2018-2019学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2018-2019学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．如图图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
3．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．下列运算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（a3）﹣2＝a C．（﹣3a2）﹣3＝﹣27a6 D．（﹣a2）3＝﹣a6
5．下列各分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
6．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝12，b＝13，c＝5
C．a＝15，b＝8，c＝17 D．a＝13，b＝14，c＝15
7．若xy＝x+y≠0，则分式＝（　　）
A． B．x+y C．1 D．﹣1
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝72°，那么∠DAC的大小是（　　）

A．30° B．36° C．18° D．40°
9．用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运30kg，A机器人搬运900kg所用时间与B机器人搬运600kg所用时间相等，设A机器人每小时搬运xkg化工原料，那么可列方程（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　）

A． B．π C． D．
二、填空题
11．五边形的内角和为　 　度．
12．0.0000064用科学记数法表示为　 　．
13．x2+kx+9是完全平方式，则k＝　 　．
14．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．若AB＝7，AC＝6，那么△AMN的周长是　 　．

15．直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是　 　cm．
16．若m+2＝3n，则3m•27﹣n的值是　 　．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：（2a﹣3）2+（2a+3）（2a﹣3）； （2）解方程：＝


18．（10分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A（﹣2，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，其中A点的对应点是A′，B点的对应点是B′，C点的对应点是C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标．
A′　 　；B′　 　；C′　 　．
（2）△A′B′C′的面积是　 　．

19． （10分）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣1．


20．（10分）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．




21．（12分）列方程解应用题：
一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求原计划的时间．


四、填空题
22．（4分）分解因式：x3+x2+x+1＝　 　．
23．（4分）若x2﹣y2＝8，x2﹣z2＝5，则（x+y）（y+z）（z+x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）＝　 　．
24．（4分）如图，四边形ABCD沿直线AC对折后重合，如果AC，BD交于O，AB∥CD，则结论①AB＝CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AO＝CO，⑤AB⊥BC，其中正确的结论是　 　（填序号）．

25．（4分）已知，点E是△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线交点，∠A＝50°，则∠E＝　 　°．

五、解答题
26．（10分）已知，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°．

（1）如图1，求证：DB＝CE；
（2）如图2．求证：S△ACD＝S△ABE．



27．（12分）已知，关于x的分式方程﹣＝1．
（1）当m＝﹣1时，请判断这个方程是否有解并说明理由；
（2）若这个分式方程有实数解，求m的取值范围．




28．（12分）在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．

（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝DE；
（3）如图3，若m＝4，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

2018-2019学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下到各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．
判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
4．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、负指数幂的性质分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误；
B、（a3）﹣2＝，故此选项错误；
C、（﹣3a2）﹣3＝﹣，故此选项错误；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算和同底数幂的乘法运算、负指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．【分析】最简分式是指分子和分母没有公因式．
【解答】解：（A）原式＝，故A不是最简分式；
（B）原式＝＝，故B不是最简分式；
（C）原式＝，故C是最简分式；
（D）原式＝＝，故D不是最简分式；
故选：C．
【点评】本题考查考查最简分式，要注意将分子分母先分解后，约去公因式．
6．【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
7．【分析】先进行分式的加减计算进行解答即可．
【解答】解：因为，把xy＝x+y≠0代入可得：，
故选：C．
【点评】此题考查分式的计算，关键是根据分式的加减计算解答．
8．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝72°，
∴∠B＝∠ADB＝72°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝108°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣108°）÷2＝36°．
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
9．【分析】设A种机器人每小时搬运x千克化工原料，则B种机器人每小时搬运（x﹣30）千克化工原料，根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程．
【解答】解：设A机器人每小时搬运xkg化工原料，则B种机器人每小时搬运（x﹣30）千克化工原料，那么可列方程＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程是关键．
10．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AB，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，
∴BC＝AC＝1，
由勾股定理得，AB＝＝，
∴两个月形图案的面积之和＝×π×（）2+×π×（）2+×1×﹣×π×12＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.
11．【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n＝5代入可求五边形内角和．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
12．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣6，
故答案为：6.4×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k＝±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k＝±6．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
14．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝7，AC＝6，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，关键是根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质得出三角形AMN的周长是AB+AC．
15．【分析】利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时．然后利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，
则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．
当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，
则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，注意分类讨论得出是解题关键．
16．【分析】直接利用幂的乘方运算法则再结合同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵m+2＝3n，
∴m﹣3n＝﹣2，
∴3m•27﹣n＝3m•3﹣3n＝3m﹣3n＝3﹣2＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形.
17．【分析】（1）根据整式的混合计算解答即可；
（2）根据解分式方程的步骤解答即可．
【解答】解：（1）（2a﹣3）2+（2a+3）（2a﹣3）
＝4a2﹣12a+9+4a2﹣9
＝8a2﹣12a，
（2）化为整式方程为：2x＝3x﹣6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的解．
【点评】此题考查分式方程和整式的混合计算问题，关键是根据解分式方程的步骤解答．
18．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，即可得到A′，B′，C′三点的坐标．
（2）依据割补法即可得到△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A'（2，5），B'（3，2），C'（1，1）．

故答案为：（2，5），（3，2），（1，1）．
（2）△A′B′C′的面积为：2×4﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×4＝8﹣1﹣1.5﹣2＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝﹣1时，原式＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．
【解答】解：如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∴CE＝CF，
∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），
∴∠ACF＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠ECF，
∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ACB+∠AOB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．【分析】根据路程为180千米，一定是根据时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“比原计划提前40分钟到达目的地”；进而得出等量关系列方程．
【解答】解：设原来的速度为x千米/时，依题意，得
＝+1+，
解之，得 x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，
＝＝3（小时）．
答：原计划的时间为3小时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，利用时间得出等量关系是解题关键．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置.
22．【分析】前两项结合，后两项结合，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式＝（x3+x2）+（x+1）＝x2（x+1）+（x+1）＝（x+1）（x2+1）．
故答案为：（x+1）（x2+1）
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，原式进行适当的分组是分解的关键．
23．【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣y2＝8，x2﹣z2＝5，
∴y2﹣z2＝﹣3，
∴（x+y）（y+z）（z+x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）＝（x2﹣y2）（z2﹣x2）（y2﹣z2）＝8×（﹣5）×（﹣3）＝120，
故答案为：120．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24．【分析】由翻折的性质可知；AD＝AB，DC＝BC，∠DAC＝∠BCA，由平行线的性质可知∠BAC＝∠DCA，从而得到∠ACB＝∠BAC，故此AB＝BC，从而可知四边形ABCD为菱形，最后依据菱形的性质判断即可．
【解答】解：由翻折的性质可知；AD＝AB，DC＝BC，∠DAC＝∠BCA．
∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA．
∴∠BCA＝∠BAC．
∴AB＝BC．
∴AB＝BC＝CD＝AD．
∴四边形ABCD为菱形．
∴AD∥BC，AB＝CD，AC⊥BD，AO＝CO．
故答案为：①②③④
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
25．【分析】由题中角平分线可得∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC，进而得出∠A＝∠ACD﹣∠ABC，即可得出结论．
【解答】解：如图，∵EB、EC是∠ABC与∠ACD的平分线，
∴∠ECD＝∠ACD＝∠E+∠EBC＝∠E+∠ABC，
∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC，
∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
又∵∠E＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠E＝∠A＝25°，
故答案为：25．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文宇说明、证明过程、计算步骤或作出图形.
26．【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可解决问题；
（2）如图2中，取CD的中点M，连接AM，延长AM到N，使得MN＝AM，连接DN，CN．首先证明四边形ACND是平行四边形，再证明△BAE≌△ACN即可；
【解答】（1）证明：如图1中，

∵等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AD，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．

（2）证明：如图2中，取CD的中点M，连接AM，延长AM到N，使得MN＝AM，连接DN，CN．

∵AM＝MN，DM＝CM，
∴四边形ACND是平行四边形，
∴AD＝CN，AD∥CN，
∴∠DAC+∠ACN＝180°，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝180°，
∴∠BAE＝∠ACN，
∵AB＝AC，AE＝AD＝CN，
∴△BAE≌△ACN（SAS），
∴S△BAE＝S△ACN，
∵DN∥AC，
∴S△ADC＝S△ACN，
∴S△BAE＝S△ADC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．【分析】（1）当m＝﹣1时，方程变为﹣＝1，化成整式方程得x2﹣x﹣2+2x＝x2+x，于是得到结论；
（2）原方程化为整式方程得到2（m+1）x＝m﹣1，根据这个分式方程有实数解，得到m≠﹣1，由于当x＝0或﹣1时，这个分式方程无实数解，于是得到结论．
【解答】解：（1）这个方程有解，
理由：当m＝﹣1时，方程变为﹣＝1，
去分母得，x2﹣x﹣2+2x＝x2+x，
∴当m＝﹣1时，请这个方程无解；
（2）﹣＝1，
化为整式方程得，2（m+1）x＝m﹣1，
∵这个分式方程有实数解，
∴m≠﹣1，
∵当x＝0或﹣1时，这个分式方程无实数解，
∴m＝1或﹣，
∴m的取值范围是m≠±1或﹣．
【点评】本题考查了分式方程的解，正确的解分式方程是解题的关键．
28．【分析】（1）根据勾股定理可求AB的长；
（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示
DE，CE的长，即可证CE＝DE；
（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．
【解答】解：（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，
∴AO＝4，BO＝8，
在Rt△ABO中，AB＝＝4
（2）如图，过点D作DF⊥AO，

∵DE＝DO，DF⊥AO，
∴EF＝FO，
∵m＝4，
∴AO＝BO＝4，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∵点C，O关于直线AB对称，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，
∴∠CAO＝∠CBO＝90°，
∵DF⊥AO，∠BAO＝45°，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，
∴AF＝DF，
设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，
∴AF＝DF＝4﹣x，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝
在Rt△ACE中，CE＝＝＝
∴CE＝DE，
（3）如图，过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，

∵m＝4，
∴OB＝4，
∴tan∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝30°
∵点C，O关于直线AB对称，
∴AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，
∴∠CAF＝120°，∠CBO＝60°
∵BM⊥OB，∠ABO＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∴∠CAF＝∠ABM，且DB＝AF，BM＝AO＝AC＝4，
∴△ACF≌△BMD（SAS）
∴CF＝DM，
∵CF+CD＝CD+DM，
∴当点D在CM上时，CF+CD的值最小，
即CF+CD的最小值为CM的长，
∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，
∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝4，
∴CN＝2，BN＝CN＝6，
∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，
在Rt△CMN中，CM＝＝4，
∴CD+CF的最小值为4
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．