高中数学人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第2课时课堂检测

学业分层测评(十四)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　)　　 　　　　　　 　　　　　

A．c>a>b   B．b>a>c

C．a>b>c   D．a>c>b

【解析】　a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.

【答案】　D

2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域是(　　)

A．[9,81]　　　　　　 B．[3,9]

C．[1,9]   D．[1，＋∞)

【解析】　由题意可知f(2)＝1，即32－b＝1，解得b＝2，∴f(x)＝3x－2，又2≤x≤4，故0≤x－2≤2，∴f(x)∈[1,9]，故f(x)的值域为[1,9]．

【答案】　C

3．函数y＝的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，＋∞)   B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)   D．(0,1)

【解析】　y＝＝2x－1，因为y＝x－1在R上是递增的，所以函数y＝的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

【答案】　A

4．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上(　　)

A．单调递减且无最小值

B．单调递减且有最小值

C．单调递增且无最大值

D．单调递增且有最大值

【解析】　函数f(x)＝为减函数，2x＋1＞1，故f(x)＝∈(0,1)，无最值．

【答案】　A

5．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A．16小时   B．20小时

C．24小时   D．21小时

【解析】　由题意，得于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时)．

【答案】　C

二、填空题

6．已知y＝21＋ax在R上是减函数，则a的取值范围是________.

【解析】　∵y＝21＋ax在R上是减函数，∴y＝ax＋1在R上是减函数，∴a<0，即a的取值范围是(－∞，0)．

【答案】　(－∞，0)

7．不等式0.52x>0.5x－1的解集为________．(用区间表示)

【解析】　∵0<0.5<1，由0.52x>0.5x－1得2x<x－1，即x<－1.

【答案】　(－∞，－1)

8．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．

【解析】　由于函数在[1,2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a＋a2＝6，又a＞0，解得a＝2.

【答案】　2

三、解答题

9．比较下列各组数的大小：

(1)1.9－π与1.9－3；

(2)0.72－与0.70.3；

(3)0.60.4与0.40.6.

【解】　(1)由于y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－3，所以1.9－π<1.9－3.

(2)因为y＝0.7x在R上单调递减，

而2－≈0.267 9<0.3，所以0.72－>0.70.3.

(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4>0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6>0.40.6，所以0.60.4>0.40.6.

10．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.

(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；

(2)用定义证明：函数g(x)在R上是单调递减函数；

(3)求函数g(x)的值域.

【解】　(1)由f(a＋2)＝3a＋2＝81，得a＋2＝4，故a＝2，则g(x)＝，

又g(－x)＝＝＝－f(x)，

故g(x)是奇函数．

(2)证明：设x1<x2∈R，g(x1)－g(x2)＝－＝.

∵x1<x2，∴2x1<2x2，

又2x1>0,2x2>0，∴g(x1)－g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，则函数g(x)在R上是单调递减函数．

(3)g(x)＝＝＝－1.

∵2x>0,2x＋1>1，∴0<<1,0<<2，－1<－1<1，故函数g(x)的值域为(－1,1)．

[能力提升]

1．函数f(x)＝的图象(　　)

A．关于原点对称   B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称   D．关于y轴对称

【解析】　f(－x)＝＝＝f(x)，

∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故选D.

【答案】　D

2．a＝9－0.5，b＝，c＝3－1.1，则a，b，c的大小关系为________.

【解析】　先将三个指数化为同底型：a＝3－1，b＝3－1.2，c＝3－1.1，构造函数y＝3x，该函数为R上的增函数，且－1>－1.1>－1.2，∴3－1>3－1.1>3－1.2，∴a>c>b.

【答案】　a>c>b

3．函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．

【解析】　∵函数f(x)＝在R上单调递增，

∴求得4≤a＜8.

【答案】　[4,8)

4．已知函数f(x)＝1－，x∈(b－3,2b)是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)是区间(b－3,2b)上的减函数；

(3)若f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．

【解】　(1)∵函数f(x)＝1－，x∈(b－3,2b)是奇函数，

∴f(0)＝1－＝0，且b－3＋2b＝0，即a＝2，b＝1.

(2)证明：由(1)得f(x)＝1－＝，x∈(－2,2)，

设任意x1，x2∈(－2,2)且x1＜x2，

∴f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵x1＜x2，∴5x1<5x2，

∴5x2－5x1>0，

又∵5x1＋1>0,5x2＋1>0，

∴>0，∴f(x1)>f(x2)．

∴f(x)是区间(－2,2)上的减函数．

(3)∵f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，

∴f(m－1)＞－f(2m＋1)．

∵f(x)是奇函数，∴f(m－1)＞f(－2m－1)．

∵f(x)是区间(－2,2)上的减函数，

∴即

∴－1＜m＜0，

所以，实数m的取值范围是(－1,0).