人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积精练

2.4　平面向量的数量积

2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义

课时过关·能力提升

基础巩固

1.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于(　　)

A. B.- C.± D.1

解析:∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0,∴λ=.

答案:A

2.已知两个不共线的单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论不一定正确的是(　　)

A.e1在e2方向上的投影为cos θ

B.e1·e2=1

C.

D.(e1+e2)⊥(e1-e2)

答案:B

3.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则等于(　　)

A. B.4 C. D.2

解析:因为a+2b与a-2b垂直,所以(a+2b)·(a-2b)=0,

所以|a|2-4|b|2=0,即|a|2=4|b|2,所以|a|=2|b|.

答案:D

4.已知平面上三点A,B,C,满足||=3,||=4,||=5,则的值等于 (　　)

A.-7 B.7 C.25 D.-25

解析:由条件知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25.

答案:D

5.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

解析:设a与b的夹角为θ,则cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.

答案:A

6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足=2,则·()的值为(　　)

A.-4 B.-2 C.2 D.4

解析:如图.∵=2,

∴||=2||.

又AM=3,

∴||=2,||=1.

又=2,

∴·()=·(2)==-||2=-4.

答案:A

7.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则|2a-b|=　　　　　. 

解析:a·b=|a||b|cos 60°=3,则|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=13,所以|2a-b|=.

答案:

8.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影为　　　　　. 

解析:向量a在b方向上的投影为|a|·.

答案:

9.已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:

(1)a·b;　(2)(3a)·;　(3)(3b-2a)·(4a+b).

解:(1)a·b=|a||b|cos θ=10×12×cos 120°=-60.

(2)(3a)·(a·b)=×(-60)=-36.

(3)(3b-2a)·(4a+b)

=12b·a+3b2-8a2-2a·b

=10a·b+3|b|2-8|a|2

=10×(-60)+3×122-8×102=-968.

10.已知两个单位向量a,b的夹角为60°.

(1)若c=λa+b(λ∈R),且b·c=0,求λ的值;

(2)求向量a+b在b方向上的投影.

解:(1)b·c=λa·b+b2=λcos 60°+3-=0,解得λ=-2或λ=3.

(2)向量a+b在b方向上的投影为

.

能力提升

1.设a,b,c是三个向量,有下列命题:

①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;

②若a·b=0,则a=0或b=0;

③a·0=0;

④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.

其中正确的有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③中,a·0=0,即③不正确;④中,左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,即④正确.

答案:A

2.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于(　　)

A.8 B.-8 C.8或-8 D.6

解析:cos θ==-.

∵θ∈[0,π],∴sin θ=.

∴|a×b|=2×5×=8.

答案:A

3.如图,过点M(1,0)的直线与函数y=sin πx(0≤x≤2)的图象交于A,B两点,则·()等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:∵=(1,0),=2,

∴·()=2.

答案:B

4.已知非零向量a,b满足a⊥b,则函数f(x)=(xa+b)2(x∈R)(　　)

A.既是奇函数又是偶函数 B.是非奇非偶函数

C.是奇函数  D.是偶函数

解析:∵a⊥b,∴a·b=0,

∴f(x)=x2|a|2+2x a·b+|b|2=|a|2x2+|b|2,定义域是R,f(-x)=|a|2(-x)2+|b|2=|a|2x2+|b|2=f(x),∴f(x)是偶函数.

答案:D

5.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为　　　　　. 

解析:a·b=1×2×cos =1.

平行四边形的两条对角线的长分别是|a+b|和|a-b|,

|a+b|=,|a-b|=,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为.

答案:

6.★如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为点P,且AP=3,则=　　　　　. 

解析:设AC与BD交于点O,则=2.

则·2=2·()=2().

∵AP⊥BD,

∴AP⊥PO,=0.

又AP=3,∴||=3,

∴=2=2×32=18.

答案:18

7.如图,已知两个长度为1的平面向量,它们的夹角为,点C是以O为圆心的劣弧AB的中点.求:

(1)||的值;

(2)的值.

解:(1)因为的长度为1,夹角为,

所以=||||cos=-,

所以||===1.

(2)因为点C是以O为圆心的劣弧AB的中点,

所以∠AOC=∠BOC=,

所以,

所以=()·()=+1=.

8.★设平面内两向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为零的实数.

(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);

(2)求函数k=f(t)的最小值.

分析:由x⊥y,得x·y=0,即得到函数关系式k=f(t),从而利用函数的性质求最小值.

解:(1)因为a⊥b,

所以a·b=0.

又x⊥y,

所以x·y=0,

即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.

因为|a|=2,|b|=1,

所以-4k+t2-3t=0,

即k=(t2-3t).

(2)由(1)知,k=(t2-3t)=,

即函数k=f(t)的最小值为-.