2022-2023学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

3. 下列各组条件中，可以判定≌的条件是(    )

A. 、、
B. 、、
C. 、、
D. 、

4. 若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

5. 若一个等腰三角形有一个角为，那么它的底角的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D.

6. 如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且，下列确定点的方法正确的是(    )

A. 为、两角平分线的交点
B. 为的角平分线与线段的垂线平分线的交点
C. 为的角平分线与线段的垂线平分线的交点
D. 为线段、的垂直平分线的交点
 

7. 将一张长与宽的比为：的长方形纸片按如图、所示的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，得到图，最后将图的纸片再展开铺平，则所得到的图案是(    )
    

A.  B.
C.  D.

8. 如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中、在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示，在中，，点是的中点，是的平分线，作交于，已知，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，在中，，为线段上一定点，为线段上一动点．当点在运动的过程中，满足的值最小时，的大小等于(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 点关于轴的对称点的坐标是______ ．
12. 在中，，则的度数为______．
13. 一个六边形共有______条对角线．
14. 如图所示，在中，为中线，且，，则边的取值范围是______．

15. 如图所示，已知中，，点，在底边上，若，那么线段与之间的数量关系为______．

16. 如图所示，是等边三角形，为的中点，点在线段上，连接，以为边在的右下方作等边，的延长线交于，连，当点在线段上不与，重合运动时：
    与互补；
    ；
    是定值；
    是定值．
    以上结论中正确的有______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    中，，，求的各内角度数．
18. 本小题分
    已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，．
    求证：．
     

19. 本小题分
    如图所示，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．

20. 本小题分
    如图所示，在等腰中，，点，，在的边上，满足，．
    求证：；
    当时，求的大小．

21. 本小题分
    如图所示，网格中的每个边长为的小正方形的顶点称作格点，以格点为原点建立平面直角坐标系，的顶点都是格点．
    画出关于轴的对称的点与点对应，点与点对应，点与点对应，则点的坐标为______；
    的面积等于______；
    请你用一把无刻度的直尺，运用所学的知识作图，并保留作图痕迹：
    作出的高；
    在线段上确定一点，使得．

22. 本小题分
    我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
    如图所示，是中的遥望角．
    直接写出与的数量关系______；
    连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
    如图，四边形中，，点在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角．

23. 本小题分
    如图所示，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
    
    求证：；
    求证：平分；
    设，，，若，直接写出，，之间满足的数量关系．
24. 本小题分
    如图所示，点，，且，满足若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角为顶点，连接．
    
    如图所示，直接写出点的坐标为______，点的坐标为______；
    如图所示，当点在点，之间时，连接，，证明；
    如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为______，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
    本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可完全重合．根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】

解：不是轴对称图形，故本选项错误；
B.不是轴对称图形，故本选项错误；
C.不是轴对称图形，故本选项错误；
D.是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：、，不可以组成三角形；
B、，不可以组成三角形；
C、，可以组成三角形；
D、，不可以组成三角形．
故选：．
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：

A、符合全等三角形的判定定理，即能推出≌，故本选项正确；
B、没有边的条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出≌，故本选项错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出≌，故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出≌，故本选项错误；
故选：．
全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有，根据以上定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有．
 

4.【答案】 

【解析】解：设多边形的边数为，根据题意得
，
解得．
故这个多边形是四边形．
故选：．
根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：为三角形的顶角，
底角为：．
故选：．
因为三角形的内角和为，所以只能为顶角，根据三角形内角和定理可求出底角的度数．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解，此题难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：点到的两边的距离相等，
点在的平分线上；
，
点在的垂直平分线上，
为的角平分线与线段的垂线平分线的交点．
故选：．
利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的进行确定点位置，从而可对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，剪去右上角，展开得到结论．
故选：．
对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
本题主要考查剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养．
 

8.【答案】 

【解析】本题考查了等腰三角形的判定，利用两圆一线来解答是解题的关键．
根据等腰三角形的定义，分别以、为圆心，长为半径画弧，作的垂直平分线，即可确定点的位置．
解：如图所示：

分三种情况：
以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点，，即为点的位置；
以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点，，，，即为点的位置；
作的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；
为等腰三角形的格点有个．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，延长到，使，连接，延长交延长线于，

是中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
，，
，
，，
．
故选：．
可通过作辅助线，即延长到，使，连接，延长交延长线于，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，在是下方作，过点作于点，过点作于点，交于点，

，，
，
，
，
，
当点与重合，点与重合时，的值最小，
，
，
的值最小时，．
故选：．
如图，在是下方作，过点作于点，过点作于点，交于点，根据垂线段最短解决问题即可．
本题考查胡不归问题，垂线段最短，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

12.【答案】或 

【解析】解：当时，
，
，
当时，
，
，
，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
分、两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：六边形的对角线的条数．
故答案为：．
直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：边形对角线的总条数为：，且为整数．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，延长到使，连接，

在与中，
，
≌，
，
，，
根据三角形三边关系得：，
即，
故答案为：．
延长到使，连接，通过证明≌得出，再根据三角形三边关系即可推出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作，且，连接，，

，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作，且，连接，，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而利用等式的性质可得，然后利用证明≌，从而可得，，进而可得，再利用三角形内角和定理可得，最后利用证明≌，从而可得，进而利用平角定义求出，再在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是等边三角形，
，，
，
在四边形中，
，
即与互补，
故正确；
在上截取，连接，

为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，都是等三角形，
，，
，，
，
，
，
≌，
，，
即，
故正确；
是等边三角形，
，
为的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
是定值，
故正确；
根据已知条件无法确定的度数，
不是定值，
故错误，
故答案为：．
利用四边形的内角和为，即可说成立；在上截取，连接，利用证明≌，得，可说明正确；由≌知，，即可说明成立；根据已知条件无法确定的度数，无法判断成立．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造≌是解题的关键．
 

17.【答案】解：设，则，，
，
，
解得：，
，
则，． 

【解析】设，则，，根据三角形内角和为，列方程，解之即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
又，，
≌．
． 

【解析】由可证得，又有，，根据证得≌．
本题考查了全等三角形的判定和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，要结合判定方法及已知的位置进行选择运用．
 

19.【答案】解：平分，平分，
，．
，
．
在中，，，
，
．
，，
． 

【解析】利用角平分线的定义，可求出，的度数，由，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，利用三角形的外角性质，可求出的度数，再结合邻补角互补，即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、垂线以及邻补角，根据各角之间的关系，求出和的度数是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．
解：，
，
≌，
，
，
，
，
的度数是． 

【解析】由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
先由，求得，再由，根据平角定义和三角形内角和定理推导出，则．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】  

【解析】解：如图所示，即为所求，，
故答案为：；
，
故答案为：；
如图所示，线段即为所求；
如图所示，点即为所求．

根据轴对称的性质找出对应点画出图形，写出点的坐标即可；
根据割补法求解即可；
根据网格中垂线的作法可得高；
在轴上找到一个格点，使得即可．
本题考查了轴对称的性质，网格中垂线的作法等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
是中的遥望角，
，，
，
；
故答案为：；
解：，证明如下：

过分别作垂直于，于，于，连接，
是中的遥望角，
，分别平分，，
，，
，
平分，
，
；
解：过分别作，垂直于，，

，，
，
，
，
，
≌，
，
平分，
，
，八字形，
，
是中的遥望角．
根据遥望角的定义得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
过分别作垂直于，于，于，连接，根据角平分线的定义解答即可；
根据证明≌，进而利用全等三角形的性质和遥望角的定义解答即可．
此题考查四边形综合题，关键是根据遥望角的概念和全等三角形的判定和性质解答．
 

23.【答案】证明：如图中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
≌．
．

证明：过点作于，于，设交于．

≌，
，
，
，
，
，，
全等三角形对应边上的高相等，
平分；

解：．
理由：在上取一点，使得，连接，

，平分，
，
，
是等边三角形，
同理可证，≌，
，
，
同法可证，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得≌，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得；
过点作于，于，设交于由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理可证，≌，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】       

【解析】解：，
，，
，，
、，
故答案为：，；
证明：过点作轴于，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
取点，连接，，
，，
与关于直线对称，连接交于，连接，则，

此时最小，，
到，的距离相等，，，
，
，
．
故答案为：，．
根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；
过点作轴于，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．