2021学年第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算学案

5.2.3简单复合函数的导数      导学案

1. 了解复合函数的概念．

2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．

重点：复合函数的概念及求导法则

难点：复合函数的导数

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________．

y＝f (g(x))

思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？

[提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1

两个函数复合而成的．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于_________________________ _______．

y′u·u′x; y对u的导数与u对x的导数的; 乘积

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． (　　)

(2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝． (　　)

(3)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x． (　　)

2．函数y＝的导数是(　　)

A．　　　　B．

C．－      D．－

3．下列对函数的求导正确的是(　　)

A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2

B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝

C．y＝cos，则y′＝sin

D．y＝22x－1，则y′＝22xln 2

一、新知探究

探究1. 如何求

若求的导数呢？还有其它求导方法吗？

探究2. 如何求

探究3：  求函数

三、典例解析

例6.求下列函数的导数

（1）    

（2）

(3)

1．解答此类问题常犯两个错误

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

跟踪训练1  求下列函数的导数：

(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；

(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝.

例7  某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式 .

求函数在时的导数，并解释它的实际意义。

跟踪训练2  求下列函数的导数：

(1)y＝cos；  (2)y＝x2＋tan x.

三角函数型函数的求导要求

对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.

复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.

1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)

A．y＝un，u＝x2－1　               B．y＝(u－1)n，u＝x2

C．y＝tn，t＝(x2－1)n                D．y＝(t－1)n，t＝x2－1

2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x 

B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x 

D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

3．已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝________.

4．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________．

5．求下列函数的导数：

(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝x.

6.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是?

1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．

2．和与差的运算法则可以推广

[f (x1)±f (x2)±…±f (xn)]′＝f ′(x1)±f ′(x2)±…±f ′(xn)．

参考答案：

知识梳理

1．[提示]　(2)中f ′(x)＝.  (3)中，f ′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x.

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]

3．D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，

∴B错误；C中，y′＝－sin，

∴C错误；D中y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2.故D正确．]

学习过程

一、新知探究

探究1.解析：方法一：

=

探究2. 分析：函数初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，

所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点

如果

过程可表示为

探究3：  分析：令,得

以表示对的导数，表示对的导数，一方面，

==2

 2

另一方面 = ， =2

可以发现

二、    典例解析

例6.解：（1）函数

= = 3=

（2）函数

= ==

（3）函数

= ==

跟踪训练1  [解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4

＝－6(2x－1)－4＝－.

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.

(4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝.

∴y′＝

＝＝.

例7  解： 可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，有

=

==

当=3时，

它表示当=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s

跟踪训练2  [思路探究]　先将给出的解析式化简整理，再求导．

[解]　(1)∵y＝cos＝cossin－cos2

＝sin x－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－，

∴y′＝＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)．

(2)因为y＝x2＋，

所以y′＝(x2)′＋

＝2x＋＝2x＋.

达标检测

1．[答案]　A

2．B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′

＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′

＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]

3．

　[f ′(x)＝×(3x－1)′＝，∴f ′(1)＝＝.]

4． －　[∵f (x)＝xe－x，∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f ′(2)＝－.根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝f ′(2)＝－.]

5．[解]　(1)令u＝3x－2，则y＝10u.

所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.

2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.

∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝.

(3)y′＝(x)′＝＋x()′

＝＋

＝.

6.解：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．

∵y′＝，∴y′|＝＝2，

解得x0＝1，

∴y0＝ln(2－1)＝0，

即切点坐标为(1，0)．

∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，

即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.