还剩23页未读，
继续阅读
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
展开
这是一份2020-2021学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（ ）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
4．（3分）在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝（2x+10）°，∠C的外角大小（x+40）°，则x的值等于（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
6．（3分）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
7．（3分）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
10．（3分）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）△ABC的外角和等于 ．
12．（3分）纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns．用科学记数法表示20ns是 s．
13．（3分）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是 ．
14．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝ ．
15．（3分）由奇数1，3，5，…，2021组成的和式：+++…+，化简后的结果为 ．
16．（3分）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）利用乘法公式计算：
（1）198×202；
（2）（2y+1）（﹣2y﹣1）．
18．（8分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 ；
（3）在x轴上找一点P，使PB+PC最短，则P点坐标为 ．
21．（8分）第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：
am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有：
am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．
这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝ ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：x2y﹣4y﹣2x2+8．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
22．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂工作，为了应对疫情，在每个工人每小时完成的工作量不变的前提下，已复工的工人加班生产，每天的工作时间由原来8个小时增加到10个小时．该公司原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求该公司原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的7名工人到岗且同时加入了生产，每天生产时间仍然为10小时．为了支援灾区，公司复工后决定生产15500套防护服，问至少还需要多少天才能完成任务？
23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
24．（12分）（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】根据分式的分母为零分式无意义，可得答案．
【解答】解：由分式无意义，得
x+1＝0．
解得x＝﹣1，
故选：C．
3．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（ ）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
【解答】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；
x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝（2x+10）°，∠C的外角大小（x+40）°，则x的值等于（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C的外角＝∠A+∠B，
∴x+40＝2x+10+x，
解得x＝15．
故选：A．
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
6．（3分）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2＝45°，进而可得答案．
【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
7．（3分）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（2b+2a）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
10．（3分）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】作B点关于AG的对称点B'，BB'交GA于点E，作C点关于AH的对称点C'，CC'交AH于点Q，连接B'C'交AG、AH于点P、Q，BP+PQ+CQ的值最小为B'C'，由已知可证△AGH为等边三角形，再由对称性可得B'C'∥x轴，证明Rt△EGB≌Rt△EPB'（ASA），可求B'P＝BP＝1，PE＝EG＝，GP＝1，AP＝5，由对称性可知C'Q＝1，由PQ∥GH，求得PQ＝5，则B'C'＝1+5+1＝7即为所求．
【解答】解：作B点关于AG的对称点B'，BB'交GA于点E，作C点关于AH的对称点C'，CC'交AH于点Q，连接B'C'交AG、AH于点P、Q，
∵BP＝B'P，CQ＝C'Q，
∴BP+PQ+CQ＝B'P+PQ+C'Q＝B'C'，此时BP+PQ+CQ的值最小，
∵HC与GB关于y轴对称，
∴GO＝OH，
∵∠GAH＝60°，
∴△AGH为等边三角形，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），
∴OG＝OH＝3，GB＝CH＝1，
∴GH＝6，
∵B点、C点关于y轴对称，
∴B'C'∥x轴，
∵BB'⊥AG，∠AGH＝60°，
在Rt△GEB中，EG＝GB•sin30°＝，EB＝GB•sin60°＝，
在Rt△EGB和Rt△EPB'中，
，
∴Rt△EGB≌Rt△EPB'（ASA），
∴B'P＝BP＝1，PE＝EG＝，
∴GP＝1，
∴AP＝5，
由对称性可知C'Q＝1，
∵PQ∥GH，
∴＝，
∴PQ＝5，
∴B'C'＝1+5+1＝7，
∴BP+PQ+CQ的最小值是7，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）△ABC的外角和等于 360° ．
【分析】根据三角形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：△ABC的外角和等于360°，
故答案为：360°．
12．（3分）纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns．用科学记数法表示20ns是 2×10﹣8 s．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20ns＝20×10﹣9s＝2×10﹣8s，
故答案为：2×10﹣8．
13．（3分）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是 ±6 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32，
∴﹣mx＝±2•x•3，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
14．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝ 5 ．
【分析】根据题目中尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【解答】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标（角平分线性质），即3a＝a+10，
得a＝5，
故答案为：5．
15．（3分）由奇数1，3，5，…，2021组成的和式：+++…+，化简后的结果为 ．
【分析】首先分析数列，分母为1，3，3，5，5，7，…2019，2021，然后进行裂项，把乘法转换为减法，再进行抵消即可得到答案．
【解答】解：…+
＝×（1﹣++﹣+…+）
＝（1﹣）
＝
＝
答案：．
16．（3分）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝ 4 ．
【分析】根据已知x2﹣3x﹣1＝0，可得x2＝3x+1．可以利用这个等式对预求的代数式进行降次、化简．
【解答】解：2x3﹣3x2﹣11x+1
＝2x×x2﹣3x2﹣11x+1
＝2x×（3x+1）﹣3（3x+1）﹣11x+1
＝6x2+2x﹣9x﹣3﹣11x+1
＝6x2﹣18x﹣2
＝6×（3x+1）﹣18x﹣2
＝18x+6﹣18x﹣2
＝4．
故答案为4．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）利用乘法公式计算：
（1）198×202；
（2）（2y+1）（﹣2y﹣1）．
【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案；
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（200﹣2）（200+2）
＝2002﹣22
＝40000﹣4
＝39996；
（2）原式＝﹣（2y+1）2
＝﹣（4y2+2×2y×1+12）
＝﹣（4y2+4y+1）
＝﹣4y2﹣4y﹣1．
18．（8分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
【分析】（1）先提取公因式2a，再利用完全平方公式继续分解；
（2）利用十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）2ax2﹣4axy+2ay2
＝2a（x2﹣2xy+y2）
＝2a（x﹣y）2；
（2）x2﹣2x﹣8
＝（x﹣4）（x+2）．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝﹣1．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 （5，3） ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 （3.5，0） ；
（3）在x轴上找一点P，使PB+PC最短，则P点坐标为 （﹣，0） ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，连接PC，点P即为所求作．再求出直线BC′的解析式，可得点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作，点A1的坐标（5，3）．
故答案为：（5，3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，直线l与x轴的交点D的坐标（3.5，0），
故答案为：（3.5，0）．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，连接PC，点P即为所求作．
∵B（﹣3，2），C′（﹣1，﹣1），
∴直线BC′的解析式为y＝﹣x﹣，
∴P（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
21．（8分）第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：
am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有：
am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．
这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝ （b﹣c）（a﹣b） ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：x2y﹣4y﹣2x2+8．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可；
（2）先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移项后分解因式，可得出a＝b＝c，则可得出答案．
【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2
＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）
＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）
＝（b﹣c）（a﹣b）．
故答案为：（b﹣c）（a﹣b）．
（2）x2y﹣4y﹣2x2+8
＝（x2y﹣4y）﹣（2x2﹣8）
＝y（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x+2）（x﹣2）．
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），
∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
22．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂工作，为了应对疫情，在每个工人每小时完成的工作量不变的前提下，已复工的工人加班生产，每天的工作时间由原来8个小时增加到10个小时．该公司原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求该公司原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的7名工人到岗且同时加入了生产，每天生产时间仍然为10小时．为了支援灾区，公司复工后决定生产15500套防护服，问至少还需要多少天才能完成任务？
【分析】（1）设原来生产防护服的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；
（2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面10天完成的工作量+后面y天完成的工作量≥15500列出关于y的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，
由题意得：＝，
解得：x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解，
答：原来生产防护服的工人有20人；
（2）设还需要生产y天才能完成任务，
＝5（套），
即每人每小时生产5套防护服．
由题意得，10×650+20×5×10y≥15500，
解得：y≥9，
答：至少还需要生产9天才能完成任务．
23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 HG＝CF+BD ．
【分析】（1）根据一线三等角可得∠BCD＝∠EAC，再由AAS证明△AEC≌△CDB即可；
（2）如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，根据一线三等角得：∠FAE＝∠GFH，证明∠HGF≌△FEA（AAS），可得结论；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△BDM是等边三角形，得∠DBM＝60°，再证明△ACE≌△CBM（ASA）和△HGF≌△FEA（AAS），可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠BCD+∠ACE＝120°，
∵∠AEC＝60°，
∴∠ACE+∠EAC＝120°，
∴∠BCD＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠BDC＝60°，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD＝CE，
∵∠AEF＝∠AFH＝60°，
∴∠AFE+∠FAE＝∠AFE+∠GFH＝60°，
∴∠FAE＝∠GFH，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴∠HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝EF，
∴CF＝EF+CE＝HG+BD；
（3）解：HG＝CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠DBM＝60°，
∴∠CBM+∠ABM＝∠ABM+∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBM，
∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBM（ASA），
∴CE＝BM＝BD，
∵∠AFH＝120°，
∴∠AFC+∠GFH＝∠AFC+∠FAE＝60°，
∴∠GFH＝∠FAE，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝FE，
∵EF＝CF+CE
∴HG＝CF+BD．
故答案为：HG＝CF+BD．
24．（12分）（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
【分析】（1）根据三角形AOB的面积可求出a的值，求出点C的坐标，则可得出答案；
（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，AO⊥BO，由等腰直角三角形的性质得出AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，证明△AOE≌△CMD（AAS），由全等三角形的性质得出OE＝DM，根据三角形的面积可得出＝3，则可得出答案；
（3）作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，证明△BMD≌△ENB（AAS），由全等三角形的性质得出EN＝BM，BN＝DM＝BC，证明△BCF≌△MDF（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝MF，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），
∴OA＝a，OB＝a，
∵△AOB的面积为2，
∴S△AOB＝×a×a＝2，
∴a＝2（负值舍去），
∴A（0，2），B（2，0），
∵C为线段AB的中点，
∴C（1，1），
∴OD＝BD＝CD＝1，
∴S△CDB＝×1×1＝．
故答案为：．
（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，
又CO＝EO，
∴AO是CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，
∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，
∵∠AFC＝∠COA＝90°，
∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，
又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，
∴CD＝CA＝EA，
∴△AOE≌△CMD（AAS），
∴OE＝DM，
∴＝＝＝3，
∴＝2；
（3）＝2，
理由如下：
作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，
∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，
∴△BON等腰直角三角形，
∴∠BNO＝∠BMD＝45°，
∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，
又∵BD＝BE，
∴△BMD≌△ENB（AAS），
∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，
又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，
∴△BCF≌△MDF（AAS），
∴BF＝MF，
∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，
即＝2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/10 22:46:49；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（ ）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
4．（3分）在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝（2x+10）°，∠C的外角大小（x+40）°，则x的值等于（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
6．（3分）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
7．（3分）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
10．（3分）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）△ABC的外角和等于 ．
12．（3分）纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns．用科学记数法表示20ns是 s．
13．（3分）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是 ．
14．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝ ．
15．（3分）由奇数1，3，5，…，2021组成的和式：+++…+，化简后的结果为 ．
16．（3分）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）利用乘法公式计算：
（1）198×202；
（2）（2y+1）（﹣2y﹣1）．
18．（8分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 ；
（3）在x轴上找一点P，使PB+PC最短，则P点坐标为 ．
21．（8分）第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：
am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有：
am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．
这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝ ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：x2y﹣4y﹣2x2+8．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
22．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂工作，为了应对疫情，在每个工人每小时完成的工作量不变的前提下，已复工的工人加班生产，每天的工作时间由原来8个小时增加到10个小时．该公司原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求该公司原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的7名工人到岗且同时加入了生产，每天生产时间仍然为10小时．为了支援灾区，公司复工后决定生产15500套防护服，问至少还需要多少天才能完成任务？
23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
24．（12分）（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】根据分式的分母为零分式无意义，可得答案．
【解答】解：由分式无意义，得
x+1＝0．
解得x＝﹣1，
故选：C．
3．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（ ）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
【解答】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；
x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝（2x+10）°，∠C的外角大小（x+40）°，则x的值等于（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C的外角＝∠A+∠B，
∴x+40＝2x+10+x，
解得x＝15．
故选：A．
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
6．（3分）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2＝45°，进而可得答案．
【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
7．（3分）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（2b+2a）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
10．（3分）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】作B点关于AG的对称点B'，BB'交GA于点E，作C点关于AH的对称点C'，CC'交AH于点Q，连接B'C'交AG、AH于点P、Q，BP+PQ+CQ的值最小为B'C'，由已知可证△AGH为等边三角形，再由对称性可得B'C'∥x轴，证明Rt△EGB≌Rt△EPB'（ASA），可求B'P＝BP＝1，PE＝EG＝，GP＝1，AP＝5，由对称性可知C'Q＝1，由PQ∥GH，求得PQ＝5，则B'C'＝1+5+1＝7即为所求．
【解答】解：作B点关于AG的对称点B'，BB'交GA于点E，作C点关于AH的对称点C'，CC'交AH于点Q，连接B'C'交AG、AH于点P、Q，
∵BP＝B'P，CQ＝C'Q，
∴BP+PQ+CQ＝B'P+PQ+C'Q＝B'C'，此时BP+PQ+CQ的值最小，
∵HC与GB关于y轴对称，
∴GO＝OH，
∵∠GAH＝60°，
∴△AGH为等边三角形，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），
∴OG＝OH＝3，GB＝CH＝1，
∴GH＝6，
∵B点、C点关于y轴对称，
∴B'C'∥x轴，
∵BB'⊥AG，∠AGH＝60°，
在Rt△GEB中，EG＝GB•sin30°＝，EB＝GB•sin60°＝，
在Rt△EGB和Rt△EPB'中，
，
∴Rt△EGB≌Rt△EPB'（ASA），
∴B'P＝BP＝1，PE＝EG＝，
∴GP＝1，
∴AP＝5，
由对称性可知C'Q＝1，
∵PQ∥GH，
∴＝，
∴PQ＝5，
∴B'C'＝1+5+1＝7，
∴BP+PQ+CQ的最小值是7，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）△ABC的外角和等于 360° ．
【分析】根据三角形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：△ABC的外角和等于360°，
故答案为：360°．
12．（3分）纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns．用科学记数法表示20ns是 2×10﹣8 s．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20ns＝20×10﹣9s＝2×10﹣8s，
故答案为：2×10﹣8．
13．（3分）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是 ±6 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32，
∴﹣mx＝±2•x•3，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
14．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝ 5 ．
【分析】根据题目中尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【解答】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标（角平分线性质），即3a＝a+10，
得a＝5，
故答案为：5．
15．（3分）由奇数1，3，5，…，2021组成的和式：+++…+，化简后的结果为 ．
【分析】首先分析数列，分母为1，3，3，5，5，7，…2019，2021，然后进行裂项，把乘法转换为减法，再进行抵消即可得到答案．
【解答】解：…+
＝×（1﹣++﹣+…+）
＝（1﹣）
＝
＝
答案：．
16．（3分）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝ 4 ．
【分析】根据已知x2﹣3x﹣1＝0，可得x2＝3x+1．可以利用这个等式对预求的代数式进行降次、化简．
【解答】解：2x3﹣3x2﹣11x+1
＝2x×x2﹣3x2﹣11x+1
＝2x×（3x+1）﹣3（3x+1）﹣11x+1
＝6x2+2x﹣9x﹣3﹣11x+1
＝6x2﹣18x﹣2
＝6×（3x+1）﹣18x﹣2
＝18x+6﹣18x﹣2
＝4．
故答案为4．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）利用乘法公式计算：
（1）198×202；
（2）（2y+1）（﹣2y﹣1）．
【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案；
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（200﹣2）（200+2）
＝2002﹣22
＝40000﹣4
＝39996；
（2）原式＝﹣（2y+1）2
＝﹣（4y2+2×2y×1+12）
＝﹣（4y2+4y+1）
＝﹣4y2﹣4y﹣1．
18．（8分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
【分析】（1）先提取公因式2a，再利用完全平方公式继续分解；
（2）利用十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）2ax2﹣4axy+2ay2
＝2a（x2﹣2xy+y2）
＝2a（x﹣y）2；
（2）x2﹣2x﹣8
＝（x﹣4）（x+2）．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝﹣1．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 （5，3） ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 （3.5，0） ；
（3）在x轴上找一点P，使PB+PC最短，则P点坐标为 （﹣，0） ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，连接PC，点P即为所求作．再求出直线BC′的解析式，可得点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作，点A1的坐标（5，3）．
故答案为：（5，3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，直线l与x轴的交点D的坐标（3.5，0），
故答案为：（3.5，0）．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，连接PC，点P即为所求作．
∵B（﹣3，2），C′（﹣1，﹣1），
∴直线BC′的解析式为y＝﹣x﹣，
∴P（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
21．（8分）第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：
am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有：
am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．
这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝ （b﹣c）（a﹣b） ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：x2y﹣4y﹣2x2+8．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可；
（2）先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移项后分解因式，可得出a＝b＝c，则可得出答案．
【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2
＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）
＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）
＝（b﹣c）（a﹣b）．
故答案为：（b﹣c）（a﹣b）．
（2）x2y﹣4y﹣2x2+8
＝（x2y﹣4y）﹣（2x2﹣8）
＝y（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x+2）（x﹣2）．
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），
∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
22．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂工作，为了应对疫情，在每个工人每小时完成的工作量不变的前提下，已复工的工人加班生产，每天的工作时间由原来8个小时增加到10个小时．该公司原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求该公司原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的7名工人到岗且同时加入了生产，每天生产时间仍然为10小时．为了支援灾区，公司复工后决定生产15500套防护服，问至少还需要多少天才能完成任务？
【分析】（1）设原来生产防护服的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；
（2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面10天完成的工作量+后面y天完成的工作量≥15500列出关于y的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，
由题意得：＝，
解得：x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解，
答：原来生产防护服的工人有20人；
（2）设还需要生产y天才能完成任务，
＝5（套），
即每人每小时生产5套防护服．
由题意得，10×650+20×5×10y≥15500，
解得：y≥9，
答：至少还需要生产9天才能完成任务．
23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 HG＝CF+BD ．
【分析】（1）根据一线三等角可得∠BCD＝∠EAC，再由AAS证明△AEC≌△CDB即可；
（2）如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，根据一线三等角得：∠FAE＝∠GFH，证明∠HGF≌△FEA（AAS），可得结论；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△BDM是等边三角形，得∠DBM＝60°，再证明△ACE≌△CBM（ASA）和△HGF≌△FEA（AAS），可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠BCD+∠ACE＝120°，
∵∠AEC＝60°，
∴∠ACE+∠EAC＝120°，
∴∠BCD＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠BDC＝60°，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD＝CE，
∵∠AEF＝∠AFH＝60°，
∴∠AFE+∠FAE＝∠AFE+∠GFH＝60°，
∴∠FAE＝∠GFH，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴∠HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝EF，
∴CF＝EF+CE＝HG+BD；
（3）解：HG＝CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠DBM＝60°，
∴∠CBM+∠ABM＝∠ABM+∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBM，
∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBM（ASA），
∴CE＝BM＝BD，
∵∠AFH＝120°，
∴∠AFC+∠GFH＝∠AFC+∠FAE＝60°，
∴∠GFH＝∠FAE，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝FE，
∵EF＝CF+CE
∴HG＝CF+BD．
故答案为：HG＝CF+BD．
24．（12分）（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
【分析】（1）根据三角形AOB的面积可求出a的值，求出点C的坐标，则可得出答案；
（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，AO⊥BO，由等腰直角三角形的性质得出AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，证明△AOE≌△CMD（AAS），由全等三角形的性质得出OE＝DM，根据三角形的面积可得出＝3，则可得出答案；
（3）作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，证明△BMD≌△ENB（AAS），由全等三角形的性质得出EN＝BM，BN＝DM＝BC，证明△BCF≌△MDF（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝MF，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），
∴OA＝a，OB＝a，
∵△AOB的面积为2，
∴S△AOB＝×a×a＝2，
∴a＝2（负值舍去），
∴A（0，2），B（2，0），
∵C为线段AB的中点，
∴C（1，1），
∴OD＝BD＝CD＝1，
∴S△CDB＝×1×1＝．
故答案为：．
（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，
又CO＝EO，
∴AO是CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，
∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，
∵∠AFC＝∠COA＝90°，
∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，
又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，
∴CD＝CA＝EA，
∴△AOE≌△CMD（AAS），
∴OE＝DM，
∴＝＝＝3，
∴＝2；
（3）＝2，
理由如下：
作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，
∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，
∴△BON等腰直角三角形，
∴∠BNO＝∠BMD＝45°，
∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，
又∵BD＝BE，
∴△BMD≌△ENB（AAS），
∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，
又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，
∴△BCF≌△MDF（AAS），
∴BF＝MF，
∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，
即＝2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/10 22:46:49；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
相关试卷
2022-2023学年湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学八年级（上）期末数学试卷(含解析)： 这是一份2022-2023学年湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学八年级（上）期末数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷： 这是一份2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
