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    2018-2019学年湖北省武汉市洪山区八年级(上)期末数学试卷

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    这是一份2018-2019学年湖北省武汉市洪山区八年级(上)期末数学试卷,共23页。

    A.x≠3B.x=3C.x≠0D.x=0
    2.(3分)分式方程1的解为( )
    A.x=1B.x=2C.x=﹣1D.无解
    3.(3分)如图的三角形纸片中,AB=9,BC=6,AC=5.沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长是( )
    A.7B.8C.9D.10
    4.(3分)下列运算正确的是( )
    A.a2+a3=a5B.ab2•3a2b=3a2b2
    C.(﹣a3)2=a6D.﹣2a6÷a2=﹣2a3
    5.(3分)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
    A.m(a+b)=ma+mb
    B.a2+4a﹣21=a(a+4)﹣21
    C.x2﹣1=(x+1)(x﹣1)
    D.x2+16﹣y2=(x+y)(x﹣y)+16
    6.(3分)利用图1面积的不同表示方法可以验证代数恒等式:a2+b2=c2(勾股定理).实际上,还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性,那么根据图2所表示的代数恒等式为( )
    A.(x+2y)(x+y)=x2+3xy+3y2
    B.(x+2y)(x+y)=x2+2xy+3y2
    C.(2x+y)(x+2y)=2x2+5xy+2y2
    D.(x+2y)(x+y)=x2+3xy+2y2
    7.(3分)把3x3﹣12xy2分解因式,结果正确的( )
    A.3(x+2xy)(x﹣2xy)B.3x(x2﹣4y2)
    C.3x(x﹣2y)(x+2y)D.3x(x﹣4y2)
    8.(3分)计算的结果为( )
    A.B.C.D.
    9.(3分)抗震救灾活动中,小童统计了甲、乙两个班的捐款情况,得到三个信息:设甲班有x人,则依题意可列方程为( )
    ①甲班捐款2500元,乙班捐款2700元;
    ②乙班平均每人捐款数比甲班多;
    ③甲班比乙班多5人.
    A.B.
    C.D.
    10.(3分)如图,∠AOC=∠BOC=10°,OC=20,在OA上找一点M,在OB上找一点N,则CM+MN的最小值是( )
    A.20B.16C.12D.10
    二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)将答案直接写在答题卡指定的位置上.
    11.(3分)计算 .
    12.(3分)若分式的值为零,则x= .
    13.(3分)0.00000105用科学记数法表示为 .
    14.(3分)若x2﹣2(m﹣1)x+36是一个完全平方式,则m的值为 .
    15.(3分)如图,等腰Rt△ABD和Rt△ABC中,∠ADB=∠ACB=90°,连接CD.若AC=12,BC=4,则四边形ABCD的面积是 .
    16.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,AB.将Rt△ABC折叠,使得点C恰好落在AB边上的点E处,折痕为AD.P为折痕AD上一动点,则△PEB周长的最小值是 .
    三、解答题(共8小题,共72分)在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
    17.(8分)解方程或化简分式:
    (1)
    (2)
    18.(8分)利用乘法公式计算:
    (1)(2a﹣1)(1+2a)﹣2(a﹣2)2
    (2)(2a﹣3b﹣1)(2a+3b﹣1)﹣(2a﹣3b+1)2
    19.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AD交BC于D,过C作CN⊥AD交AD于H,交AB于N.
    (1)△ANC的形状是 ;(在“等边三角形”、“等腰三角形”、“直角三角形”、“等腰直角三角形”中选一个填上去)
    (2)若AB=10,AC=6,求CD的长.
    20.(8分)将下列多项式因式分解:
    (1)2(a﹣2b)2﹣6(a﹣2b)3
    (2)x3﹣7x2﹣30x
    21.(8分)先阅读下面的内容,再解决问题.
    对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2,使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变.于是有x2+2xa﹣3a2=(x2+2xa+a2)﹣a2﹣3a2=(x+a)2﹣4a2=(x+a)2﹣(2a)2=(x+3a)(x﹣a)像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”,解决下列问题:
    (1)分解因式a2﹣8a+15;
    (2)若;
    ①当a,b,m满足条件:2a×4b=8m时,直接写出m的值为 ;
    ②若△ABC的三边长是a、b、c,且c为奇数,求△ABC的周长.
    22.(10分)武汉某道路改造工程,若由甲、乙两工程队合作20天可完成;若甲工程队先单独施工40天,再由乙工程队单独施工10天也可完成.
    (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?
    (2)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,并且要求整个工期不能超过30天,问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少?
    23.(10分)已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E在边BC上,点F在射线EC上,且∠EAF=45°.
    (1)如图1,画出△AEF关于直线AF对称的△AE′F,并写出画法;
    (2)如图2,若∠AFE=75°,求的值;
    (3)如图3,若BE=CF,直接写出∠AFE的度数为 .
    24.(12分)在平面直角坐标系中,点A(a,0)、C(b,0)、B(0,),a、b满足:a2+2ab+2b2﹣4b+4=0,且AB=AC.
    (1)判断△ABC的形状并证明;
    (2)如图1,点D为BA延长线上一点,AD=AB,E为x轴负半轴上一点,F为DE上一点,连接CF交AD于点G,∠EFC=120°,求的值;
    (3)如图2,R(3a,0)点P为线段BR上一动点,以AP为边作等腰△APQ,PA=PQ,且∠APQ=∠RAB,连接AQ.当点P运动时,△ABQ的面积是否变化?若不变,求其值;若变化,求其变化范围.
    2018-2019学年湖北省武汉市洪山区八年级(上)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中有且只有一个正确答案,请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
    1.(3分)使分式有意义的x的取值范围是( )
    A.x≠3B.x=3C.x≠0D.x=0
    【分析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案.
    【解答】解:分式有意义,则3﹣x≠0,
    解得:x≠3.
    故选:A.
    2.(3分)分式方程1的解为( )
    A.x=1B.x=2C.x=﹣1D.无解
    【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
    【解答】解:去分母得:x2+2x﹣x2﹣x+2=3,
    解得:x=1,
    经检验x=1是增根,分式方程无解.
    故选:D.
    3.(3分)如图的三角形纸片中,AB=9,BC=6,AC=5.沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长是( )
    A.7B.8C.9D.10
    【分析】根据翻折变换的性质得到DC=DE,BE=BC,根据已知求出AE的长,根据三角形周长公式计算即可.
    【解答】解:由折叠的性质可知,DC=DE,BE=BC=6,
    ∵AB=9,
    ∴AE=AB﹣BE=33,
    △AED的周长为:AD+AE+DE=AC+AE=8,
    答:△AED的周长为8.
    故选:B.
    4.(3分)下列运算正确的是( )
    A.a2+a3=a5B.ab2•3a2b=3a2b2
    C.(﹣a3)2=a6D.﹣2a6÷a2=﹣2a3
    【分析】直接利用整式的混合运算法则分别判断得出答案.
    【解答】解:A、a2+a3,无法合并,故此选项错误;
    B、ab2•3a2b=3a3b3,故此选项错误;
    C、(﹣a3)2=a6,正确;
    D、﹣2a6÷a2=﹣2a4,故此选项错误;
    故选:C.
    5.(3分)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
    A.m(a+b)=ma+mb
    B.a2+4a﹣21=a(a+4)﹣21
    C.x2﹣1=(x+1)(x﹣1)
    D.x2+16﹣y2=(x+y)(x﹣y)+16
    【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
    【解答】解:A、是整式的乘法,故A不符合题意;
    B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故B不符合题意;
    C、把一个多项式转化成几个整式积的形式,故C符合题意;
    D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故D不符合题意;
    故选:C.
    6.(3分)利用图1面积的不同表示方法可以验证代数恒等式:a2+b2=c2(勾股定理).实际上,还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性,那么根据图2所表示的代数恒等式为( )
    A.(x+2y)(x+y)=x2+3xy+3y2
    B.(x+2y)(x+y)=x2+2xy+3y2
    C.(2x+y)(x+2y)=2x2+5xy+2y2
    D.(x+2y)(x+y)=x2+3xy+2y2
    【分析】根据图2列出算式,再求出即可.
    【解答】解:根据图2得:长方形的面积为(x+2y)(x+y)=x2+xy+2xy+2y2=x2+3xy+2y2,
    故选:D.
    7.(3分)把3x3﹣12xy2分解因式,结果正确的( )
    A.3(x+2xy)(x﹣2xy)B.3x(x2﹣4y2)
    C.3x(x﹣2y)(x+2y)D.3x(x﹣4y2)
    【分析】原式分解得到结果,即可作出判断.
    【解答】解:3x3﹣12xy2=3x(x2﹣4y2)=3x(x+2y)(x﹣2y).
    故选:C.
    8.(3分)计算的结果为( )
    A.B.C.D.
    【分析】先把括号内通分得到原式,然后把除法运算化为乘法运算后约分即可.
    【解答】解:原式[]



    故选:C.
    9.(3分)抗震救灾活动中,小童统计了甲、乙两个班的捐款情况,得到三个信息:设甲班有x人,则依题意可列方程为( )
    ①甲班捐款2500元,乙班捐款2700元;
    ②乙班平均每人捐款数比甲班多;
    ③甲班比乙班多5人.
    A.B.
    C.D.
    【分析】人数为未知数,各班的捐款总数已知,根据②中等量关系来建立方程,即可得解.
    【解答】解:甲班每人捐款元,乙班每人捐款元,根据②中的等量关系,可得方程:
    (1)
    故选:C.
    10.(3分)如图,∠AOC=∠BOC=10°,OC=20,在OA上找一点M,在OB上找一点N,则CM+MN的最小值是( )
    A.20B.16C.12D.10
    【分析】作点C关于AO的对称点C',连接C'M,C'O,则CM=C'M,OC=OC'=20,当C',M,N在同一直线上且MN⊥OB时,C'M+MN的最小值等于线段C'N的长,依据∠C'ON=30°,即可得到Rt△C'ON中,C'NOC'=10,进而得出CM+MN的最小值等于10.
    【解答】解:如图所示,作点C关于AO的对称点C',连接C'M,C'O,则CM=C'M,OC=OC'=20,
    ∴CM+MN=C'M+MN,
    当C',M,N在同一直线上且MN⊥OB时,C'M+MN的最小值等于线段C'N的长,
    又∵∠AOC=∠BOC=10°,∠C'OM=∠COM,
    ∴∠C'ON=30°,
    ∴Rt△C'ON中,C'NOC'=10,
    ∴CM+MN的最小值等于10,
    故选:D.
    二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)将答案直接写在答题卡指定的位置上.
    11.(3分)计算 ﹣3 .
    【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案.
    【解答】解:原式3.
    故答案为:﹣3.
    12.(3分)若分式的值为零,则x= 3 .
    【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.由分式值为零的条件可知x2﹣9=0且x+3≠0.
    【解答】解:∵分式的值为零,
    ∴x2﹣9=0且x+3≠0.
    解得:x=3.
    故答案为3.
    13.(3分)0.00000105用科学记数法表示为 1.05×10﹣6 .
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
    【解答】解:0.00000105=1.05×10﹣6.
    故答案为:1.05×10﹣6.
    14.(3分)若x2﹣2(m﹣1)x+36是一个完全平方式,则m的值为 7或﹣5 .
    【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值.
    【解答】解:∵x2﹣2(m﹣1)x+36是一个完全平方式,
    ∴m﹣1=6或m﹣1=﹣6,
    解得:m=7或﹣5,
    故答案为:7或﹣5
    15.(3分)如图,等腰Rt△ABD和Rt△ABC中,∠ADB=∠ACB=90°,连接CD.若AC=12,BC=4,则四边形ABCD的面积是 48 .
    【分析】延长AD交BC延长线于E,作DF⊥AC于F,DG⊥BE于G,AC交BD于点O,则DG=CF,DF=CG,由勾股定理得出AB4,由等腰直角三角形的性质得出AD=BDAB=4,证明△AOD≌△BED(ASA),得出OD=ED,∠DOF=∠E,证明△ODF≌△EDG(AAS),得出DF=DG,证出CD平分∠ACE,得出∠DCF=45°,证出△DCF是等腰直角三角形,得出DF=CF=CG=DG,设DF=DG=CG=x,则BG=4+x,在RtBDG中,由勾股定理得出方程,解方程得出DF=4,由三角形面积公式即可得出四边形ABCD的面积.
    【解答】解:延长AD交BC延长线于E,作DF⊥AC于F,DG⊥BE于G,AC交BD于点O,如图所示:
    则DG=CF,DF=CG,
    ∵∠ACB=90°,AC=12,BC=4,
    ∴AB4,
    ∵△ABD是等腰直角三角形,
    ∴AD=BDAB=4,
    ∵∠ADB=∠ACB=90°,∠AOD=∠BOC,
    ∴∠BDE=90°,∠OAD=∠EBD,
    在△AOD和△BED中,,
    ∴△AOD≌△BED(ASA),
    ∴OD=ED,∠DOF=∠E,
    在△ODF和△EDG中,,
    ∴△ODF≌△EDG(AAS),
    ∴DF=DG,
    ∵DF⊥AC,DG⊥BE,
    ∴CD平分∠ACE,
    ∴∠DCF90°=45°,
    ∴△DCF是等腰直角三角形,
    ∴DF=CF=CG=DG,
    设DF=DG=CG=x,则BG=4+x,
    在RtBDG中,由勾股定理得:x2+(4+x)2=(4)2,
    解得:x=4,或x=﹣8(舍去),
    ∴DF=4,
    ∴四边形ABCD的面积=△ACD的面积+△ABC的面积12×412×4=48;
    故答案为:48.
    16.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,AB.将Rt△ABC折叠,使得点C恰好落在AB边上的点E处,折痕为AD.P为折痕AD上一动点,则△PEB周长的最小值是 8 .
    【分析】连接CE,交AD于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时,PE+BP的值最小,即可此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,先求出BC和BE长,代入求出即可.
    【解答】解:连接CE,交AD于M,
    ∵沿AD折叠C和E重合,
    ∴∠ACD=∠AED=90°,AC=AE=8,∠CAD=∠EAD,
    ∴BE=88,AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称,CD=DE,
    ∴当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,
    ∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=8+88=8.
    故答案为:8.
    三、解答题(共8小题,共72分)在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
    17.(8分)解方程或化简分式:
    (1)
    (2)
    【分析】(1)根据分式方程的解法即可求出答案;
    (2)根据分式的运算法则即可求出答案;
    【解答】解:(1)∵,
    ∴y(y﹣2)+3(y+2)=y2﹣4﹣8,
    ∴y+6=﹣12,
    ∴y=﹣18,
    经检验,y=﹣18是分式方程的解;
    (2)原式


    18.(8分)利用乘法公式计算:
    (1)(2a﹣1)(1+2a)﹣2(a﹣2)2
    (2)(2a﹣3b﹣1)(2a+3b﹣1)﹣(2a﹣3b+1)2
    【分析】(1)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算,再合并同类项即可;
    (2)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算,再去掉括号,最后合并同类项即可.
    【解答】解:(1)原式=4a2﹣1﹣2(a2﹣4a+4)
    =4a2﹣1﹣2a2+8a﹣8
    =2a2+8a﹣9;
    (2)原式=(2a﹣1)2﹣9b2﹣[(2a﹣3b)+1]2
    =4a2﹣4a+1﹣9b2﹣[4a2﹣12ab+9b2+2(2a﹣3b)+1]
    =4a2﹣4a+1﹣9b2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣4a+6b﹣1
    =﹣18b2﹣8a+12ab+6b.
    19.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AD交BC于D,过C作CN⊥AD交AD于H,交AB于N.
    (1)△ANC的形状是 等腰三角形 ;(在“等边三角形”、“等腰三角形”、“直角三角形”、“等腰直角三角形”中选一个填上去)
    (2)若AB=10,AC=6,求CD的长.
    【分析】(1)根据等腰三角形的判定和题目中的条件,可以判定△ANC的形状;
    (2)根据(1)中的结论和全等三角形的判定和性质,可以得到CD和ND的关系,再根据等腰三角形的性质即可求得ND的长,从而可以得到CD的长.
    【解答】解:(1)∵∠BAC的平分线AD交BC于D,CN⊥AD交AD于H,交AB于N,
    ∴∠NAH=∠CAH,∠AHN=∠AHC=90°,
    在△AHN和△AHC中,

    ∴△AHN≌△AHC(ASA),
    ∴AN=AC,
    ∴△ANC是等腰三角形,
    故答案为:等腰三角形;
    (2)连接DN,如右图所示,
    由(1)知,AN=AC,
    在△AND和△ACD中,

    ∴△AND≌△ACD(SAS),
    ∴CD=ND,∠AND=∠ACD,
    ∵AB=10,AC=6,AN=AC,
    ∴AN=6,
    ∴BN=4,
    ∵∠ACB=2∠B,∠AND=∠B+∠NDB,
    ∴∠B=∠NDB,
    ∴BN=DN,
    ∴DN=4,
    ∴CD=4.
    20.(8分)将下列多项式因式分解:
    (1)2(a﹣2b)2﹣6(a﹣2b)3
    (2)x3﹣7x2﹣30x
    【分析】(1)提取公因式2(a﹣2b)2,再将能合并的合并即可;
    (2)先提取公因式x,再用十字相乘法分解即可.
    【解答】解:(1)2(a﹣2b)2﹣6(a﹣2b)3
    =2(a﹣2b)2[1﹣3(a﹣2b)]
    =2(1﹣3a+6b)(a﹣2b)2
    (2)x3﹣7x2﹣30x
    =x(x2﹣7x﹣30)
    =x(x+3)(x﹣10)
    21.(8分)先阅读下面的内容,再解决问题.
    对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2,使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变.于是有x2+2xa﹣3a2=(x2+2xa+a2)﹣a2﹣3a2=(x+a)2﹣4a2=(x+a)2﹣(2a)2=(x+3a)(x﹣a)像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”,解决下列问题:
    (1)分解因式a2﹣8a+15;
    (2)若;
    ①当a,b,m满足条件:2a×4b=8m时,直接写出m的值为 5 ;
    ②若△ABC的三边长是a、b、c,且c为奇数,求△ABC的周长.
    【分析】(1)仿照阅读材料中的例子,配方再用平方差公式分解即可;
    (2)①对所给对方式子配方,根据偶次方的非负性,可求得a和b的值,从而可得m的值;
    ②根据①中a、b的值和题意.可求得c的值,进而求得△ABC的周长.
    【解答】解:(1)a2﹣8a+15=a2﹣8a+16﹣1
    =(a﹣4)2﹣12
    =(a﹣3)(a﹣5)
    (2)∵;
    ∴(a2﹣14a+49)+(b2﹣8b+16)+|m﹣c|=0
    ∴(a﹣7)2+(b﹣4)2+|m﹣c|=0
    ∴a﹣7=0,b﹣4=0
    ∴a=7,b=4
    ∵2a×4b=8m
    ∴27×44=8m
    ∴27×28=23m时
    ∴215=23m
    ∴15=3m
    ∴m=5;
    故答案为:5.
    ②由①知,a=7,b=4,∵△ABC的三边长是a,b,c,
    ∴3<c<11,
    又∵c边的长为奇数,
    ∴c=5,7,9,
    当a=7,b=4,c=5时,△ABC的周长是:7+4+5=16,
    当a=7,b=4,c=7时,△ABC的周长是:7+4+7=18,
    当a=7,b=4,c=9时,△ABC的周长是:7+4+9=20.
    22.(10分)武汉某道路改造工程,若由甲、乙两工程队合作20天可完成;若甲工程队先单独施工40天,再由乙工程队单独施工10天也可完成.
    (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?
    (2)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,并且要求整个工期不能超过30天,问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少?
    【分析】(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x天,则乙工程队单独完成此项工程需要天,根据“若甲工程队先单独施工40天,再由乙工程队单独施工10天也可完成”,即可得出关于x的分式方程,解之并检验后即可得出结论;
    (2)设甲工程队施工m天,则乙工程队施工(30﹣0.5m)天,由整个工期不能超过30天,可得出m≤30,设甲、乙工程队完成这项工程需付施工费w万元,根据总费用=每日费用×天数,即可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题.
    【解答】解:(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x天,则乙工程队单独完成此项工程需要天,
    根据题意得:1,
    解得:x=60,
    经检验,x=60是原方程的解,
    ∴30.
    答:甲工程队单独完成此项工程需要60天,乙工程队单独完成此项工程需要30天.
    (2)设甲工程队施工m天,则乙工程队施工(30﹣0.5m)天,
    ∵整个工期不能超过30天,
    ∴m≤30.
    设甲、乙工程队完成这项工程需付施工费w万元,
    根据题意得:w=m+2.5×(30﹣0.5m)=﹣0.25m+75,
    ∴w随m的增大而减小,
    ∴当m=30时,w取最小值,最小值=﹣0.25×30+75=67.5,此时30﹣0.5m=30﹣0.5×30=15.
    答:安排甲、乙工程队同时施工,甲工程队施工30天、乙工程队施工15天,施工费最低,最低施工费为67.5万元.
    23.(10分)已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E在边BC上,点F在射线EC上,且∠EAF=45°.
    (1)如图1,画出△AEF关于直线AF对称的△AE′F,并写出画法;
    (2)如图2,若∠AFE=75°,求的值;
    (3)如图3,若BE=CF,直接写出∠AFE的度数为 22.5° .
    【分析】(1)过点A画AE的垂线AE′且使AE′=AE,即可画出关于AF对称的三角形;
    (2)根据(1)的画法,画出△AEF关于AF对称的△ADF,再根据全等三角形的对应角相等可得直角三角形DCF,推出∠DFC=30°,进而得结论;
    (3)过点A画AF的垂线AD,连接DB、DE,得△ABD≌△ACF、△ADE≌△AFE,根据BE=CF可推出DE和BC为斜边的等腰三角形全等进而得AC=CF,即可得结论.
    【解答】解:(1)如图所示:
    过点A作E′A⊥AE,且使E′A=EA,
    连接E′F,
    △AE′F即为所求作的图形.
    (2)如图所示:
    过点A作AD⊥AE,且使AD=AE,连接DF、DC,
    ∵AB=AC,∠BAC=90°,
    ∴∠BAE+∠EAC=90°,°∠DAC+∠CAE=90°,
    ∴∠BAE=∠CAD,
    AD=AE,
    ∴△ABE≌△ACD(SAS)
    ∴BE=CD.∠B=∠ACD=45°,
    ∵∠ACB=45°,
    ∴∠ECD=90°.
    ∵△ADF是△AEF关于AF对称的图形,
    ∴∠AFD=∠AFE=75°,DF=EF.
    ∴∠DFC=30°,
    ∴DCDF,
    ∴BEEF.
    即.
    答:的值为.
    (3)如图所示:
    过点A作AD⊥AF,且使AD=AF,连接BD,DE.
    同(2)得△ABD≌△ACF(SAS)
    ∴∠ABD=∠ACF=135°,BD=CF,
    ∵BE=CF,∴BD=BE,
    ∵∠ABC=∠ACB=45°,
    ∴∠DBE=90°.
    ∴△BDE是等腰直角三角形.
    ∵AD=AF,∠EAF=45°,
    ∴∠DAE=45°,
    AE=AE,
    ∴△ADE≌△AFE(SAS)
    ∴DE=EF,
    ∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,
    ∴BC=EF,
    ∴DE=BC.
    ∵△ABC和△BDE是斜边相等的等腰直角三角形,
    ∴△ABC≌△BDE(ASA)
    ∴BE=AC,
    ∴AC=CF,
    ∴∠AFC=∠CAF=22.5°.
    答:∠AFE的度数为22.5°.
    故答案为22.5°.
    24.(12分)在平面直角坐标系中,点A(a,0)、C(b,0)、B(0,),a、b满足:a2+2ab+2b2﹣4b+4=0,且AB=AC.
    (1)判断△ABC的形状并证明;
    (2)如图1,点D为BA延长线上一点,AD=AB,E为x轴负半轴上一点,F为DE上一点,连接CF交AD于点G,∠EFC=120°,求的值;
    (3)如图2,R(3a,0)点P为线段BR上一动点,以AP为边作等腰△APQ,PA=PQ,且∠APQ=∠RAB,连接AQ.当点P运动时,△ABQ的面积是否变化?若不变,求其值;若变化,求其变化范围.
    【分析】(1)结论:△ABC是等边三角形.利用非负数的性质求出a,b即可判断.
    (2)如图1中,作BH∥DE交x轴于H.证明△AHG≌△CBH(AAS),推出AG=CH可得结论.
    (3)结论:△ABQ的面积不变,S△ABQ=4.如图2中,在x轴的正半轴上取一点M,使得PR=PM,连接PM,QR.证明△PRQ≌△PMA(SAS),推出∠PRQ=∠AMP=30°,推出∠ARQ=60°=∠OAB,推出AB∥QR,再利用等高模型即可解决问题.
    【解答】解:(1)结论:△ABC是等边三角形.
    理由:∵a2+2ab+2b2﹣4b+4=0,
    ∴(a+b)2+(b﹣2)2=0,
    ∵(a+b)2≥0,(b﹣2)2≥0,
    ∴a=﹣2,b=2,
    ∴A(﹣2,0),C(2,0),
    ∴OA=OC,
    ∵BO⊥AC,
    ∴BA=BC,
    ∵AB=AC,
    ∴AB=AC=BC,
    ∴△ABC是等边三角形.
    (2)如图1中,作BH∥DE交x轴于H.
    ∵∠DEA=∠BHA,∠DAE=∠BAH,AD=AB,
    ∴△DAE≌△BAH(AAS),
    ∴AE=AH,
    ∵∠D+∠DGF=∠EFH=120°,∠D+∠DEA=∠DAC=120°,
    ∴∠DEA=∠DGF=∠AGH,
    ∴∠AGH=∠BHC,
    ∵∠GAH=∠BCH=120°,AH=BC,
    ∴△AHG≌△CBH(AAS),
    ∴AG=CH,
    ∴2.
    (3)结论:△ABQ的面积不变,S△ABQ=4.
    理由:如图2中,在x轴的正半轴上取一点M,使得PR=PM,连接PM,QR.
    由题意R(﹣6,0),A(﹣2,0),B(0,﹣2),
    ∴OR=6,OB=2,
    ∴tan∠PQM,tan∠OAB
    ∴∠PRM=∠PMR=30°,∠OAB=60°,
    ∴∠RPM=120°,
    ∵∠RPM=∠APQ=120°,
    ∴∠APM=∠RPQ,
    ∵PR=PM,PQ=PQ,
    ∴△PRQ≌△PMA(SAS),
    ∴∠PRQ=∠AMP=30°,
    ∴∠ARQ=60°=∠OAB,
    ∴AB∥QR,
    ∴S△ABQ=S△ABR4×24.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
    日期:2020/12/8 12:57:23;用户:熊文学;邮箱:13995874252;学号:38486437
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