高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例课后练习题

2.5　平面向量应用举例

2.5.1　平面几何中的向量方法

课时过关·能力提升

基础巩固

1.在平行四边形ABCD中,=a,=b,且(a+b)2=(a-b)2,则平行四边形ABCD是(　　)

A.菱形 B.矩形

C.正方形 D.以上都不对

解析:∵(a+b)2=(a-b)2,

∴(a+b)2-(a-b)2=0,

∴[(a+b)+(a-b)]·[(a+b)-(a-b)]=0,

∴4a·b=0,

∴a⊥b,

∴AB⊥AD,

∴平行四边形ABCD是矩形.

答案:B

2.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是(　　)

A.梯形

B.邻边不相等的平行四边形

C.菱形

D.两组对边均不平行的四边形

解析:因为=(8,0),=(8,0),所以.

因为=(4,-3),所以||=5,而||=8,

故以A,B,C,D为顶点的四边形为邻边不相等的平行四边形.

答案:B

3.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.正三角形

D.等腰直角三角形

解析:因为()·(-2)=0,即·()=0,又因为,所以()·()=0,即||=||,所以△ABC是等腰三角形.

答案:A

4.在四边形ABCD中,若=0,=0,则四边形为(　　)

A.平行四边形 B.矩形

C.等腰梯形 D.菱形

解析:∵=0,

∴,

∴四边形ABCD是平行四边形.

又=0,

∴.

∴该平行四边形是菱形.

答案:D

5.若点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的(　　)

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高线的交点

解析:由,得=0,

∴·()=0,即=0.

∴.

同理可证.

∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的三条高线的交点.

答案:D

6.在四边形ABCD中,若=0,,则四边形ABCD一定是(　　)

A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

解析:∵,

∴AB∥DC,且AB=DC,

∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵=0,

∴,即AB⊥AD,

∴四边形ABCD是矩形.

答案:C

7.在△ABC中,点O是△ABC外任一点,若)=,则点G是△ABC的(　　)

A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

解析:因为)=,所以=3,化简得=0,故点G为三角形ABC的重心.

答案:D

8.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则这个三角形的形状是　　　　　　　　　　. 

答案:等边三角形

9.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量法证明四边形AECF也是平行四边形.

分析:转化为证明AE∥FC,且AE=FC,即只需证明即可.

证明∵,

又,

∴,

即AE,FC平行且相等.

∴四边形AECF是平行四边形.

能力提升

1.如图,E,F,G,H分别是任意四边形ABCD各边的中点,若||=||,则四边形EFGH必是(　　)

A.正方形 B.梯形

C.菱形 D.矩形

解析:连接AC,BD,因为E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,所以EF∥AC,且EF=AC,GH∥AC,且GH=AC,EH=BD,所以EF∥GH,且EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形.

因为||=||,

所以||=||,

所以EF=EH,所以四边形EFGH是菱形,故选C.

答案:C

2.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.重心 B.垂心

C.外心 D.内心

解析:∵分别表示向量方向上的单位向量,

∴的方向与∠BAC的平分线重合.

又∵+λ,

∴=λ,

∴向量的方向与∠BAC的平分线重合,

∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.

答案:D

3.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||等于(　　)

A. B.2 C.3 D.2

解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.

设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),所以=(2,-a),=(4,a).

因为,所以=0,

所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8.

所以a=2,所以=(2,-2),

所以||==2.

答案:B

4.已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为边BC上的高,则点D的坐标为　                  . 

解析:设点D的坐标为(x,y),则=(-3,-1)-(3,2)=(-6,-3),=(x,y)-(2,-1)=(x-2,y+1),=(x,y)-(3,2)=(x-3,y-2).

由,

得整理得

解得故点D的坐标为(1,1).

答案:(1,1)

5.★已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则()·=　　　　    　. 

解析:如图,以A为坐标原点O,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).

∵E,F分别为BC,CD的中点,

∴E,F(1,1),

∴=(-2,1),

∴()·=3×(-2)+×1=-.

答案:-

6.在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB.

分析:找一组基底,分别表示,转化为证明||=|.

证明如图,设=a,=b,则a与b的夹角为90°,∴a·b=0.

又=b-a,(a+b),

∴||=|a+b|==,

||=|b-a|==.

∴||=|,∴CD=AB.

7.在▱ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形.

分析:以为基底,转化为证明.

证明设=a,=b,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴=a+b,=b-a.

∵AC=BD,∴|a+b|=|b-a|.

∴|a+b|2=|b-a|2.

∴|a|2+2a·b+|b|2=|b|2-2a·b+|a|2,

∴a·b=0.

∴a⊥b,即.∴AB⊥AD.

故四边形ABCD是矩形.

8.★用向量的方法证明:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

证明如图,作向量,选=a,=b作为基底,由菱形的性质得|a|=|b|.

于是,由平行四边形法则得=a+b,=a-b,

则=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,

∴,

即AC⊥DB,得菱形的两条对角线互相垂直.

设∠DAC=θ1,∠BAC=θ2,

由向量数量积的定义得

cos θ1=,

cos θ2=.

∵|a|=|b|,a·b=b·a,

∴cos θ1=cos θ2.

∵0°≤θ1≤180°,0°≤θ2≤180°,

∴θ1=θ2,即AC平分∠DAB,

同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ADC,∠ABC,即菱形的每一条对角线平分一组对角.