数学必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.2 向量的加法当堂检测题

向量的加法

(15分钟　30分)

1.(2020·太原高一检测)已知正六边形ABCDEF中,++= (　　)

A.0  B.   C.   D.

【解析】选B.++=++=.

【补偿训练】

如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++= (　　)

A.　　B.　　C.　　D.

【解析】选B.++=++=.

2.若向量a,b为非零向量且|a+b|=|a|+|b|,则 (　　)

A.a∥b且a与b方向相同

B.a,b是共线向量,且方向相反

C.a+b=0

D.无论什么关系都可以

【解析】选A.因为|a+b|=|a|+|b|,所以由向量加法的三角形法则知,a∥b且a与b方向相同.

3.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长等于 (　　)

A.2　　　B.2　　　C.3　　　D.4

【解析】选D.矩形ABCD中,AB=,BC=1,所以AC=2,

因为++=++=+=2,所以其长度为4.

4.若|a|=|b|=1,则|a+b|的取值范围为________,当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向________. 

【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤2. 当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向相同.

答案:[0,2]　 相同

【补偿训练】

已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是________. 

【解析】因为在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,所以a为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,②④错误.

答案:①③

5.化简下列各式:

(1)++++;

(2)(+)+++.

【解析】(1)++++

=++++

=++(+)

=+=0.

(2)(+)+++

=(+)+(+)+

=++

=+=0.

【补偿训练】

如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.

【解析】如题图,设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是+=.

依题意,有||+||=800+800=1 600(km),

又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,

所以||=

==800(km).其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.

答:飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知O是△ABC内的一点,且++=0,则O是△ABC的 (　　)

A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心

【解析】选B.因为+是以,为邻边作平行四边形的对角线,且过AB的中点,设为D,则+=2,所以2+=0,所以||=||,故点O为△ABC的重心.

2.若四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 (　　)

A.+=　　　　　B.+=

C.+=     D.+=

【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形,

所以+=,+≠,

+≠,+≠.

【补偿训练】

(2020·张家界高一检测)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点(且不与M重合),则+++等于              (　　)

A.   B.2   C.3   D.4

【解题指南】因为此题为单选题,故可考虑用特殊值法去做,因为O为任意一点,不妨把O看成是特殊点,再代入+++,计算即可得解.

【解析】选D.因为O为任意一点,不妨把A点看成O点,则+++=0+++,因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点,所以0+++=2=4.

3.(2020·扬州高一检测)+-+化简后等于 (　　)

A.3   B.   C.   D.

【解析】选B.+-+=+++=0+=.

4.(2020·九江高一检测)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若+=2,且=,则△ABC的面积为 (　　)

A.   B.   C.2   D.1

【解析】选B.由于+=2,由向量加法的几何意义,O为边BC中点,因为△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,所以三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形,∠BAC=,斜边BC=2,又因为=,所以|AC|=1,|AB|=,

所以S△ABC=××=×1×=.

【误区警示】本题因为考虑不到两倍半径即为圆的直径这一关键点而导致错误,同时直径对的圆周角为直角也是本题易忽视的地方.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.已知=a,=b,且|a|=|b|=3.∠AOB=60°,则|a+b|=________. 

【解析】如图,根据平行四边形法则,四边形OACB为平行四边形,又因为||=||=3,

所以四边形OACB为菱形.

连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.

因为∠AOB=60°,所以AB=||=3,

所以在Rt△BDC中,CD=,

所以|a+b|=||=×2=3.

答案:3

6.(2020·北京高一检测)如图所示,已知在矩形ABCD中,=4,设=a,=b,=c.则=________. 

【解析】a+b+c=++=+.

延长BC至E,使CE=BC,连接DE,

由于==,CE?AD,

所以四边形ACED是平行四边形,

所以=,所以+=+=,

所以==2=2=8.

答案:8

三、解答题

7.(10分)在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且||=||=1,||=,+=+=0,cos ∠DAB=.求|+|与|+|.

【解析】因为+=+=0,

所以=,=.

所以四边形ABCD是平行四边形.

又||=||=1,知四边形ABCD为菱形,

又cos ∠DAB=,∠DAB∈(0°,180°),

所以∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形.

所以|+|=|+|=||=2||=,|+|=||=||=1.

【补偿训练】

1.(2020·宿迁高一检测)在水流速度为10 km/h的河中,如果要使船以17.3 km/h的速度与河岸成直角横渡,求船的航行速度的大小与方向.(取≈1.73)

【解析】如图所示,

设=10 km/h,=17.3 km/h.

在Rt△ABC中==≈20,

又cos ∠ABC=≈=,所以∠ABC=60°.

所以,船的实际航行速度大小为20 km/h,与水流的方向成120°角.

2.设P1P2P3…Pn是圆内接正n边形,O为圆心,试用向量求:++…+.

【解析】①当n为偶数时,作图如图所示,

故+=0,+=0,

…,

+=0,

故+++…+=0;

②当n为奇数时,作图如图所示,

取各段弧的中点,

构造正2n边形,

由①知,

+++…++++…+=0;

又因为+++…+=++…+,

所以+++…+=++…+=0;

综上所述,

+++…+=0.