高中数学人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质导学案

2.1.2　指数函数的图像与性质

【教学目标】

（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；

（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．

【教学重难点】

教学重点：指数函数的的概念和性质．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

【教学过程】

㈠情景导入、展示目标

1．     （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．

我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

 到2050年我国的人口将达到多少？

 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？

2．     上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？

3．         一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

上面的几个函数有什么共同特征？

㈡检查预习、交流展示

1．根据预习说以下你是怎么理解指数函数的定义？

2．指数函数的性质有哪些？

㈢合作探究、精讲精练

探究点一：指数函数的概念

 一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

 注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；

 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．

例１：指出下列函数那些是指数函数：

（１）（２）（３）　（４）（５）（6）（7）（８）

解析：利用指数函数的定义解决这类问题。

解：（１），（５），（８）为指数函数　　

　（２）是幂函数（３）是－１与指数函数的乘积（４）中底数－４＜０，不是指数函数（６）中指数不是自变量ｘ，而是的函数（７）中底数不是常数

点评：准确理解指数函数的定义是解好本题的关键．

变式训练一：１．函数是指数函数，则有（　　　）

Ａ．ａ＝１或ａ＝２　Ｂ．ａ＝１　Ｃ．ａ＝２　Ｄ．ａ＞０且 

答案:C

探究点二：指数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

探索研究：

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？

3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？

4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

5.利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；

例２：求下列函数的定义域

（１）               （2）

解析：求定义域注意分母不为零，偶次根式里面为非负数。

解（１）：令ｘ－４０，得ｘ４，

故定义域为（－，４）（４，＋）

（2）：

所以的定义域为

点评：求函数的定义域是解决函数问题的基础。

变式训练二：的定义域　　　　

答案：［－１，＋］

㈣反馈测试

导学案当堂检测

　　㈤总结反思、共同提高

【板书设计】

一、指数函数

1．定义

2. 图像

3. 性质

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

   【作业布置】

    导学案课后练习与提高

2.1.2          指数函数的图像与性质

课前预习学案

一．预习目标

了解指数函数的定义及其性质．

二．预习内容

１．一般地，函数　　　　　　　　　叫做指数函数．

２．指数函数的定义域是　　　　，值域　　　　　　．

３．指数函数的图像必过特殊点　　　　．

４．指数函数，当　　时，在上是增函数；当　　时，　　　　　　　在上是减函数．

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

一．学习目标

（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；

（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．

教学重点：指数函数的的概念和性质．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

二、学习过程

1.（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．

我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

 到2050年我国的人口将达到多少？

 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？

2.上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？

3.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

上面的几个函数有什么共同特征？

探究一：指数函数的定义及特点：

例１：指出下列函数那些是指数函数：

（１）（２）（３）　（４）（５）（6）（7）（８）

变式训练一：１．函数是指数函数，则有（　　　）

Ａ．ａ＝１或ａ＝２　Ｂ．ａ＝１　Ｃ．ａ＝２　Ｄ．ａ＞０且 

探究二:指数函数的图像与性质

在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）

（2）

（3）

（4）

例２：求下列函数的定义域

（１）               （2）

变式训练二：的定义域　　　　

三．反思总结

四．当堂检测

1．关于指数函数和的图像，下列说法不正确的是（ 　　　）

Ａ．它们的图像都过（０，１）点，并且都在ｘ轴的上方．

Ｂ．它们的图像关于ｙ轴对称，因此它们是偶函数．

Ｃ．它们的定义域都是Ｒ，值域都是（０，＋）．

Ｄ．自左向右看的图像是上升的，的图像是下降的．

2．函数在R上是减函数，则的取值范围是（      ）

A、         B、          C、        D、

3．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－３，），则ｆ（２）＝　　　．

参考答案:1．Ｂ　2．D　3．４

课后练习与提高

１．下列关系式中正确的是（　　　　）

Ａ．＜＜　Ｂ．＜＜

Ｃ．＜＜　Ｄ．＜＜

2．下列函数中值域是（０，＋）的函数是（　　　）

Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．

3．函数在［０，１］上的最大值与最小值之和为３，则ａ等于（　　）

Ａ．０．５　　Ｂ．２　　Ｃ．４　　Ｄ．０．２５

4.函数的定义域是       

5．已知ｆ（ｘ）＝，则ｆ［ｆ（－１）］＝　　　　．

6．设，解关于的不等式。

参考答案：１．Ｃ　　2．Ｄ　3．Ｂ　　    4 .X       5.

6．解：因为,所以 在上为减函数，因为 , 所以