人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第二课时当堂达标检测题

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1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
解析：选B 由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．
2．设f(x)存在导函数，且满足eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选B eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(f1－f1－2Δx,2Δx)
＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝f′(1)＝－1.
3．曲线y＝eq \f(1,3)x3－2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(5,3)))处切线的倾斜角为( )
A．1 B.eq \f(π,4)
C.eq \f(5π,4) D．－eq \f(π,4)
解析：选B ∵y′＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋Δx3－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－2)),Δx)
＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2＋xΔx＋\f(1,3)Δx2))＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为eq \f(π,4)，故选B.
4．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(－1，－4) D．(－2，－12)
解析：选AC f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(3x2＋1Δx＋3xΔx2＋Δx3,Δx)＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5．过正弦曲线y＝sin x上的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋Δx))－sin \f(π,2),Δx)
＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(cs Δx－1,Δx).
当Δx→0时，cs Δx→1，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
解析：∵y′|x＝1＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝
eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
答案：1
7．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．
答案：②
8．已知曲线f(x)＝eq \r(x)，g(x)＝eq \f(1,x)过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x),y＝\f(1,x)))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝eq \r(x)，
得f′(x)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2)，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)．
即x－2y＋1＝0.
答案：x－2y＋1＝0
9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，xeq \\al(2,0))，则y′|x＝x0＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)＝2x0＝1，所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq \f(7\r(2),8)，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为eq \f(7\r(2),8).
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x\\al(3,0)－2x\\al(2,0)＋3,Δx)
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3xeq \\al(2,0)－4x0.
∴eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(Δy,Δx)＝3xeq \\al(2,0)－4x0，即f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－4x0，
由导数的几何意义，得3xeq \\al(2,0)－4x0＝4，
解得x0＝－eq \f(2,3)或x0＝2.
∴切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)，
当切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，
有eq \f(49,27)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋a，∴a＝eq \f(121,27)，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
当a＝eq \f(121,27)时，切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))；
当a＝－5时，切点为(2,3)．
[B级 综合运用]
11．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则eq \f(a,b)为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选D ∵y′|x＝1＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(1＋Δx3－13,Δx)＝3，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×eq \f(a,b)＝－1，∴eq \f(a,b)＝－eq \f(1,3).
12.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：选B f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝eq \f(fa＋1－fa,a＋1－a)表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴013．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为________．
解析：由导数的定义，得f′(0)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(fΔx－f0,Δx)
＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim)) (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))所以ac≥eq \f(b2,4)，所以c>0.
所以eq \f(f1,f′0)＝eq \f(a＋b＋c,b)≥eq \f(b＋2\r(ac),b)≥eq \f(2b,b)＝2.
答案：2
14．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
解：∵f′(x)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，
∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3.))
[C级 拓展探究]
15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(x＋Δx2＋1－x2－1,Δx)＝2x＋Δx，
∴y′＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim)) (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝xeq \\al(2,0)＋1，
∴a－(xeq \\al(2,0)＋1)＝2x0(1－x0)，
即xeq \\al(2,0)－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．