高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积达标测试

第24课时　平面向量数量积的物理背景及其含义

1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质．

2．掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律．

1．已知两个非零向量a，b，我们把|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a|·|b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中θ是a与b的夹角．

2．|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做b在a方向上的投影．

3．两个非零向量互相垂直的等价条件是a·b＝0.

4．a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．

5．向量数量积的运算律为：

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

一、选择题

1．给出以下五个结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为(　　)

A．1　　B．2

C．3    D．4

答案：C

解析：①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．

2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：C

解析：由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.

3．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影为(　　)

A．1    B.

C．－1  D.

答案：A

解析：设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影为|a－2b|cosθ.又cosθ＝＝＝，故|a－2b|cosθ＝|a－2b|·＝1.

4．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是(　　)

A．30°  B．60°

C．90°  D．120°

答案：D

解析：设向量a与b的夹角为θ，则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝1＋1×2×cosθ＝1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D.

5．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝(　　)

A．－6  B．6

C．3    D．－3

答案：B

解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)

A．－16  B．－8

C．8     D．16

答案：D

解析：·＝||·||cosA＝||2＝16

二、填空题

7．一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AB＝10米，F与水平方向的夹角为60°，|F|＝5牛顿，物体从A至B力F所做的功W＝__________.

答案：25焦耳

解析：由物理知识知W＝F·s＝|F|·|s|cosθ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．

8．如果a，b，a－b的模分别为2,3，，则a与b的夹角为________．

答案：

解析：设a与b的夹角为θ，由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，得7＝13－12cosθ，即cosθ＝.又0≤θ≤π，故θ＝.

9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．

答案：等边三角形

解析：·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．

三、解答题

10．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．

解：因为|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，

|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，

|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝，

且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，

所以cos〈a，b〉＝＝＝－，

所以a与b的夹角为120°.

11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.

(1)若(2a－b)·(a＋b)；

(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．

解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2.

∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.

(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，

∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，

∴λ＝12.

12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________．

答案：

解析：由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝≤＝，

∴θ∈.

13．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解：由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.

∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.

欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7<0，得－7<t<－.

设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，

∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.

即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.

∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是

∪.