人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置背景图课件ppt

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1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
XUE XI MU BIAO
知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
思考　几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？答案　“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”， 判断直线与圆的位置关系，一般用几何法.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(　　)2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.(　　)3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(　　)4.过圆外一点的直线与圆相离.(　　)
一、直线与圆的位置关系的判断
例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点.
解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4).
方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1　(1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则A.l与C相交 B.l与C相切C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
解析　将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.
∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离.
例2　(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
解析　由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
解　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
直线与圆相交时的弦长求法
跟踪训练2　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.
解　方法一　由直线l与圆C的方程，
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
方法二　圆C: x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
例3　(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6
解析　因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.
所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为____________________.
y＝4或3x＋4y－13＝0
解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上.①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外.①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.③过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.
跟踪训练3　(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
2.(多选)直线l: x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是A.相离 B.相切或相离C.相交 D.相切
解析　l过定点A(1,1)，又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切，故选CD.
3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是A.－2 B.－12C.2 D.12
解析　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
4.过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为___________.
解析　∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
5.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为______.
解析　设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)弦长公式.(3)圆的切线方程.2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
KE TANG XIAO JIE
1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心
解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
2.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是A.－515C.m<4或m>13 D.4解析　圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
∴m<－5或m>15.故选B.
解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2 ，
4.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是A.[－3，－1] B.[－1,3]C.[－3,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.
6.设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝_____.
解析　直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.
7.过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是_______________________.
解析　当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，
此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意.
8.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.
解析　由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
解　因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
解得b＝±1，故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上.∴a＋2b＝0，①且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
解由方程①②③组成的方程组，
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
11.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0C.2x－y＝0 D.x－1＝0
解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，
12.已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于A.6 B.8 C.11 D.9
解析　圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
13.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.
解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，
最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3).
14.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__________.
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
解析　直线l过点A(2,4)，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，
16.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值；
解　如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小.
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
解　由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的.