高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.3 向量的减法综合训练题

向量的减法

(15分钟　30分)

1.在三角形ABC中,=a,=b,则= (　　)

A.a-b   B.b-a

C.a+b   D.-a-b

【解析】选D.=-=--=-a-b.

【补偿训练】

如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于 (　　)

A.a-b+c　　　　 B.b-(a+c)

C.a+b+c　　　　 D.b-a+c

【解析】选A.=-=+-=a+c-b=a-b+c.

2.(2020·南阳高一检测)+-= (　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选B.依题意-+=+=.

3.在平行四边形ABCD中,若=,则必有 (　　)

A.=0

B.=0或=0

C.四边形ABCD为矩形

D.四边形ABCD为正方形

【解析】选C.由于+=,-=,则有=,则平行四边形ABCD为矩形.

4.化简:+--=________. 

【解析】+--=+-(+)=-=0.

答案:0

【补偿训练】

如图,在▱ABCD中,=a,=b,用a,b表示向量,,则=________,=________. 

【解析】由向量加法的平行四边形法则及向量减法的运算法则可知=a+b,=b-a.

答案:a+b　b-a

5.如图,已知向量a和向量b,用三角形法则作出a-b+a.

【解析】作法:作向量=a,向量=b,则向量=a-b.

如图所示,

作向量=a,则=a-b+a.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

1.(2020·保定高一检测)化简+--= (　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选D.+-- =+-(+) =+-=+=.

2.若四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,且=a,=b,则= (　　)

A.b+a   B.b-a

C.a+b   D.a-b

【解析】选B.=+=+=-=b-a.

3.在平行四边形ABCD中,--等于 (　　)

A.　　　　　　　　B.

C.      D.

【解析】选D.--=-=+=,又因为=,所以--=.

【补偿训练】

1.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为 (　　)

A.0　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选A.+--=(-)+(-)=+=0.

2.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|= (　　)

A.7　　　　B.17　　　　C.13　　　　D.8

【解析】选C.如图,因为a-b=-=,所以|a-b|=||==13.

4.(多选题)下列四式可以化简为的是 (　　)

A.+

B.+

C.-

D.+

【解析】选ABD.由题意得

A:+=++=+=,

B:+=+++=++=+0=,

C:-=++=2+,所以C不能化简为,

D:+=-+=+=.

【补偿训练】

(多选题)设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为 (　　)

A.a∥b　　　　　  B.a+b=b

C.a-b=b    D.|a-b|<|a|+|b|

【解析】选A、B.a=+++=0,又因为b为非零向量,故ab,a+b=b,

a-b=-b ,|a-b|=|a|+|b|.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.设平面内有四边形ABCD和点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d,则四边形的形状是________. 

【解题指南】利用两向量的和相等建立关系式并得到四边形的边与边之间的关系,然后作答.

【解析】因为a+c=b+d,所以+=+,即-=-,所以=,四边形ABCD是平行四边形.

答案:平行四边形

【补偿训练】

在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a;=d,则d-a=________,d+a=________. 

【解析】根据题意画出图形,如图所示,d-a=-=+==c.

d+a=+=+==b.

答案:c　b

6.已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为________;||的范围是________. 

【解析】因为-+=++=,又||=2,所以|-+|=||=2.又因为=+,且在菱形ABCD中||=2,所以|||-|||<||=|+|<||+||,即0<||<4.

答案:2　(0,4)

【补偿训练】

若||=||=|-|=2,则|+|=________. 

【解析】因为||=||=|-|=2,

所以△ABC是边长为2的正三角形,

所以|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,

所以|+|=2.

答案:2

三、解答题

7.(10分)已知||=6,||=9,求|-|的取值范围.

【解析】因为|||-|||≤|-|

≤||+||,

且||=9,||=6,所以3≤|-|≤15.

当与同向时,|-|=3;

当与反向时,|-|=15.

所以|-|的取值范围为[3,15].

【补偿训练】

1.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b,求证:

(1)|a-b|=|a|.

(2)|a+(a-b)|=|b|.

【证明】

如图,在等腰Rt△ABC中,由M是斜边AB的中点,

得||=||,||=||.

(1)在△ACM中,=-=a-b.

于是由||=||,得|a-b|=|a|.

(2)在△MCB中,==a-b,

所以=-=a-b+a=a+(a-b).

从而由||=||,得|a+(a-b)|=|b|.

2.已知O为四边形ABCD所在平面外一点,且向量、、、满足等式+=+.作图并观察四边形ABCD的形状,并证明.

【解析】

通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形.

证明如下:因为+=+,

所以-=-,所以=,

所以ABDC,所以四边形ABCD为平行四边形.