高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积测试题

2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课时过关·能力提升

基础巩固

1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于(　　)

A.(-15,12) 　B.0 C.-3 D.-11

解析:a+2b=(-5,6),(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.

答案:C

2.在△ABC中,A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是 (　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形

解析:=(4,-2),=(1,2),则=4+(-2)×2=0.

∴.∴∠ABC=90°.

答案:B

3.已知A,B,C是钝角三角形ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是(　　)

A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定

答案:D

4.已知a=(1,-2),b=(3,4),则a在b方向上的投影是 (　　)

A.1 B.-1 C. D.-

解析:设a与b的夹角为θ,则a在b方向上的投影是|a|·cos θ==-1.

答案:B

5.已知O为坐标原点,=(-2,1),=(0,2),且,则点C的坐标是(　　)

A.(2,6) B.(-2,-6) C.(2,-6) D.(-2,6)

解析:设C(x,y),则=(x+2,y-1),=(x,y-2),=(2,1).

∵,∴2(x+2)=0.①

∵,∴2x+y-2=0.②

由①②可得∴C(-2,6).

答案:D

6.已知向量a=(1,2),a·b=5,|a-b|=2,则|b|等于 (　　)

A. B.2 C.5 D.25

解析:∵|a-b|=2,∴(a-b)2=20.

∴a2-2a·b+b2=20.

∴5-2×5+|b|2=20.

∴|b|=5.

答案:C

7.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角为　　　　　. 

解析:∵a=(1,1),2a+b=(4,2),

∴b=(4,2)-2a=(4,2)-(2,2)=(2,0),

∴|a|=,|b|=2,a·b=2.

∴a与b夹角的余弦值为,

∴a与b的夹角为.

答案:

8.若向量a=(2x-1,x+3),b=(x,2x+1),c=(1,2),且(a-b)⊥c,则实数x的值为　　　　　. 

解析:a-b=(x-1,2-x).

因为(a-b)⊥c,则(a-b)·c=0,

所以(x-1)+2(2-x)=0,解得x=3.

答案:3

9.如图,已知=(3,1),=(-1,2),,求的坐标.

解:设=(x,y),则=(x+1,y-2).

∵,

∴-x+2y=0.①

∵,

∴x+1-3(y-2)=0,

即x-3y+7=0.②

联立①②解得x=14,y=7.

故=(14,7).

能力提升

1.已知向量i=(1,0),j=(0,1),则与2i+j垂直的向量是 (　　)

A.i-2j B.2i-j

C.2i+j D.i+2j

解析:2i+j=(2,1),选项A中,i-2j=(1,-2),则(2i+j)·(i-2j)=2×1+1×(-2)=0,则选项A符合;选项B中,2i-j=(2,-1),则(2i+j)·(2i-j)=2×2+1×(-1)=3≠0,则选项B不符合,同理可得选项C、选项D均不符合.

答案:A

2.已知向量a=(1,1),b=(m,2),若b在a方向上的投影为2,则实数m的值为(　　)

A.-1 B.-2 C.2-2 D.2-1

解析:根据题意,向量a=(1,1),b=(m,2),

则a·b=m+2,|a|=.

若b在a方向上的投影为2,则=2,解得m=2-2.

答案:C

3.★已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角θ的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析:由题意知Δ=|a|2-4a·b≥0⇒a·b≤|a|2,

则cos θ=,θ∈.

答案:B

4.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是　　　　　. 

解析:∵a与b的夹角θ为钝角,则cos θ<0且cos θ≠-1,

∴解得m<-.

答案:

5.在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则=　　　　　. 

解析:设AC与BD交于点O,

则

=(-3,2)+(1,2)=(-1,2).

∴=(-1,2)·(1,2)=-1×1+2×2=3.

答案:3

6.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为　　　　　. 

解析:∵=-4×1+2×2=0,

∴.

∴S四边形ABCD=|||==5.

答案:5

7.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.当取最小值时,求的坐标.

解:∵点Q在直线OP上,∴.

又=(2,1),设=x,

则=(2x,x).

∴=(1-2x,7-x),=(5-2x,1-x),

∴=(1-2x)(5-2x)+(7-x)(1-x)=5x2-20x+12=5(x-2)2-8.

∴x=2时,取最小值-8,

此时=(4,2).

8.★已知=(6,1),=(4,k),=(2,1).

(1)若A,C,D三点共线,求k的值;

(2)在(1)的条件下,求向量的夹角的余弦值.

解:(1)=(10,k+1),

又A,C,D三点共线,

∴.

∴10×1-2(k+1)=0,解得k=4.

(2)设向量的夹角为θ,

由(1)得=(4,4),

则=2×4+1×4=12.

又||==4,||=,

则cos θ=,

即向量的夹角的余弦值为.