还剩29页未读，
继续阅读
2021年四川省资阳市雁江区初中学业水平考试及适应性检测数学试题（word版 含答案）
展开
这是一份2021年四川省资阳市雁江区初中学业水平考试及适应性检测数学试题（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省资阳市雁江区初中学业水平考试及适应性检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．- D．
2．小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某种冠状病毒的直径长约125纳米，1纳米＝10﹣9米，那么这种冠状病毒的直径用科学记数法可表示为（ ）
A．125×10﹣9米 B．1.25×10﹣6米 C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣8米
4．如图，，一块含45°角的直角三角板如图放置，，则的度数为（ ）
A．17° B．27° C．38° D．43°
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某天名学生在进入校门时测得体温（单位℃）分别为：，，，，，，，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是
7．若关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt中，，为中线，延长至点，使，连结，为中点，连结．若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，在扇形纸片中，在桌面内的直线l上．现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的顶点和该抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是，有下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．在函数中，自变量的取值范围是____．
12．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．
13．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是_____．（结果不取近似值）．
14．若数使关于的不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解．则满足条件的所有整数的和是_____．
15．如图，把炬形沿，折叠，使点，落在上同一点处，，的面积是，的面积是，则矩形的面积等于____．
16．在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线．如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，…在反比例函数的图象上，轴，己知点，…的横坐标分别为1，2…，令四边形、、…的面积分别为、、…，（1）用含的代数式表示______；（2）若，则______．
三、解答题
17．先化简再求值：
，其中x是不等式组的一个整数解．
18．某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
19．如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，求圆的半径．
20．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为Mate30手机二月份每台售价比一月份每台售价低500元．如果卖出相同数量的华为Mate30手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
（1）一月份Mate30手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月份购进华为Mate40手机销售，已知华为Mate30每台进价为3500元，华为Mate40每台进价为4000元，预计用不少于7.4万元且不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月份对华为Mate30的尾货进行销售，决定在二月份售价基础上每售出一台华为Mate30手机再返还顾客现金元，而华为Mate40按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值？
21．如图，双曲线与直线交于、两点，点在双曲线上，且．
（1）设交轴于点，若，求点的坐标；
（2）连接、，得到，若，求的面积．
22．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝．
（1）求路灯B到地面的距离；
（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．
23．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接交于点，求的最大值；
（3）如图②，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长．
24．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.
【详解】
根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
2．C
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：
【详解】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：
A、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误；
B、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误；
C、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确；
D、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误．
故选C
【点睛】
考核知识点：正方体的表面展开图.
3．C
【分析】
绝对值小于1的正数利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，明确科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．C
【分析】
给图中各角标上序号，由直线可得出∠4=∠1=83°，由三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质可求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可求出∠2的度数．
【详解】
解：给图中各角标上序号，如图所示．
∵直线，
∴∠4=∠1=83°．
∵∠4=∠3+45°，
∴∠3=∠4-45°=38°，
∴∠2=∠3=38°．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、平行线的性质以及三角形外角的性质，利用三角形外角的性质，求出∠3的度数是解题的关键．
5．D
【分析】
利用合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方和同底数幂的除法分别计算得到结果，化简然后做出判断即可．
【详解】
A. 本选项不能合并，错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项错误；
D. ，本选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握法则是解本题的关键．
6．C
【分析】
按照众数，中位数，平均数，方差的定义计算判断即可．
【详解】
∵这组数据为，，，，，，，
∴平均数=36.4，
∴选项C正确；
∵36.3，36.4都出现了2次，
∴数据的众数为36.3和36.4，
∴选项A错误；
∵按从小到大进行排序为36.2，36.3，36.3，36.4，36.4，，，
∴数据的中位数为36.4，
∴选项B错误；
∵方差为，
∴选项D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了数据的集中趋势特征量的计算和离散度特征量的计算，熟记定义和公式是解题的关键．
7．B
【分析】
因为一元二次方程有实数根，所以 ，即可解得．
【详解】
∵一元二次方程有实数根
∴
解得
故选B
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．
8．B
【详解】
解析：利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
解：∵在中，，，，．
又为中线,．∵为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．故选：B．
9．B
【分析】
分析：点O所经过的路线是三段弧，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】
解：点O经过的路线长
=
=
=12π
故选：B
【点睛】
考查旋转的性质以及弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键.
10．D
【分析】
根据抛物线图象与系数关系，一次函数与抛物线交点等知识逐个判断即可．
【详解】
解：由抛物线的开口向下，且对称轴可知，，即，由抛物线与轴的交点在一次函数的图象上知，则，故①正确；
由①知抛物线解析式为：，
由图象可知，当时，，，故②正确；
抛物线的顶点在一次函数的图象上，
，
即，，
，即，故③正确；
由函数图象知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，，
即，
，，故④正确．
故选：D
【点睛】
本题考查二次函数和一次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考常考题型．
11．且
【分析】
根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
且，
∴且；
故答案为且．
【点睛】
本题主要考查分式与二次根式有意义的条件及函数的概念，熟练掌握分式与二次根式有意义的条件及函数的概念是解题的关键．
12．12
【分析】
由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，再根据完全平方公式进行变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求值.
【详解】
解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣4）＝12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，得出α+β＝2，αβ＝﹣4，根据完全平方公式进行变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ是解题关键.
13．
【分析】
用⊙O的面积除以正六边形的面积即可．
【详解】
解：连接OB，OC，过点O做OM⊥BC，
由题意可知△OBC是等边三角形，∠BOM=30°，
设⊙O的半径OM为r，则BC=OB==，
∴正六边形的面积为：6××r＝2r2，
∴随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出圆的半径并表示出正六边形的边长及边心距，难度不大．
14．2
【分析】
根据题意解不等式组的解集，然后根据不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，进而确定m的取值范围，然后再根据分式方程进行求解即可．
【详解】
解：由关于的不等式组可得：，
由可得，
∵不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，
∴，
由关于的分式方程可得，
由该方程有整数解，则，且是2的倍数，
∴，
∴在且中，满足条件的有-1和3，
∴满足条件的所有整数的和是；
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键．
15．
【分析】
由翻折的性质可得：，由题意易得，进而可得，则有，然后可得，则由可求，然后根据勾股定理及相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：由翻折的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积是，的面积是，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
16． 761
【分析】
分别求出的表达式，再利用梯形的面积公式进行计算即可求出，利用梯形的面积公式表达出，列出方程，求解即可．
【详解】
当x=1时，，故
当x=1时，，故
∴
当x=2时，，故
当x=2时，，故
∴
∵
∴
当x=19时，，故
当x=19时，，故
∴
当x=20时，，故
当x=20时，，故
∴
∵
∴
∵
∴
解得：k=761
故答案为： ；761
【点睛】
本题考查了反比例函数的面积问题．涉及的知识点有．坐标和图形性质,以及反比例函数的图像和性质,熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键
17．，当x=0时，原式=2
【详解】
试题分析：先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分后得到原式=﹣x2﹣x+2，然后解不等式组得到整数解，再把满足条件的一个整数代﹣x2﹣x+2进行计算即可．
试题解析：解：原式=•
=•
=﹣（x+2）（x﹣1）
=﹣x2﹣x+2
解不等式组，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2，其整数解为0，1，2．
由于x不能取1和2，所以当x=0时，原式=﹣0﹣0+2=2．
点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了解一元一次不等式组．
18．（1）200、144；（2）补全图形见解析；（3）被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【分析】
（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；
（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
（1）本次调查的学生共有30÷15%＝200（人），
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°× ＝144°，
故答案为200、144；
（2）C活动人数为200﹣（30+80+20）＝70（人），
补全图形如下：
（3）画树状图为：
或列表如下：
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
女2
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女3
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【点睛】
本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．
【分析】
（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；
（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）如图，连接OA
设
，
AE是圆O的切线
，即
在中，由三角形的内角和定理得：
即
解得
则由圆周角定理得：
故的度数为；
（2）如图，连接AD
设圆O的半径为，则
BD是圆O的直径
由（1）可知，
则在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符题意，舍去）
则圆O的半径为2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．
20．（1）一月份Mate30手机每台售价为4500元；（2）共有5种进货方案；（3）当a=100时，（2）中所有方案获利相同．
【分析】
（1）设一月份Mate30手机每台售价为x元，则二月份每台售价为（x-500）元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）设购进Mate30手机m台，则购进Mate40手机（20-m）台，然后根据题意可得，进而求解即可；
（3）设总获利为w元，由（2）及题意可得，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）设一月份Mate30手机每台售价为x元，则二月份每台售价为（x-500）元，由题意得：
，
解得：，
经检验是方程的解；
答：一月份Mate30手机每台售价为4500元．
（2）设购进Mate30手机m台，则购进Mate40手机（20-m）台，由题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m取8、9、10、11、12；
答：共有5种进货方案．
（3）设总获利为w元，由（2）及题意可得购进Mate30手机m台，购进Mate40手机（20-m）台，二月Mate40手机售价为4500-500=4000元，则有：
，
∵要使（2）中所有方案获利相同，
∴，
∴；
答：当a=100时，（2）中所有方案获利相同．
【点睛】
本题主要考查一次函数、一元一次不等式组及分式方程的应用，熟练掌握一次函数、一元一次不等式组及分式方程的应用是解题的关键．
21．（1）；（2）15
【分析】
(1)解方程组 得A（4，1），B（-4，-1），再利用反比例函数解析式确定P（1，4），则可根据待定系数法求出直线PB的解析式为y=x+3，从而计算出函数值为0对应的函数值得到点E的坐标；
(2)利用反比例函数图象上点的坐标特征得到ab=4，结合b=4a，则可求出a、b得到P（1，4），连接OP，如图，由（1）得E点坐标为（-3，0），接着利用三角形面积公式计算出S△POB= 由于点A与点B关于原点对称，所以OA=OB，所以S△BAP=2S△OBP．
【详解】
解：（1）联立
解得或
∴，
若，则
∴
设直线解析式为
将，代入，得
解得
∴直线解析式为
令，则
∴
∴点的坐标为．
（2）∵点在双曲线上
∴，又
∴，∴
∵，∴
∴，连接
设直线解析式为
将、代入得
解得
∴直线解析式为
∴
由对称性可知，
∴
∵
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22．（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8﹣）m．
【分析】
（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．解直角三角形求得OF＝x，CF＝x，由OC＝8求得x＝8，据此知BF＝8m；
（2）再过点A作AG⊥BF于点G，求得∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝30°．解直角三角形可得BG，进而即可求得OA．
【详解】
解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．
在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4，
∴OF＝x，
在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝，
∴CF＝x，
∵OC＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝8，
∴BF＝8m，
即路灯B到地面的距离8m；
（2）过点A作AG⊥BF于点G，可知四边形AGFO是矩形，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°．
∵OF＝×8＝2，
∴AG＝OF＝2，
在Rt△BAG中，∵tan∠BAG＝，
∴BG＝tan30°×2＝
∴OA＝GF＝（8﹣）（m），
即灯柱OA的高度为（8﹣）m．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
23．（1）见详解；（2）的最大值为；（3）或．
【分析】
（1）由题意知，则有，进而可得，然后问题可求证；
（2）由题意易得△ODC是等边三角形，△OEF是等边三角形，进而可得，则有，设，则，然后可得，最后问题可求解；
（3）由题意可分①点E在CD上和②点E在CD外，然后根据相似三角形的性质及三角函数可进行分类求解．
【详解】
（1）证明：由题意知，
∴，即，
在矩形中，，
∴OC=OD，
∵OF=OE，
∴，
∴；
（2）解：在△ODC中，OD=OC，∠COD=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵，
∴∠FDO=∠ECO=60°，
∵OF=OE，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠OEF=60°，
∴，
∴由三角形内角和可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴的最大值为；
（3）解：①在矩形ABCD中，AB=1，∠COD=60°，
∴，
∴，
如图，过点F作FM⊥AD于点M，
设，则，，
∵AF=AB=1，
∴在Rt△AFM中，，
∴，解得：（舍去），
∴，
∴∠FAM=30°，
∴∠FAO=60°，且AF=AB=AO，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF=1；
②如图，过点A作AN⊥DF于点N，则∠FDA=30°，
∴∠DAN=60°，，
∴，
∴∠FAN=30°，
∴∠FAO=120°，
∵∠AOD=120°，
∴∠FAO=∠AOD，
∵AF=AO=OD，
∴△OAF≌△AOD（SAS），
∴；
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质与判定、三角函数及相似三角形的性质与判定、二次函数的性质等知识点，注意方程思想和分类讨论思想的理解和运用是解题的关键．
24．（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，x2﹣x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝PH•（xB﹣xC），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），
抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x，x2﹣x﹣2），则点H（x，x﹣2），
S＝S△PHB+S△PHC＝PH•（xB﹣xC）＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，
∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝＝＝tan∠ROC＝，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝＝x＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝×QR•BC＝BR•QK，即2x•2x＝KQ•x，
解得：KQ＝，
∴sin∠RBQ＝＝＝，则tanRBH＝，
在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×＝，则点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝（x﹣4）②，
联立①②并解得：x＝4（舍去）或，
当x＝时，y＝﹣，故点Q（，﹣）；
②当点Q在BC上方时，
同理可得：点Q的坐标为（﹣，）；
综上，点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
2021年四川省资阳市雁江区初中学业水平考试及适应性检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．- D．
2．小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某种冠状病毒的直径长约125纳米，1纳米＝10﹣9米，那么这种冠状病毒的直径用科学记数法可表示为（ ）
A．125×10﹣9米 B．1.25×10﹣6米 C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣8米
4．如图，，一块含45°角的直角三角板如图放置，，则的度数为（ ）
A．17° B．27° C．38° D．43°
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某天名学生在进入校门时测得体温（单位℃）分别为：，，，，，，，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是
7．若关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt中，，为中线，延长至点，使，连结，为中点，连结．若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，在扇形纸片中，在桌面内的直线l上．现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的顶点和该抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是，有下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．在函数中，自变量的取值范围是____．
12．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．
13．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是_____．（结果不取近似值）．
14．若数使关于的不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解．则满足条件的所有整数的和是_____．
15．如图，把炬形沿，折叠，使点，落在上同一点处，，的面积是，的面积是，则矩形的面积等于____．
16．在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线．如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，…在反比例函数的图象上，轴，己知点，…的横坐标分别为1，2…，令四边形、、…的面积分别为、、…，（1）用含的代数式表示______；（2）若，则______．
三、解答题
17．先化简再求值：
，其中x是不等式组的一个整数解．
18．某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
19．如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，求圆的半径．
20．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为Mate30手机二月份每台售价比一月份每台售价低500元．如果卖出相同数量的华为Mate30手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
（1）一月份Mate30手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月份购进华为Mate40手机销售，已知华为Mate30每台进价为3500元，华为Mate40每台进价为4000元，预计用不少于7.4万元且不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月份对华为Mate30的尾货进行销售，决定在二月份售价基础上每售出一台华为Mate30手机再返还顾客现金元，而华为Mate40按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值？
21．如图，双曲线与直线交于、两点，点在双曲线上，且．
（1）设交轴于点，若，求点的坐标；
（2）连接、，得到，若，求的面积．
22．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝．
（1）求路灯B到地面的距离；
（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．
23．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接交于点，求的最大值；
（3）如图②，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长．
24．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.
【详解】
根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
2．C
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：
【详解】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：
A、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误；
B、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误；
C、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确；
D、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误．
故选C
【点睛】
考核知识点：正方体的表面展开图.
3．C
【分析】
绝对值小于1的正数利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，明确科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．C
【分析】
给图中各角标上序号，由直线可得出∠4=∠1=83°，由三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质可求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可求出∠2的度数．
【详解】
解：给图中各角标上序号，如图所示．
∵直线，
∴∠4=∠1=83°．
∵∠4=∠3+45°，
∴∠3=∠4-45°=38°，
∴∠2=∠3=38°．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、平行线的性质以及三角形外角的性质，利用三角形外角的性质，求出∠3的度数是解题的关键．
5．D
【分析】
利用合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方和同底数幂的除法分别计算得到结果，化简然后做出判断即可．
【详解】
A. 本选项不能合并，错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项错误；
D. ，本选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握法则是解本题的关键．
6．C
【分析】
按照众数，中位数，平均数，方差的定义计算判断即可．
【详解】
∵这组数据为，，，，，，，
∴平均数=36.4，
∴选项C正确；
∵36.3，36.4都出现了2次，
∴数据的众数为36.3和36.4，
∴选项A错误；
∵按从小到大进行排序为36.2，36.3，36.3，36.4，36.4，，，
∴数据的中位数为36.4，
∴选项B错误；
∵方差为，
∴选项D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了数据的集中趋势特征量的计算和离散度特征量的计算，熟记定义和公式是解题的关键．
7．B
【分析】
因为一元二次方程有实数根，所以 ，即可解得．
【详解】
∵一元二次方程有实数根
∴
解得
故选B
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．
8．B
【详解】
解析：利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
解：∵在中，，，，．
又为中线,．∵为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．故选：B．
9．B
【分析】
分析：点O所经过的路线是三段弧，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】
解：点O经过的路线长
=
=
=12π
故选：B
【点睛】
考查旋转的性质以及弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键.
10．D
【分析】
根据抛物线图象与系数关系，一次函数与抛物线交点等知识逐个判断即可．
【详解】
解：由抛物线的开口向下，且对称轴可知，，即，由抛物线与轴的交点在一次函数的图象上知，则，故①正确；
由①知抛物线解析式为：，
由图象可知，当时，，，故②正确；
抛物线的顶点在一次函数的图象上，
，
即，，
，即，故③正确；
由函数图象知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，，
即，
，，故④正确．
故选：D
【点睛】
本题考查二次函数和一次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考常考题型．
11．且
【分析】
根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
且，
∴且；
故答案为且．
【点睛】
本题主要考查分式与二次根式有意义的条件及函数的概念，熟练掌握分式与二次根式有意义的条件及函数的概念是解题的关键．
12．12
【分析】
由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，再根据完全平方公式进行变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求值.
【详解】
解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣4）＝12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，得出α+β＝2，αβ＝﹣4，根据完全平方公式进行变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ是解题关键.
13．
【分析】
用⊙O的面积除以正六边形的面积即可．
【详解】
解：连接OB，OC，过点O做OM⊥BC，
由题意可知△OBC是等边三角形，∠BOM=30°，
设⊙O的半径OM为r，则BC=OB==，
∴正六边形的面积为：6××r＝2r2，
∴随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出圆的半径并表示出正六边形的边长及边心距，难度不大．
14．2
【分析】
根据题意解不等式组的解集，然后根据不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，进而确定m的取值范围，然后再根据分式方程进行求解即可．
【详解】
解：由关于的不等式组可得：，
由可得，
∵不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，
∴，
由关于的分式方程可得，
由该方程有整数解，则，且是2的倍数，
∴，
∴在且中，满足条件的有-1和3，
∴满足条件的所有整数的和是；
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键．
15．
【分析】
由翻折的性质可得：，由题意易得，进而可得，则有，然后可得，则由可求，然后根据勾股定理及相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：由翻折的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积是，的面积是，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
16． 761
【分析】
分别求出的表达式，再利用梯形的面积公式进行计算即可求出，利用梯形的面积公式表达出，列出方程，求解即可．
【详解】
当x=1时，，故
当x=1时，，故
∴
当x=2时，，故
当x=2时，，故
∴
∵
∴
当x=19时，，故
当x=19时，，故
∴
当x=20时，，故
当x=20时，，故
∴
∵
∴
∵
∴
解得：k=761
故答案为： ；761
【点睛】
本题考查了反比例函数的面积问题．涉及的知识点有．坐标和图形性质,以及反比例函数的图像和性质,熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键
17．，当x=0时，原式=2
【详解】
试题分析：先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分后得到原式=﹣x2﹣x+2，然后解不等式组得到整数解，再把满足条件的一个整数代﹣x2﹣x+2进行计算即可．
试题解析：解：原式=•
=•
=﹣（x+2）（x﹣1）
=﹣x2﹣x+2
解不等式组，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2，其整数解为0，1，2．
由于x不能取1和2，所以当x=0时，原式=﹣0﹣0+2=2．
点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了解一元一次不等式组．
18．（1）200、144；（2）补全图形见解析；（3）被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【分析】
（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；
（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
（1）本次调查的学生共有30÷15%＝200（人），
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°× ＝144°，
故答案为200、144；
（2）C活动人数为200﹣（30+80+20）＝70（人），
补全图形如下：
（3）画树状图为：
或列表如下：
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
女2
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女3
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【点睛】
本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．
【分析】
（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；
（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）如图，连接OA
设
，
AE是圆O的切线
，即
在中，由三角形的内角和定理得：
即
解得
则由圆周角定理得：
故的度数为；
（2）如图，连接AD
设圆O的半径为，则
BD是圆O的直径
由（1）可知，
则在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符题意，舍去）
则圆O的半径为2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．
20．（1）一月份Mate30手机每台售价为4500元；（2）共有5种进货方案；（3）当a=100时，（2）中所有方案获利相同．
【分析】
（1）设一月份Mate30手机每台售价为x元，则二月份每台售价为（x-500）元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）设购进Mate30手机m台，则购进Mate40手机（20-m）台，然后根据题意可得，进而求解即可；
（3）设总获利为w元，由（2）及题意可得，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）设一月份Mate30手机每台售价为x元，则二月份每台售价为（x-500）元，由题意得：
，
解得：，
经检验是方程的解；
答：一月份Mate30手机每台售价为4500元．
（2）设购进Mate30手机m台，则购进Mate40手机（20-m）台，由题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m取8、9、10、11、12；
答：共有5种进货方案．
（3）设总获利为w元，由（2）及题意可得购进Mate30手机m台，购进Mate40手机（20-m）台，二月Mate40手机售价为4500-500=4000元，则有：
，
∵要使（2）中所有方案获利相同，
∴，
∴；
答：当a=100时，（2）中所有方案获利相同．
【点睛】
本题主要考查一次函数、一元一次不等式组及分式方程的应用，熟练掌握一次函数、一元一次不等式组及分式方程的应用是解题的关键．
21．（1）；（2）15
【分析】
(1)解方程组 得A（4，1），B（-4，-1），再利用反比例函数解析式确定P（1，4），则可根据待定系数法求出直线PB的解析式为y=x+3，从而计算出函数值为0对应的函数值得到点E的坐标；
(2)利用反比例函数图象上点的坐标特征得到ab=4，结合b=4a，则可求出a、b得到P（1，4），连接OP，如图，由（1）得E点坐标为（-3，0），接着利用三角形面积公式计算出S△POB= 由于点A与点B关于原点对称，所以OA=OB，所以S△BAP=2S△OBP．
【详解】
解：（1）联立
解得或
∴，
若，则
∴
设直线解析式为
将，代入，得
解得
∴直线解析式为
令，则
∴
∴点的坐标为．
（2）∵点在双曲线上
∴，又
∴，∴
∵，∴
∴，连接
设直线解析式为
将、代入得
解得
∴直线解析式为
∴
由对称性可知，
∴
∵
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22．（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8﹣）m．
【分析】
（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．解直角三角形求得OF＝x，CF＝x，由OC＝8求得x＝8，据此知BF＝8m；
（2）再过点A作AG⊥BF于点G，求得∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝30°．解直角三角形可得BG，进而即可求得OA．
【详解】
解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．
在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4，
∴OF＝x，
在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝，
∴CF＝x，
∵OC＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝8，
∴BF＝8m，
即路灯B到地面的距离8m；
（2）过点A作AG⊥BF于点G，可知四边形AGFO是矩形，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°．
∵OF＝×8＝2，
∴AG＝OF＝2，
在Rt△BAG中，∵tan∠BAG＝，
∴BG＝tan30°×2＝
∴OA＝GF＝（8﹣）（m），
即灯柱OA的高度为（8﹣）m．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
23．（1）见详解；（2）的最大值为；（3）或．
【分析】
（1）由题意知，则有，进而可得，然后问题可求证；
（2）由题意易得△ODC是等边三角形，△OEF是等边三角形，进而可得，则有，设，则，然后可得，最后问题可求解；
（3）由题意可分①点E在CD上和②点E在CD外，然后根据相似三角形的性质及三角函数可进行分类求解．
【详解】
（1）证明：由题意知，
∴，即，
在矩形中，，
∴OC=OD，
∵OF=OE，
∴，
∴；
（2）解：在△ODC中，OD=OC，∠COD=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵，
∴∠FDO=∠ECO=60°，
∵OF=OE，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠OEF=60°，
∴，
∴由三角形内角和可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴的最大值为；
（3）解：①在矩形ABCD中，AB=1，∠COD=60°，
∴，
∴，
如图，过点F作FM⊥AD于点M，
设，则，，
∵AF=AB=1，
∴在Rt△AFM中，，
∴，解得：（舍去），
∴，
∴∠FAM=30°，
∴∠FAO=60°，且AF=AB=AO，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF=1；
②如图，过点A作AN⊥DF于点N，则∠FDA=30°，
∴∠DAN=60°，，
∴，
∴∠FAN=30°，
∴∠FAO=120°，
∵∠AOD=120°，
∴∠FAO=∠AOD，
∵AF=AO=OD，
∴△OAF≌△AOD（SAS），
∴；
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质与判定、三角函数及相似三角形的性质与判定、二次函数的性质等知识点，注意方程思想和分类讨论思想的理解和运用是解题的关键．
24．（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，x2﹣x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝PH•（xB﹣xC），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），
抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x，x2﹣x﹣2），则点H（x，x﹣2），
S＝S△PHB+S△PHC＝PH•（xB﹣xC）＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，
∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝＝＝tan∠ROC＝，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝＝x＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝×QR•BC＝BR•QK，即2x•2x＝KQ•x，
解得：KQ＝，
∴sin∠RBQ＝＝＝，则tanRBH＝，
在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×＝，则点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝（x﹣4）②，
联立①②并解得：x＝4（舍去）或，
当x＝时，y＝﹣，故点Q（，﹣）；
②当点Q在BC上方时，
同理可得：点Q的坐标为（﹣，）；
综上，点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
相关试卷
四川省资阳市资阳市雁江区2021-2022学年中考数学适应性模拟试题含解析： 这是一份四川省资阳市资阳市雁江区2021-2022学年中考数学适应性模拟试题含解析，共24页。试卷主要包含了已知抛物线c等内容，欢迎下载使用。
2022年湖北省宣恩县初中学业水平考试适应性监测数学试题（一）(word版含答案)： 这是一份2022年湖北省宣恩县初中学业水平考试适应性监测数学试题（一）(word版含答案)，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省邵阳市初中学业水平适应性考试数学试题(word版含答案)： 这是一份2022年湖南省邵阳市初中学业水平适应性考试数学试题(word版含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
