高中数学2.1.2指数函数及其性质第2课时学案

第2课时　指数函数图象及性质的应用

授课提示：对应学生用书第41页

探究一　利用指数函数的单调性比较大小

　[阅读教材P57例7]比较下列各数中两个值的大小：

(1) 1.72.5,1.73；

(2) 0.8－0.1, 0.8－0.2；

(3) 1.70.3,0.93.1.

题型：比较大小

[例1]　比较下列各组数的大小：

(1)1.82.2与1.83；

(2)0.7－0.3与0.7－0.4；

(3)1.90.4与0.92.4.

[解析]　(1)1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值．

∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数．

∴1.82.2<1.83.

(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，

又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.

(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，

∴1.90.4>0.92.4.

方法技巧　比较幂的大小的方法

(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．

(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来比较．

跟踪探究　1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是(　　)

A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c

C．c>b>a  D．c>a>b

解析：1.20.8>1.20＝1,0.80.9<0.80.7<0.80＝1，∴b<a<c，故选D.

答案：D

探究二　解简单的指数不等式

[例2]　如果a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．

[解析]　①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，

∴－5x>x＋7，解得x<－.

②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，

∴－5x<x＋7，解得x>－.

综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；

当0<a<1时，x>－.

　方法技巧　指数不等式的解法

　(1)形如ax＞ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．

(2)形如ax＞b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

(3)形如ax＞bx的不等式：可借助图象求解，也可转化为x＞1求解．

跟踪探究　2.若ax＋1>5－3x(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．

解析：ax＋1>5－3x⇔ax＋1>a3x－5，

当a>1时，可得x＋1>3x－5，

∴x<3.

当0<a<1时，可得x＋1<3x－5，

∴x>3.

综上，当a>1时，x<3；

当0<a<1时，x>3.

探究三　指数函数的实际应用

　[阅读教材P57例8]截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?

题型：实际应用

[例3]　某市现在人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题．

(1)试写出该市人口总数y(万人)与经过时间x(年)的函数关系式；

(2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；

(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．

(参考数据：1.01210≈1.127,1.01211≈1.140,1.01212≈1.154,1.01213≈1.168, 1.01214≈1.182,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)

[解析]　(1)1年后该市人口总数为

y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，

2年后该市人口总数为

y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，

3年后该市人口总数为

y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，

…

x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.

(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．

∴10年后该市人口总数约为113万人．

(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，

解得x≈15.

∴约15年以后，该市人口将达到120万人．

方法技巧　此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到指数运算．

跟踪探究　3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了__________天．

解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．

答案：19

授课提示：对应学生用书第42页

[课后小结]

1．比较两个指数式值的大小的主要方法

(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．

(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.

2．解简单指数不等式问题的注意点

(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论．

(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

(3)形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解．

[素养培优]

　警惕底数a对指数函数单调性的影响

　若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为__________．

易错分析：(1)解决本题易忽视对a的讨论，错认为a2＝2a，从而导致得出a＝2的错误答案．

(2)求函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在闭区间[s，t]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s，t]上的增函数，最小值为as，最大值为at.当底数大于0小于1时，指数函数为[s，t]上的减函数，最大值为as，最小值为at.

自我纠正：当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数，

最小值为a2，最大值为a，

故a＝2a2，解得a＝.

当a>1时，f(x)＝ax为增函数，最小值为a，

最大值为a2.故a2＝2a，

解得a＝2.

综上，a＝或a＝2.

答案：或2