2021年四川省自贡市中考数学适应性试卷

这是一份2021年四川省自贡市中考数学适应性试卷，共28页。试卷主要包含了如图所示等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省自贡市中考数学适应性试卷
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）自贡市总人口超过300万，数300万用科学记数法可以表示为（　　）
A．3×102 B．3×103 C．3×106 D．300×104
3．（4分）计算（﹣1）3﹣+（﹣2）0的结果是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣7
4．（4分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠2＝110°，那么∠1的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（4分）某小区14户家庭的日用电量统计如下表：
日用电量
3
4
5
6
7
8
户数
1
6
3
2
1
1
这14户家庭日用电量的众数、中位数分别是（　　）
A．4，4.5 B．4，5.5 C．6，1.5 D．1，1.5
6．（4分）若正多边形的内角和是720°，则该正多边形的一个外角为（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
7．（4分）三张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形三个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，在▱ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，连接EF交DC于点G，若S△DGE：S△CGF＝4：9，则DE：AD＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：9
9．（4分）2021年自贡环青龙湖半程马拉松的赛程是21.0975公里，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①第1小时两人都跑了10千米；②起跑1小时过后，甲在乙的后面；③在起跑后的0.5至1.5小时，甲比乙跑得更慢；④乙比甲先到达终点．
其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，BC为⊙O直径，若∠A＝80°，BC＝6，则图中灰色区域的面积为（　　）

A．2π B．3π C．4π D．5π
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积为（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
12．（4分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（　　）

A． B．2 C．4 D．3
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：|﹣|＝　 　．
14．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE、CE，∠CBE的度数是　 　．

15．（4分），﹣π，2，0这四个数中，最大的数是　 　．
16．（4分）如图，AB是⊙O的切线，半径OA＝3，OB交⊙O于C，∠AOB＝60°，则BC的长是　 　．

17．（4分）某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为　 　．
18．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x相交于点A，与直线y＝kx（k≠0）相交于点B，若△OAB的面积为18，则k的值为　 　．

三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）先化简，再求值（﹣）÷，其中m满足m2+2m﹣6＝0．
20．（8分）如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：AE＝AF．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

22．（8分）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
测试成绩统计表
等级
频数（人数）
频率
优秀
30
a
良好
b
0.45
合格
24
0.20
不合格
12
0.10
合计
c
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有800名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？

23．（10分）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若GF＝2，BF＝2，求⊙O的半径．

24．（10分）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．
请结合．上述材料，解决下列问题：
（1）M{32，（﹣3）2，﹣32}＝　 　；
（2）若min{2x+1，4x﹣3，7}＝2x+1，则整数x的值是　 　；
（3）若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，求x的值．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为9？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当△BPC的面积最大时，连接OP交BC于点D，请求出点D的坐标．

26．（14分）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝10，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，点G的运动路程是　 　．


2021年四川省自贡市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．（4分）自贡市总人口超过300万，数300万用科学记数法可以表示为（　　）
A．3×102 B．3×103 C．3×106 D．300×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：300万＝3000000＝3×106．
故选：C．
3．（4分）计算（﹣1）3﹣+（﹣2）0的结果是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣7
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣4+1
＝﹣4．
故选：B．
4．（4分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠2＝110°，那么∠1的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠2＝110°，

∴∠3＝∠2＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠1﹣30°＝180°﹣110°﹣30°＝40°．
故选：D．
5．（4分）某小区14户家庭的日用电量统计如下表：
日用电量
3
4
5
6
7
8
户数
1
6
3
2
1
1
这14户家庭日用电量的众数、中位数分别是（　　）
A．4，4.5 B．4，5.5 C．6，1.5 D．1，1.5
【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数据，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可得出答案．
【解答】解：∵4出现了6次，出现的次数最多，
∴众数是4；
∵共有14个数，
∴中位数是第7、8个数的平均数，
∴中位数是（4+5）÷2＝4.5．
故选：A．
6．（4分）若正多边形的内角和是720°，则该正多边形的一个外角为（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．
【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
则正多边形的一个外角＝＝60°，
故选：D．
7．（4分）三张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形三个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把圆、矩形、等边三角形三个图案分别记为A、B、C，
画树状图如图：

共有6个等可能的结果，抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有2个，
∴抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为＝，
故选：A．
8．（4分）如图，在▱ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，连接EF交DC于点G，若S△DGE：S△CGF＝4：9，则DE：AD＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：9
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，BC＝AD，由点F是BC的中点，可得BC＝2CF，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∵点F是BC的中点，
∴BC＝2CF，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∵S△DGE：S△CGF＝（DE：CF）2＝4：9，
∴DE：CF＝2：3，
∴DE：BC＝1：3，
∴DE：AD＝1：3，
故选：B．
9．（4分）2021年自贡环青龙湖半程马拉松的赛程是21.0975公里，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①第1小时两人都跑了10千米；②起跑1小时过后，甲在乙的后面；③在起跑后的0.5至1.5小时，甲比乙跑得更慢；④乙比甲先到达终点．
其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象和图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，第1小时两人相遇，都跑了10千米，故①正确；
由纵坐标看出，起跑后1小时后，甲在乙的后面，故②正确；
由纵坐标看出，起跑后0.5小时，甲在乙的前面，起跑后1小时，乙追上甲，起跑后1.5小时，乙在甲的前面，所以在起跑后的0.5至1.5小时，甲比乙跑得更慢，故③正确；
④起跑后2小时，乙到达终点，2小时后，甲才到达终点，所以乙比甲先到达终点，故④正确；
故选：D．
10．（4分）如图，BC为⊙O直径，若∠A＝80°，BC＝6，则图中灰色区域的面积为（　　）

A．2π B．3π C．4π D．5π
【分析】根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOB+∠EOC，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠ODB+∠OEC＝100°，
∴∠DOB+∠EOC＝160°，
∴图中灰色区域的面积＝＝4π，
故选：C．

11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积为（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解答】解：如图，作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝6，S△AOE＝1，
∴四边形OABC的面积＝6﹣1﹣1＝4，
故选：A．
12．（4分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（　　）

A． B．2 C．4 D．3
【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故选：B．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：|﹣|＝　　．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：|﹣|＝，
故答案为：．
14．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE、CE，∠CBE的度数是　75°　．

【分析】△ABE中，求出∠ABE度数，用90°﹣∠ABE即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵等边△ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝15°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝75°，
故答案为：75°．
15．（4分），﹣π，2，0这四个数中，最大的数是　2　．
【分析】首先判断负数小于0小于正数，然后计算2的立方和的立方比较其立方的大小就能得到结果．
【解答】解：由于负数小于0，0小于正数，
∴﹣π是最小的，
∵23＝8，＝7，8＞7，
∴23＞，
∴最大的数为2．
故答案为：2．
16．（4分）如图，AB是⊙O的切线，半径OA＝3，OB交⊙O于C，∠AOB＝60°，则BC的长是　3　．

【分析】由切线的性质定理得出∠OAB＝90°，进而求出∠B＝30°，再根据含30°直角三角形的性质求出OB，即可求出BC．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴BO＝2OA，
∵半径OA＝3，
∴OC＝3，OB＝6，
∴BC＝OB﹣OC＝3，
故答案为：3．
17．（4分）某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为　　．
【分析】根据题意可得计划在20天内完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个，故可得方程．
【解答】解：设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为，
故答案为：．
18．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x相交于点A，与直线y＝kx（k≠0）相交于点B，若△OAB的面积为18，则k的值为　6或　．

【分析】求出反比例函数与正比例函数的交点A的坐标，分两种情况进行解答，（1）如图1，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的下方，（2）如图2，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的上方，设出点B的坐标，利用△AOB的面积为18，列方程求出点B坐标，进而确定k的值．
【解答】解：由题意得，
，解得：，（舍去），
∴点A（4，6），
（1）如图1，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的下方，
过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N，
设点B坐标为（b，），则ON＝b，BN＝，
∴点A（4，6），
∴OM＝4，AM＝6；
∵S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB，
∴18＝（6+）（b﹣4），
解得，b1＝8，b2＝﹣2（舍去）
∴点B（8，3），代入y＝kx得，
k＝；
（2）如图2，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的上方，
过点A、B分别作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为M、N，
设点B坐标为（b，），则ON＝，BN＝b，
∴点A（4，6），
∴OM＝6，AM＝4；
∵S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB，
∴18＝（b+4）（﹣6），
解得，b1＝2，b2＝﹣8（舍去）
∴点B（2，12），代入y＝kx得，
k＝6；
故答案为：6或．


三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）先化简，再求值（﹣）÷，其中m满足m2+2m﹣6＝0．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再根据m2+2m﹣6＝0，可以得到m2+2m＝6，代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝[+]
＝（）
＝
＝
＝，
∵m2+2m﹣6＝0，
∴m2+2m＝6，
当m2+2m＝6时，原式＝＝3．
20．（8分）如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：AE＝AF．

【分析】证明AE、AF所在的△ADE和△ABF全等即可．
【解答】证明：∵正方形ABCD，
∴∠D＝∠B，AD＝AB＝DC＝BC，
∵E、F分别为边DC、BC中点，
∴DE＝DC，BF＝BC，
∴DE＝BF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A1，B1，C2的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．点C1的坐标（5，﹣3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．点C2的坐标（﹣5.3）．

22．（8分）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
测试成绩统计表
等级
频数（人数）
频率
优秀
30
a
良好
b
0.45
合格
24
0.20
不合格
12
0.10
合计
c
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　0.25　，b＝　54　，c＝　120　
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有800名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？

【分析】（1）根据合格的频数和频率，可以计算出本次调查的总人数，然后即可计算出a、b、c的值；
（2）根据（1）中b的值，可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：24÷0.20＝120（人），
a＝30÷120＝0.25，
b＝120×0.45＝54，
c＝120，
故答案为：0.25，54，120；
（2）由（1）知，b＝54，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）800×（0.25+0.45）
＝800×0.7
＝560（人），
答：估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有560人．
23．（10分）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若GF＝2，BF＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，得到∠A＝∠C，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BG＝＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，
∴OE∥AB，
∴∠A＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠C，
∴AB＝BC；
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝2，BF＝2，
∴BG＝＝4，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝4，
∴⊙O的半径为4．

24．（10分）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．
请结合．上述材料，解决下列问题：
（1）M{32，（﹣3）2，﹣32}＝　3　；
（2）若min{2x+1，4x﹣3，7}＝2x+1，则整数x的值是　2或3　；
（3）若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，求x的值．
【分析】（1）先计算出32＝9，（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，再根据定义可得答案；
（2）根据新定义得出，解之即可；
（3）由M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，且x2＞﹣3知＝﹣3，解之可得．
【解答】解：（1）∵32＝9，（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，
∴M{32，（﹣3）2，﹣32}＝＝3，
故答案为：3；
（2）∵min{2x+1，4x﹣3，7}＝2x+1，
∴，
解得2≤x≤3，
∴整数x的值为2或3，
故答案为：2或3；
（3）∵M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，且x2＞﹣3，
∴＝﹣3，
整理，得：x2+5x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣3．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　y＝﹣x2﹣2x+3　，抛物线的顶点坐标为　（﹣1，4）　；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为9？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当△BPC的面积最大时，连接OP交BC于点D，请求出点D的坐标．

【分析】（1）把A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3即可求得抛物线解析式，根据顶点坐标公式即可求得顶点坐标；
（2）设P（m，﹣m2﹣2m+3），根据S四边形BOCP＝S△BPC+S△BOC可以表示出四边形BOCP的面积，令四边形BOCP的面积为9建立方程，通过方程是否有解可以判定P点是否存在；
（3）由（2）可知S△BPC＝，从而可以求出△BPC的面积最大时P点坐标以及此时直线OP解析式，联立直线OP和直线BC的解析式，解方程即可得到D点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3，（﹣1，4）；
（2）不存在；
连接BC，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，

在y＝﹣x2﹣2x+3中，
令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
代入B（﹣3，0）、C（0，3）得：
，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则H（m，m+3），
∴PH＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△BPC＝＝＝，
又∵S△BOC，
∴S四边形BOCP＝S△BPC+S△BOC＝+，
令+＝9，
整理得：m2+3m+3＝0，
∵△＜0，
∴此方程无解，
∴不存在满足条件的点P；
（3）由（2）可知S△BPC＝＝，
∴当m＝时，S△BPC最大，
此时P（），
直线OP解析式为，
解方程组得：
，
∴D（）．
26．（14分）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝10，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，点G的运动路程是　　．

【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．
（2）利用相似三角形的性质证明即可．
（3）点G的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图②中，

由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA∽△EBC；
（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．
理由：如图③中，设AB交CG于点O．

∵△DBA∽△EBC，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，
∴∠G＝∠ABC＝30°．
（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向左边等边△ACO，连接OG，OB．

以O为圆心，OA为半径作⊙O，
∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，
∴∠AGC＝∠AOC，
∴点G在⊙O上运动，
以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∵BK＝AK，
∴DK＝BK＝AK，
∵BD＝BK，
∴BD＝DK＝BK，
∴△BDK是等边三角形，
∴∠DBK＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BOG＝2∠DAB＝60°，
∴的长＝＝，
观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．
故答案为：．