高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算同步测试题

平面向量的坐标及其运算

(15分钟　30分)

1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-3,-3),则向量= (　　)

A.(3,2)    B.(-3,-2)

C.(-1,-2)   D.(1,2)

【解析】选B.因为A(0,1),B(3,2),

所以=(3,1),

所以=(-)

=

=(-6,-4)

=(-3,-2).

【补偿训练】

在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=(　　)

A.(2,4)   B.(3,5)

C.(1,1)   D.(-1,-1)

【解析】选C.=-=-

=-(-)=(1,1).

2.已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为 (　　)

A.(1,8)   B.(-1,8)

C.(3,2)   D.(-3,2)

【解析】选B.设B的坐标为(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),

所以解得

所以点B的坐标为(-1,8).

3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是______. 

【解析】由题意知:BC中点为D,

所以=,

所以==.

答案:

4.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为________. 

【解析】因为所求向量与向量a=(1,2)平行,

所以可设所求向量为x(1,2),

又因为其模为,

所以x2+(2x)2=5,解得x=±1.

因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).

答案:(1,2)或(-1,-2)

5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=(3,1),=(2,-1),=(a,b).

(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;

(2)若=-3,求点C的坐标.

【解析】由题意知,=-=(-1,-2),

=-=(a-3,b-1).

(1)因为A,B,C三点共线,

所以∥,

所以-(b-1)-(-2)×(a-3)=0,

所以b=2a-5.

(2)因为=-3,

所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6),

所以

解得

所以点C的坐标为(6,7).

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则= (　　)

A.3   B.3  C.4  D.5

【解析】选A.因为a=(1,-3),b=(-2,0),

所以a+2b=(-3,-3),

因此==3.

2.(2020·福州高一检查)已知向量与单位向量e同向,且A,B,则e的坐标为 (　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】选B.设e=,因为是单位向量,所以x2+y2=1,①　

由A,B得=,因为向量与单位向量e同向,所以-6y-2x=0② ,①②联立解方程组得或所以e=或e=,又因为,e方向相同,e=舍去,所以e=.

3.已知向量a=,b=,且a∥b,若x,y为正数,则+的最小值是(　　)

A.   B.   C.16  D.8

【解析】选D.因为a∥b,所以3=-2x,

即2x+3y=3,

那么+=

=≥=8,等号成立的条件为=,,解得x=,y=,所以原式的最小值为8.

4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于              (　　)

A.2  B.  C.2 D.4

【解析】选A.因为|OC|=2,∠AOC=,

所以C(,),又=λ+μ,

所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),

所以λ=μ=,λ+μ=2.

【光速解题】在平面直角坐标系中作出三向量所在位置,根据等腰直角三角形中的长度关系易得所求两字母的值相等,均为.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的值可以是 (　　)

A.-2  B.-  C.  D.2

【解析】选BC.因为a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,所以2(y2-2)-(-1)x2=0,

所以x2=4-2y2≥0,

整理得y2≤2,解得-≤y≤.

所以y的取值范围是[-,].

6.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则可使λ1λ2<0成立的a可能是 (　　)

A.(1,0)   B.(0,1) 

C.(-1,0)   D.(0,-1)

【解析】选AC.a=λ1e1+λ2e2=(-λ1+2λ2,2λ1+λ2),

若a=(1,0),则

解得λ1=-,λ2=,λ1λ2<0,满足题意;

若a=(0,1),则

解得λ1=,λ2=,λ1λ2>0,不满足题意;

因为向量(-1,0)与向量(1,0)共线,

所以向量(-1,0)也满足题意.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知M(3,-2),N(-5,-1),=,则||=________,点P的坐标为________. 

【解析】设P(x,y),=(x-3,y+2),

=(-8,1),

所以||==;

所以==(-8,1)=,

所以

所以

答案:　

【补偿训练】

已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=________. 

【解析】由题意得(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),即(1+3λ,2+4λ)=(-2+4μ,-2+5μ),

所以解得λ=-1,μ=0,

所以M∩N={(-2,-2)}.

答案:{(-2,-2)}

8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为________. 

【解析】如图所示建立平面直角坐标系,则A(2,0),

设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),

所以=,

所以当y=b时,取得最小值5.

答案:5

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.

【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),

所以||=||=||=4.

因为在0°～360°范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为330°,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为30°,所以==(2,2).

所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).

当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为270°,

所以=(0,-4),

所以=-=(0,-4)-(2,-2)=(-2,-2).

综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).

10.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:

(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;

(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.

【解析】(1)因为(a+kc)∥(2b-a),

又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),

所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,

所以k=-.

(2)因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),

又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,

所以

解得或

所以d=或

.

1.在四边形ABCD中,==(1,0),+=,则四边形ABCD的面积是(　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选D.为在方向上的单位向量,记为e1=,类似地,

设=e2=,=e3=,

所以e1+e2=e3,可知四边形BNGM为菱形,且

||=||=||,所以∠MBN=120°,

从而四边形ABCD也为菱形,||=||=1,所以S菱形ABCD=||·||·sin ∠ABC=.

2.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),

(1)若++=0,求的坐标.

(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图像上,求m-n.

【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),

因为++=0,

又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).

所以

解得

所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).

(2)设点P的坐标为(x0,y0),

因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),

所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),

=(3,2)-(1,1)=(2,1),

因为=m+n,

所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)

=(m+2n,2m+n),

所以

两式相减得m-n=y0-x0,

又因为点P在函数y=x+1的图像上,

所以y0-x0=1,

所以m-n=1.

【补偿训练】

如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求的坐标.

【解析】由题得A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,∠ABP==2.

设P(x,y),则x=2-1×cos

=2-sin 2,y=1+1×sin=1-cos 2,

所以的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).