,x－402)，
令x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)，
则y＝eq \f(105t,t＋102)＝eq \f(105t,t2＋20t＋100)＝eq \f(105,t＋\f(100,t)＋20)≤eq \f(105,20＋20)＝2 500，
当且仅当t＝eq \f(100,t)，即t＝10时，等号成立，
此时x＝60，ymax＝2 500.
答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，最多利润为2 500元．
【归纳总结】
求实际问题中最值的一般思路
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
利用基本不等式证明简单的不等式
例2 已知a,b都是正数,且a+b=1,
求证:1+1a1+1b≥9.
分析:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基本不等式进行证明即可.
证明:因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+1a=1+a+ba=2+ba,
同理1+1b=2+ab,
故1+1a1+1b=2+ba2+ab=
5+2ba+ab≥5+4ba·ab=5+4=9.
所以1+1a1+1b≥9当且仅当a=b=12时,等号成立
跟踪训练1.已知：a，b，c∈R＋，求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c.
证明：由基本不等式：eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)≥2 eq \r(\f(bc,a)·\f(ca,b))＝2c，
同理：eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥2a，eq \f(ab,c)＋eq \f(bc,c)≥2b.
三式相加即得：eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c
(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．
【归纳总结】利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2eq \r(ab)
(a＞0，b≥0)时，关键是对式子恰当地变形，
合理造成“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用．
通过课堂小测，了解学生对基本不等式的掌握情况，暴露问题及时纠正。通过解题培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。
通过简单的应用性问题，让学生体会在实际问题中运用基本不等式的步骤。
培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。
通过典型例题解析，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
；
通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生总结归纳，运用基本不等式解决应用问题的基本步骤。
三、达标检测
1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A。10 B．25 C．5 D．2eq \r(10)
[解析] a＋b≥2eq \r(ab)＝2eq \r(10)，等号在a＝b＝eq \r(10)时成立，∴选D．
2．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(aA．aC．eq \r(ab)[解析] 设从甲地到乙地的路程为s，则
v＝eq \f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq \f(2ab,a＋b)∵a0，∴v>a．
∴a3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：本题考查基本不等式及其应用．
设总费用为y万元，则y＝eq \f(600,x)×6＋4x＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(900,x)))≥240.
当且仅当x＝eq \f(900,x)，即x＝30时，等号成立．
答案：30
4.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
①仓库面积S的最大允许值是多少？
②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：①设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得3 200≥2eq \r(40x·90y)＋20xy
＝120eq \r(xy)＋20xy，＝120eq \r(S)＋20S.
所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0，
故eq \r(S)≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
②取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
5.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.
证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
所以1a+1b+1c=1a+1b+1c(a+b+c)
=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=13时,等号成立.故1a+1b+1c≥9.
通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，增强学生的数学抽象和数学运算素养。
四、小结
1.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值
2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标函数，再用基本不等式求函数的最值，从而得出实际问题的解。
五、作业
1. 课时练
2. 预习下节课内容
生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；