高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法学案，共9页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，新知初探，自我检测，达标反馈，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律。
2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算。
3．数的加法与向量的加法的联系与区别。
【学习重难点】
1．向量加法的概念。
2．向量加法的运算法则。
3．数与向量的类比。
【学习过程】
问题导学
预习教材P137－P141的内容，思考以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
2．向量的加法如何定义？
3．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
【新知初探】
1．向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq \(AC,\s\up6(→))，则向量eq \(AC,\s\up6(→))称为向量a与b的和（也称eq \(AC,\s\up6(→))为向量a与b的和向量），向量a与b的和向量记作a＋b，因此eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))。
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。
对任意向量a，有a＋0eq \a\vs4\al(＝)0＋a＝A．
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|。
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq \(AD,\s\up6(→))，因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，因此eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))。
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则。
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋A．
3．多个向量相加
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序。例如
（a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋B．
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）a＋（b＋c）＝（a＋b）＋C．（ ）
（2）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0.（ ）
（3）求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则。（ ）
2．eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))等于（ ）
A．eq \(DB,\s\up6(→))
B．eq \(CA,\s\up6(→))
C．eq \(CD,\s\up6(→))
D．eq \(DC,\s\up6(→))
3．边长为1的正方形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝（ ）
A．2
B．eq \r(2)
C．1
D．2eq \r(2)
4．如图，在平行四边形ABCD中，eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝________。
解析：由平行四边形法则可知eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))。
探究点一：向量加法运算法则的应用
1．（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝________；
②eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝________；
③eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝________。
（2）①如图甲所示，求作向量和a＋B．
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋C．
[互动探究]
1．[变问法]在例1（1）条件下，求eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))。
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))。
2．[变问法]在例1（1）图形中求作向量eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))。
解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，
则eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(DG,\s\up6(→))。作eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→))，连接eq \(DH,\s\up6(→))，
则eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，如图所示。
[规律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
（1）三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量。
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合。
（3）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单。
1．如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心。
则（1）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
（2）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝________；
（3）eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝________。
探究点二：向量加法运算律的应用
2．（1）设a＝（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))）＋（eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))），b是一个非零向量，则下列结论正确的有________。（将正确结论的序号填在横线上）
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|。
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))；
②eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))。
[规律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的。实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
（2）应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。
1．已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________。
解析：|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))）＋（eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))）|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)。
答案：2eq \r(2)
探究点三：向量加法的实际应用
3．如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）。
[规律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
4．如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和。
【达标反馈】
1．化简eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))等于（ ）
A．eq \(AB,\s\up6(→))
B．eq \(CE,\s\up6(→))
C．eq \(AC,\s\up6(→))
D．eq \(BE,\s\up6(→))
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为eq \(BC,\s\up6(→))的是（ ）
A．eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))
B．eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))
D．eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝________。
答案：1
4．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√
（2）√
（3）×
2．解析：选C．。
3．答案：B
4．解析：由平行四边形法则可知＋＝。
答案：
探究点一：向量加法运算法则的应用
1．解析：（1）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))；
（2）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))；
（3）eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))。
答案：（1）eq \(AO,\s\up6(→))（2）eq \(AD,\s\up6(→))（3）eq \(OC,\s\up6(→))
2．【解】（1）由条件得，（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))）＋（eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))）＝0＝a，故①③正确。
（2）①eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GE,\s\up6(→))；
②eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝0.
3．【解】如图所示，设eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))分别表示A，B所受的力，10N的重力用eq \(CG,\s\up6(→))表示，则eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))。
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°。
所以|eq \(CE,\s\up6(→))|＝|eq \(CG,\s\up6(→))|·cs30°
＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)，
|eq \(CF,\s\up6(→))|＝|eq \(CG,\s\up6(→))|cs60°＝10×eq \f(1,2)＝5．
所以A处所受的力为5eq \r(3)N，B处所受的力为5N。
4．解：设eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|；
两次飞行的位移的和指的是eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))。
依题意，有|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|＝800＋800＝1600（km），
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以
＝800eq \r(2)（km）。
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°。
所以飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800eq \r(2)km，方向为北偏东80°。
【达标反馈】
1．解析：选C．eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))。
2．解析：选C．在A中eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；在B中eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；在C中eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))；在D中eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))。
3．解析：在菱形ABCD中，连接BD（图略），
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，
|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1．
4．解析：如图所示，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，
则a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))。
所以|a＋b|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|
＝eq \r(82＋82)＝8eq \r(2)（km），
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向。
答案：8eq \r(2)km东北方向